Чинний опір. Активний опір

Розглянемо наступний ланцюг.

Вона складається із джерела змінної напруги, сполучних проводів та деякого навантаження. Причому індуктивність навантаження дуже мала, а опір R дуже великий. Це навантаження ми раніше називали опором. Тепер називатимемо її активним опором.

Активний опір

Опір Rназивають активним, тому що якщо в ланцюзі буде навантаження з таким опором, ланцюг поглинатиме енергію, що надходить від генератора. Вважатимемо, що напруга на затискачах ланцюга підпорядковується гармонійному закону:

U = Um * cos (ω * t).

Миттєве значення сили струму можемо обчислити за законом Ома, воно буде пропорційно до миттєвого значення напруги.

I = u / R = Um * cos (ω * t) / R = Im * cos (ω * t).

Зробимо висновок: у провіднику з активним опором різниця фаз між коливаннями напруги та сили струму відсутня.

Чинне значення сили струму

Амплітуда сили струму визначається за такою формулою:

Середнє значення квадрата сили струму за період обчислюється за такою формулою:

Тут Im є амплітуда коливання сили струму. Якщо ми тепер вирахуємо квадратний коріньіз середнього значення квадрата сили струму, то отримаємо величину, яка називається чинним значенням сили змінного струму.

Для позначення чинного значення сили струму використовується буква I. Тобто у вигляді формули це виглядатиме так:

I = √(i^2) = Im/√2.

Чинне значення сили змінного струму буде дорівнює силі такого постійного струму, при якому за однаковий проміжок часу в провіднику, що розглядається, виділятиметься стільки ж теплоти, скільки і при змінному струмі. Для визначення чинного значення напруги використовується наступна формула.

U = √(u^2) = Um/√2.

Тепер підставимо діючі значеннясили струму та напруги, у вираз Im = Um/R. Отримаємо:

Даний вираз є законом Ома для ділянки ланцюга з резистором, яким тече змінний струм. Як і у разі механічних коливань, у змінному струмі нас мало цікавитимуть значення сили струму, напрузі в якийсь окремий момент часу. Набагато важливіше знати загальні характеристикиколивань - такі, як амплітуда, частота, період, значення сили струму і напруги, що діють.

До речі, варто відзначити, що вольтметри та амперметри, призначені для змінного струму, реєструють саме діючі значення напруги та сили струму.

Ще однією перевагою діючих значень перед миттєвими є те, що їх можна одразу використовувати для обчислення значення середньої потужності P змінного струму.

а) Активний опір R, r – це ідеалізований елемент ланцюга, в якому відбуваються незворотні перетворення електричної енергії на теплову:

А.

б) Індуктивність L – ідеалізований елемент ланцюга, що характеризується здатністю накопичувати енергію магнітного поля. Індуктивність чисельно дорівнює відношенню потокозчеплення до струму, яким це потокозчеплення обумовлено:

, (3.6)

де

- Потік зчеплення котушки індуктивності,

N-число витків котушки,

Ф- Магнітний поток.

.

в) Ємність C - ідеалізований елемент електричного ланцюгащо характеризується здатністю накопичувати енергію електричного поля.

, (3.7)

де – заряд на обкладках чи пластинах конденсатора,

- Різниця потенціалів між пластинами конденсатора.

Ємність С – не залежить від а визначається розмірами, формою конденсатора, а також діелектричними властивостями середовища, що знаходиться між обкладками конденсатора.

.

Чинне значення змінного струму

Коливання, що виникають під впливом зовнішньої ЕРС, що періодично змінюється, називаються вимушеними електромагнітними коливаннями. Вимушені електромагнітні коливання, що встановилися, можна розглядати як протікання змінного струму в ланцюги, що містить резистор, котушку індуктивності і конденсатор.

На рис. 3.5 представлений графік змінного синусоїдального струму.

Рис. 3.5. Графік змінного струму

Чинне значення змінного струму дорівнює такому значенню постійного струму, яке за час, що дорівнює періоду змінного струму, виділяє в тому ж опорі таку кількість теплоти, що і даний струм. Визначається за такою формулою 3.8.

. (3.8)

Активний, реактивний та повний опір у ланцюгах змінного струму

Струм в активному опорі

, (3.9)

де I r , U r- діючі значення струму та напруги на активному опорі R.

Зсув фаз між струмом та напругою на резисторі дорівнює нулю (див. рис. 3.6).

Рис. 3.6. Векторна діаграмаструму та напруги на резисторі

Струм в індуктивності

, (3.10)

де I L , U L- діючі значення струму та напруги на індуктивному опорі х L .

, (3.11)

де ω – циклічна частота, що дорівнює нуль, тому при постійному струмікотушка індуктивності немає опору.

лекція № 3

4.Електричний ланцюг з активним та індуктивним елементами.

Ланцюг складається з елементів, властивості яких нам уже відомі. Проаналізуємо роботу цього ланцюга.

Нехай струм у ланцюзі змінюється за законом:

i = im sin t.

Тоді напруга на активному опорі визначається формулою:

uR = uRm sin t,

так як на цій ділянці струм та напруга збігаються по фазі. Напруга на котушці:

uL = uLm sin (t + /2),

оскільки на котушці індуктивності напруга випереджає струм фазою на кут рівний /2 . Побудуємо векторну діаграму для аналізованого ланцюга. Спочатку відкладаємо вектор струму, потім вектор напруги на активному опорі, що збігається фазою з вектором струму. Вектор напруги на індуктивному елементі, що випереджає вектор струму на кут/2, приставимо до кінця вектора напруги на активному опорі.

Вектори U R ,U L ,U утворюють прямокутний трикутник. Виведемо закон Ома для цього ланцюга. На

підставі теореми Піфагора, для прямокутного трикутника напруг маємо:

U = (UR 2 + UL 2) 1/2.

Але U R = IR, а U L = IX L , отже

U = (I2 R2 + I2 XL 2 )1/2 =I(R2 + XL 2 )1/2 ,

звідки слідує закон Ома для цього ланцюга

I = U / (R2 + XL 2) 1/2.

Введемо позначення (R 2 + X L 2 ) 1/2 = Z де Z - повний опір ланцюга. Тоді закон Ома набуде вигляду:

Оскільки повний опір ланцюга Z визначається за теоремою Піфагора, йому відповідає трикутник опорів:

Оскільки при послідовному з'єднанні напруги на ділянках прямо пропорційні опорам, то трикутник опорів подібний до трикутника напруг.

Зсув фаз між струмом та напругою визначається з трикутника опорів:

tg = XL/R, cos = R/Z.

Для послідовного ланцюгаУмовимося відраховувати кут від вектора струму. Оскільки вектор повного падіння напруги зрушений по фазі щодо вектора струму на кут проти годинникової стрілки, цей кут має позитивне значення.

Сумарна миттєва напруга в ланцюзі визначається формулою:

u = um sin(t+),

Середня або активна потужність для цього ланцюга характеризує витрати енергії на активному опорі і, отже

P = UR I.

UR = U cos.

Реактивна потужність характеризує інтенсивність обміну енергією між котушкою індуктивності та джерелом електричної енергії:

Q = UL I

З векторної діаграми видно, що

UL = U sin.

Поняття повної потужності застосовується для оцінки граничної потужності електричних машин. Повною потужністю змінного струму є потужність, яка надходить від джерела до споживача і визначається за такою формулою:

Частина цієї потужності в споживачі перетворюється на корисну - активну потужність, внаслідок чого маємо механічний рух, тепло, світло та інше.

Інша частина повної потужності, яка йде корисне дію споживачів, лише збуджує у яких магнітні поля.

Співвідношення між величинами повної, активної та реактивної потужностейтаке ж, як і між повним, активним та реактивним напруженням. Якщо всі сторони трикутника напруг помножити на силу струму I, то отримаємо новий трикутник - трикутник потужностей, гіпотенуза якого дорівнює повній потужності, горизонтальний катет - активної потужності, А вертикальний катет - реактивної потужності:

S = (P2 + Q2) 1/2.

Вимірюється повна потужність у вольт-амперах (В А). Миттєва потужність виражається співвідношенням:

p = ui = um im sin (t +) sin t = um im (sin t cos + sin cos t) = um im (sin 2 cos + sin sin t cos t) = um im [cos (1 - cos 2 t)/2+

sin (sin 2 t) / 2] = (um im / 2) = UI cos - UI cos (2 t +).

Таким чином, миттєва потужністьскладається в цьому випадку з UI cos - постійної складової, та синусоїдальної складової подвійної частоти. Енергетичний процес в ланцюзі містить L і R складається з двох розглянутих енергетичних процесів: по-перше, енергія безповоротно передається з джерела в активний опір, де вона перетворюється на інші форми енергії; по-друге, енергія коливається між джерелом та магнітним полем приймача. Чим менше cos, тим більшу роль відіграють ці марні коливання енергії.

5.Електричний ланцюг з активним та ємнісним елементами.

Методика вивчення R-C ланцюгааналогічна вивченню R-Lланцюги.

Задаємося струмом i = i m sin t. Тоді напруга на активному опорі:

uR = uRm sin t.

Напруга на конденсаторі відстає по фазі від струму на кут.

uC = uCm sin(t - /2).

Побудуємо векторну діаграму для цього ланцюга:

З векторної діаграми випливає, що

U = (UR 2 + UС 2) 1/2.

Але U R = IR, а U С = IX С, отже

U = (I2 R2 + I2 XС 2 )1/2 =I(R2 + XС 2 )1/2 ,

I = U / (R2 + XС 2) 1/2.

Введемо позначення (R 2 + X З 2) 1/2 = Z , де Z - повний опір ланцюга. Закон Ома для цього ланцюга:

Розташування його сторін відповідає розташування сторін трикутника напруги на векторній діаграмі. Зсув фаз у цьому випадку негативний, тому що напруга відстає по фазі від струму:

tg = - XС / R, cos = R / Z.

В енергетичному відношенні цей ланцюг не відрізняється від ланцюга з резистивним та індуктивним елементами

Середня потужність визначається постійною складовою миттєвою потужністю:

Реактивна потужність характеризує інтенсивність обміну енергією між конденсатором та джерелом електричної енергії:

Q = UС I sin.

Так як< 0 , то реактивная мощностьQ < 0 . Физически это означает, что когда емкость отдает энергию, индуктивность ее потребляет, если они находятся в одной цепи.

Трикутник потужності для розглянутого ланцюга має вигляд:

Співвідношення між цими потужностями можна отримати із трикутника:

S = (P2 + Q2) 1/2.

6.Електричний ланцюг з активним, індуктивним та ємнісними елементами.

Електричний ланцюг з послідовним з'єднанням активних, індуктивних та ємнісних елементівназивається послідовним коливальним контуром.

Струм у ланцюгу:

Напруга на активному опорі:

Напруга на котушці індуктивності:

i = im sin t.

uR = uRm sin t.

uL = uLm sin(t+/2).

Напруга на конденсаторі:

uC = uCm sin(t - /2).

Побудуємо векторну діаграму за умови, що X L< X C , то есть U L =IX L < U C =IX C .

Вектор результуючого напруження U замикає багатокутник векторів U R , U L , U C . Вектор(U L + U C ) визначає напругу на індуктивності та ємності. Як видно з діаграми, ця напруга може бути меншою за напругу на індуктивності та ємності. Це процесом обміну енергією між індуктивністю і ємністю.

Отримаємо закон Ома для розглянутого ланцюга. Модуль вектора (U L +U C ) розраховується як різниця діючих значень(U L - U C ) , з векторної діаграми випливає, що

U = (UR 2 + (UL - UC)2) 1/2.

Але UR = IR, а UС = IXС і UL = IXL , отже

U = I (R2 + (XL - XC )2 )1/2 ,

I = U / (R2 + XС 2) 1/2.

Введемо позначення (R 2 + (X L - X С ) 2 ) 1/2 = Z де Z - повний опір ланцюга. Закон Ома для цього ланцюга:

Різниця між індуктивним і ємнісним опором (X L - X С) називають реактивним опором ланцюга.

Трикутник опорів для цього ланцюга має вигляд:

При X L > X З реактивний опір позитивний і опір носить активно-індуктивний характер. ПріX L< X С реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активноемкостной характер. Знак сдвига фаз между током и напряжением получим автоматически, так как реактивное сопротивление - величина алгебраическая:

Таким чином, при X L X З переважає або індуктивний або ємнісний опір, тобто з енергетичної точки зору ланцюг R, L і C зводиться до ланцюга R, L або R, C.

Миттєва потужність:

p = ui = UI cos – UI cos (2 t +).

Знак визначається з tg = X/R. Активна, реактивна та повна потужність такого ланцюга визначається рівностями:

P = UI cos, Q = U I sin, S = UI = (P2 + Q2) 1/2.

Трикутник потужності для цього ланцюга має вигляд:

Коефіцієнт потужності.

На сучасних промислових підприємствахбільшість споживачів електричної енергії змінного струму є активно-індуктивним навантаженням у вигляді асинхронних електродвигунів, силових трансформаторів, зварювальних трансформаторів, перетворювачів тощо. У такому навантаженні в результаті перебігу змінного струму індукуються е.р.с. самоіндукції, що обумовлюють зсув фази між струмом і напругою. Цей зсув по фазі зазвичай збільшується, а зменшується при малому навантаженні. Наприклад, якщо cos двигунів змінного струму при повному навантаженні становить 0,75 - 0,8, то при малому навантаженні він зменшується до

Якщо потужність споживана всіма приймачами в цих ланцюгах, є цілком визначеною, то при незмінному напрузі на затискачах приймача їх струм:

I = P/(U cos)

Зі зменшенням cos струм навантаження електростанцій і підстанцій буде збільшуватися при одній і тій же потужності, що віддається.

Водночас електричні генератори, трансформатори та лінії електропередач розраховуються на

певна напруга та струм. Збільшення струму споживача при зниженні cos не повинно перевищувати певних меж, так як живлять їх генератори розраховуються на певну номінальну потужність Sном = Uном Iном, внаслідок чого вони не повинні виявитися перевантаженими. Для того, щоб струм генератора не перевищував номінального значення при зниженні cos споживача, необхідно знижувати його активну потужність. Таким чином, зниження споживачів викликає неповне використання потужності синхронних генераторів, трансформаторів і ліній електропередач. Вони даремно завантажуються за рахунок індуктивного реактивного струму

cos, що характеризує використання встановленої потужності, часто називають коефіцієнтом потужності.

Коефіцієнтом потужності називають відношення активної потужності до повної: cos = P/S

Коефіцієнт потужності показує, яка частина електричної енергії незворотно перетворюється на інші види енергії і, зокрема, використовується на виконання корисної роботи. Нормальним вважається cos 0,85 – 0,9. При низькому коефіцієнті потужності на підприємства, що споживають електроенергію, накладається штраф, за високого - підприємства преміюються.

Для покращення коефіцієнта потужності проводиться низка заходів:

1.заменяются двигуни змінного струму, навантажені щодо мало, двигунами меншої потужності; 2.включаються паралельно приймачам конденсатори.

ПАРАЛЕЛЬНЕ З'ЄДНАННЯ ПРИЄМНИКІВ ЗМІННОГО СТРУМУ.

Розглянемо електричний ланцюг, що складається з двох приймачів, підключених паралельно до затискачів джерела синусоїдальної напруги.

u = um sin t.

У першому приймачі послідовно з'єднані елементи R1 і L, у другому відповідно R2 і С. Обидва приймачі знаходяться під дією одного загального напруження.

Електричні ланцюги такого виду називають паралельними коливальними контурами.

Вирази для миттєвих значень струмів у першій та другій гілках розглянутого ланцюга мають відповідно індуктивний та ємнісний характер:

i1 = i1m sin (t-1); i2 = i2m sin (t +2);

Чинне значення струму та кут зсуву фаз між струмом та напругою визначається з наступних виразів:

для першої гілки

I1 = U / (R1 2 + XL 2) 1/2; cos1 = R1 / (R1 2 + XL 2) 1/2;

для другої гілки

I2 = U / (R2 2 + XC 2) 1/2; cos2 = R2 / (R2 2 + XC 2) 1/2;

Знаючи струми в гілках, не можна визначити значення струму в нерозгалуженій частині ланцюга простим додаванням струмів i1 і i2, так як при цьому необхідно враховувати їх фазові кути1 і2. Тому струм у нерозгалуженій частині ланцюга визначають як геометричну суму струмів у гілках. Побудуємо відповідну векторну діаграму. При побудові векторної діаграми струмів прийнято за початковий вектор прийняти вектор напруги. Вектори струмів у гілках спрямовані з урахуванням їхнього зсуву по фазі по відношенню до вектора напруги. Векторна діаграма має вигляд:

З цієї векторної діаграми визначають величину струму в нерозгалуженій частині ланцюга та кут зсуву фаз між струмом та напругою в нерозгалуженій частині ланцюга.

Метод векторних діаграм, як і будь-який графічний метод, не дозволяє отримати високу точність. Ці самі величини можна визначити і аналітично. Для цього вводять поняття активної та реактивної складових струму для гілки при послідовному з'єднанні активних та реактивних елементів. Активна складова струму збігається по фазі з прикладеною напругою. Реактивна складова струму зсунута щодо прикладеної напруги на кут /2:

Активна складальна струму в нерозгалуженій частині ланцюга дорівнює сумі активних струмів, що складають, у кожній гілки:

I a = I 1a + I 2а.

Де I1a = I1 cos1, I2a = I2 cos2.

Реактивна складова струму в першій гілки відстає по фазі від напруги на /2 , а реактивна складова струму другої гілки

випереджає напругу /2. Таким чином, реактивна складова струму в нерозгалуженій частині ланцюга дорівнює різниці реактивних струмів у першій та другій гілках, тобто

Iр = I1р - I2р.

Де I1р = I1 sin1, I2a = I2 sin2.

Вираз повного струму в нерозгалуженій частині ланцюга має вигляд

I = (Ia 2 + Iр 2) 1/2.

Кут зсуву фаз, як випливає з векторної діаграми, визначається співвідношенням:

tg = Iр / Ia

У випадку, коли паралельно з'єднують n електроприймачів:

I aI Rn, I pI LnI Cn.

РЕЗОНАНСНІ ЯВИ У ланцюжках ЗМІННОГО СТРУМУ.

У електротехніці під резонансним режимом роботи ланцюгів змінного струму розуміють режим, у якому опір ланцюга є чисто активним. По відношенню до джерела живлення елементи ланцюга поводяться в резонансному режимі як активний опір, тому струм і напруга в частині нерозгалуженої ланцюга збігаються по фазі.

Реактивна потужність ланцюга у своїй дорівнює нулю.

Можливі два основних випадки резонансу: при послідовному з'єднанні реактивних елементів контуру з джерелом можливий резонанс напруги, а при паралельному з'єднанні - резонанс струмів.

Резонанс напруги.Резонансом напруг називають явище ланцюга з послідовним з'єднанням елементів, коли струм ланцюга збігається по фазі з напругою джерела.

Знайдемо умови резонансу напруги. Для того, щоб струм у ланцюгу збігався по фазі з напругою, реактивний опір повинен дорівнювати нулю, так як

tg = X / R = (XL - XC) / R.

Таким чином, умовою резонансу напруг є рівність реактивного опоруланцюга нулю, або

XL = XC.

Але X L = L, а X C = 1/С, де - частота джерела живлення. В результаті можна записати:

Вирішуючи це урвнення щодо знаходимо:

1/(LC)1/2 =0.

При резонансі напруг частота джерела дорівнює своїй частоті коливань контуру. Резонансу напруги відповідає векторна діаграма:

На підставі цієї діаграми та закону Ома для цього ланцюга сформулюємо ознаки резонансу напруги.

1.Повний опір ланцюга мінімальний і чисто активний.

2.Струм у ланцюгу збігається по фазі з напругою джерела і досягає максимального значення. 3. Напруга на котушці індуктивності дорівнює напрузі на конденсаторі і кожне окремо може у багато разів перевищувати напругу на затискачах всього ланцюга (в 10 разів). Тому резонанс при послідовному з'єднанні елементів називають резонансом напруги.

Режим резонансу напруги може бути отриманий зміною частоти напруги джерела при незмінних параметрах елементів коливального контуру або зміною параметрів елементів коливального контуру.

У електроенергетичних пристроях в більшості випадків резонанс напруг - явище небажане, пов'язане з несподіваним виникненням перенапруг, тобто напруг, що в кілька разів перевищують робоча напругаустановки, причому плавкі запобіжники не захищають від цих перенапруг.

Резонанс струмів. В електричному ланцюгу при паралельному з'єднанні двох гілок, коли в одній гілки включені елементи R 1 і L, а в іншій R 2 і C може встановлюватися режим резонансу струмів, при якому струм в нерозгалуженій частині ланцюга буде збігатися по фазі з напругою.

Резонансна частота визначається виразом:

0 = (1/LC)1/2 ((L/C - R1 2 )/(L/C - R2 2 ))1/2 .

Звідси випливає, що стан резонансу струмів у ланцюгу можна отримати зміною частоти джерела або зміною параметрів ланцюга L, C, R1, R2. Векторна діаграма, яка відповідає резонансу струмів, має вигляд:

При резонансі струмів реактивний струмзамикається в кільці, що утворюється індуктивністю і ємністю, а дроти, що з'єднують коливальний контур із джерелом енергії, і саме джерело повністю розвантажується від реактивного струму.

У режимі резонансу струмів ланцюг, що розглядається, веде себе по відношенню до джерела живлення так, ніби він складається тільки з елементів з активною провідністю. Насправді ж у паралельних гілках з реактивними елементами можуть протікати струми, що навіть перевищують повний струм, що протікає у джерелі живлення. Але ці струми завжди протилежні фазі один одному. Це означає, що через кожну чверть періоду відбувається обмін енергіями між магнітним полем котушки індуктивності та електричним полем конденсатора, що підтримується напругою джерела живлення.

При резонансі струмів струми у гілках можуть перевершувати струм у нерозгалуженій частині ланцюга як при резонансі, а й із наближенням щодо нього. Тому резонанс при паралельному з'єднанні елементів називають резонансом струмів.

Резонанс струмів на відміну від резонансу напруги - явище, безпечне для електричних установок. Великі струмиу гілках при резонансі струмів виникають лише тому випадку, якщо створені великі реактивні провідності гілок - встановлені великі батареї конденсаторів, потужні реактивні котушки.