Активна реактивна та повна потужності синусоїдального струму. Реактивна потужність

Поняття потенціалу чи різниці потенціалів

uдозволяє визначити роботу, що здійснюється електричним полем при переміщенні елементарного електричного зарядуdq, як dA= udq. В той же час, електричний струмдорівнюєi= dq/dt. Звідси dA= ui dt, отже, швидкість виконання роботи, тобто. потужність в даний момент часу або миттєва потужність дорівнює u=U m sinw tі I m sin(w t-j ), тоді середня потужність дорівнюватиме

т.к. інтеграл другого доданку дорівнює нулю. Величина

cosj називається коефіцієнтом потужності .

З цього виразу випливає, що середня потужність ланцюга змінного струмузалежить не тільки від діючих значень струму

Iта напруги U, Але і від різниці фаз j між ними. Максимальна потужність відповідає нульовому зсуву фаз і дорівнює добуткуUI. При зрушенні фаз між струмом і напругою± 90° середня потужність дорівнює нулю. Максимальні значення напруги та струму будь-якої електричної машини визначаються її конструкцією, а максимальна потужність, яку вони можуть розвивати – добутком цих величин. Якщо електрична ланцюг побудована нераціонально, тобто. зрушення фаз j має значну величину, то джерело електричної енергії та навантаження не можуть працювати на повну потужність. Тому у будь-якій системі джерело-навантаження існує т.зв. " проблема cosj ", яка полягає у вимогі можливого наближення cos j до одиниці.

Вираз (3) можна подати також за допомогою понять

активних складових струму Iа і напруги Uа у вигляді

Середню потужність

Pназивають також активною потужністю і вимірюють у ватах [Вт].

Виділимо підінтегральну функцію виразу (3)

Тимчасові діаграми, що відповідають цьому випадку, наведено на рис. 1 а).

Позитивні значення миттєвої потужності відповідають надходженню енергії від джерела в електричний ланцюг

. Отже, при резистивному навантаженні вся енергія, що надходить від джерела, перетворюється в ній в тепло . j = 0 (j = ± p /2), тобто. для чисто реактивного ланцюга

Тимчасові діаграми, що відповідають суто індуктивному і суто ємнісному навантаженню наведено на рис. 1 б) та г). З виразів (8) і часових діаграм випливає, що потужність коливається щодо осі абсцис з подвійною частотою, змінюючи свій знак кожні чверть періоду. Це означає, що протягом чверті періоду (

p > 0) енергія надходить в електричний ланцюг від джерела і запасається в магнітному або електричному полі, а протягом наступної чверті (p < 0) она целиком возвращается из цепи в источник. Так как площади, ограниченные участками с положительной мощностью и с отрицательной одинаковы, то средняя мощность отдаваемая источником нагрузке равна нулю и в ланцюзі немає перетворення енергії.

У випадку довільного навантаження 1 > cos

j > 0 (1< |j | < p /2) и

Як випливає з тимчасових діаграм рис. 1 в), більшу частину періоду потужність споживається навантаженням (

p> 0), але існують також інтервали часу, коли енергія, запасена в магнітних і електричних полях, навантаження повертається в джерело. Ділянки з позитивним значеннямpнезалежно від характеру реактивної складової навантаження завжди більше ділянок з негативним значенням, тому середня потужністьPпозитивна. Це означає, що в електричному ланцюзі переважає процес перетворення електричної енергії на тепло або механічну роботу .

Розглянемо енергетичні процеси в послідовне з'єднання

rLC(Рис. 2). Падіння напруги на вході ланцюга врівноважується сумою падінь напруги на елементахu=u r +u L +u C . Миттєва потужність у ланцюзі дорівнює

ui=u r i+u L i+u C i

Нехай напруга та струм на вході рівні

u=U m sinw tі I m sin(w t-j ). Тоді падіння напруги на елементах будеu r = rI m sin(w t-j), u L= w LI m sin(w t-j + p /2) = x L I m sin(w t-j+p/2), u C = I m sin(w t-j -p /2)/(w C) = x C I m sin(w t-j -p /2). Підставляючи ці вирази (9), отримаємо

Рівняння (10) у лівій та правій частинах має постійну та змінну складові. Постійна складова є активну або середню потужність. Другий доданок у правій частині це змінна складова активної потужності з рівною амплітудою

P = UI cosj . Третій доданок правої частини також є змінною складовою миттєвої потужності, але ця складова знаходиться у квадратурі зі змінною складовою активної потужності та має амплітудуQ = UI sinj . Цю величину називають реактивною потужністю . Вона дорівнює середньому за чверть періоду значенню енергії, якою джерело обмінюється з магнітним та електричним полями навантаження. Ре активна потужністьне перетворюється на тепло чи інші види енергії , т.к. її середнє значення за період дорівнює нулю.

Реактивну потужність також можна уявити через

реактивні складові струму чи напруги

Величина

Sназивається повною або здається потужністю . З виразу (12) випливає, що повну потужність можна уявити гіпотенузою прямокутного трикутника з кутом j , катетами якого є активна та реактивна потужності.

Таким чином, повна потужність це максимально можлива активна потужність, тобто. потужність, що виділяється в чисто резистивному навантаженні

(cosj = 0). Саме ця потужність вказується у паспортних даних електричних машинта апаратів.

Реактивні складові струмів і напруг можна уявити через активні та реактивні складові комплексного опору, тоді для складових потужності

P= UIа = U і трикутник потужностей виходить зміною масштабу трикутника напруги (рис. 3 а)). У другому випадку (рис. 3 б)), побудова виконана за допомогою активної та реактивної складових струмуI . Очевидно, що всі види потужності мають однакову розмірність, тому для їхньої відмінності від активної потужності, що вимірюється у ватах [Вт], для повної потужності введена одиниця, звана вольт-ампери [ВА], а для реактивної потужності - вольт-ампери реактивні [ВАр ] Вираз для активної потужності P= UI cosj дозволяє визначити коефіцієнт потужності за допомогою ватметра, вольтметра та амперметра. Для цього на вход ланцюга включають прилади за схемою рис. 4 та за їх показаннями визначають коефіцієнт потужності у вигляді , W, V та A - показання відповідно ватметра, вольтметра та амперметра діючих значень.З цього виразу можна також визначити кут зсуву фаз j між струмом та напругою на вході двополюсника.

Одиниця виміру – вольт-ампер реактивний (var, вар)

Реактивна потужність - величина, що характеризує навантаження, що створюються в електротехнічних пристроях коливаннями енергії електромагнітного поля в ланцюзі синусоїдального змінного струму, що дорівнює добутку середньоквадратичних значень напруги Uі струму I, помноженому на синус кута зсуву фаз між ними: (якщо струм відстає від напруги, зсув фаз вважається позитивним, якщо випереджає - негативним). Реактивна потужністьпов'язана з повною потужністю Sта активною потужністю Рспіввідношенням: .

Повна потужність

Одиниця повної електричної потужності - вольт-ампер (V·A, В·А)

Повна потужність - величина, що дорівнює добутку діючих значень періодичного електричного струму Iв ланцюги та напруги Uна її затисках: S = U·I; пов'язана з активною та реактивною потужностями співвідношенням: де Р- Активна потужність, Q- реактивна потужність (при індуктивному навантаженні Q> 0, а при ємнісній Q < 0).

Комплексна

Комплексна потужність

Потужність, аналогічно до імпедансу, можна записати в комплексному вигляді:

де - Комплексна напруга, - Комплексний струм, - Імпеданс, * - Оператор комплексного сполучення.

Модуль комплексної потужності дорівнює повній потужності S. Дійсна частина дорівнює активній потужності Ра уявна - реактивної потужності Qіз коректним знаком залежно від характеру навантаження.

Сіменс(російське позначення: Див; міжнародне позначення: S) - одиниця виміру електричної провідності в Міжнародній системі одиниць (СІ), величина обернена ому.

Через інші одиниці виміру СІ cіменс виражається таким чином:

1 См = 1 / Ом = А / В = кг −1 ·м −2 ·с³А².

17) коефіцієнт потужності- безрозмірна фізична величина, що характеризує споживача змінного електричного струму з погляду наявності у навантаженні реактивної складової. Коефіцієнт потужності показує, наскільки зсувається по фазі змінний струм, що протікає через навантаження щодо прикладеної до неї напруги.

Типові оцінки якості електроспоживання

При одній і тій же активній потужності навантаження потужність, яка марно розсіюється на проводах, обернено пропорційна квадрату коефіцієнта потужності. Таким чином, чим менший коефіцієнт потужності, тим нижча якість споживання електроенергії. Для підвищення якості електроспоживання застосовують різні способи корекції коефіцієнта потужності, тобто його підвищення до значення, близького до одиниці.

Наприклад, більшість компактних люмінесцентних (енергозберігаючих) ламп, що мають ЕПРА, характеризуються високим його значенням.

18) З'єднання у зірку. Схема, визначення

Якщо кінці всіх фаз генератора з'єднати в загальний вузол, а початку фаз з'єднати з навантаженням, що утворює трипроменеву зірку опорів, вийде трифазний ланцюг, з'єднаний зіркою. При цьому три зворотні дроти зливаються в один, званий нульовим або нейтральним. Трифазна ланцюг, з'єднана зіркою, зображена на рис. 7. 1.

Рис. 7.1

Провід, що йдуть від джерела до навантаження називають лінійними дроти, провід, що з'єднує нейтральні точки джерела N і приймача N" називають нейтральним (нульовим) проводом. Напруги між початками фаз або між лінійними проводами називають лінійними напругами. Напруги між початком і кінцем фази або між лінійним і нейтральними проводами називаються фазними напругами.Струми у фазах приймача або джерела називають фазними струмами, струми в лінійних дротах - лінійними струмами. Так як лінійні дроти з'єднані послідовно з фазами джерела та приймача, лінійні струмипри з'єднанні зіркою є одночасно фазними струмами.

Поняття потенціалу чи різниці потенціалів uдозволяє визначити роботу, що здійснюється електричним полем при переміщенні елементарного електричного заряду dq, як dA= udq. У той же час, електричний струм дорівнює i= dq/dt. Звідси dA= ui dt, отже, швидкість виконання роботи, тобто. потужність в даний момент часу або миттєва потужність дорівнює

де uі i- миттєві значення напруги та струму.

Величини струму і напруги, що входять у вираз (1), є синусоїдальними функціями часу, тому миттєва потужність є змінною величиною і для її оцінки використовується поняття середньої потужності за період. Її можна отримати, інтегруючи за період Tроботу, що здійснюється електричним полем, та був співвідносячи її з величиною періоду, тобто.

Нехай u=U m sinw tі I m sin(w t-j), тоді середня потужність дорівнюватиме

т.к. інтеграл другого доданку дорівнює нулю. Величина cosj називається коефіцієнтом потужності .

З цього виразу випливає, що середня потужність ланцюга змінного струму залежить не тільки від діючих значень струму Iта напруги U, А й від різниці фаз j між ними. Максимальна потужність відповідає нульовому зсуву фаз і дорівнює добутку UI. При зрушенні фаз між струмом і напругою ± 90° середня потужність дорівнює нулю. Максимальні значення напруги та струму будь-якої електричної машини визначаються її конструкцією, а максимальна потужність, яку вони можуть розвивати – добутком цих величин. Якщо електрична ланцюг побудована нераціонально, тобто. зсув фаз jмає значну величину, то джерело електричної енергії та навантаження не можуть працювати на повну потужність. Тому у будь-якій системі джерело-навантаження існує т.зв.

"проблема cosj" , Що полягає у вимогі можливого наближення cos j до одиниці.

Вираз (3) можна подати також за допомогою понять активних складових струму Iа і напруги Uа у вигляді

Враховуючи, що активні складові струму та напруги можна виразити через резистивну складову комплексного опору ланцюга як Iа = U/Rабо Uа = IR, вираз (4) можна записати також у формі

Середню потужність Pназивають також активною потужністю і вимірюють у ватах [Вт].

Виділимо підінтегральну функцію виразу (3)

Звідси випливає, що миттєва потужність змінюється з подвійною частотою мережі щодо постійної складової UI cosj рівної середньої чи активної потужності.

При cosj = 1 (j = 0), тобто. для ланцюга, що має чисто резистивний опір

Тимчасові діаграми, що відповідають цьому випадку, наведено на рис. 1 а).

Позитивні значення миттєвої потужності відповідають надходженню енергії від джерела в електричний ланцюг. Отже, при резистивному навантаженні вся енергія, що надходить від джерела, перетворюється в ній в тепло .

При cosj = 0 (j = ± p /2), тобто. для чисто реактивного ланцюга

Тимчасові діаграми, що відповідають суто індуктивному і суто ємнісному навантаженню наведено на рис. 1 б) та г). З виразів (8) і часових діаграм випливає, що потужність коливається щодо осі абсцис з подвійною частотою, змінюючи свій знак кожні чверть періоду. Це означає, що протягом чверті періоду ( p> 0) енергія надходить в електричний ланцюг від джерела і запасається в магнітному або електричному полі, а протягом наступної чверті ( p < 0) она целиком возвращается из цепи в источник. Так как площади, ограниченные участками с положительной мощностью и с отрицательной одинаковы, то средняя мощность отдаваемая источником нагрузке равна нулю и в ланцюзі немає перетворення енергії.

У випадку довільного навантаження 1 > cosj > 0 (1< |j | < p /2) и

Як випливає з тимчасових діаграм рис. 1 в), більшу частину періоду потужність споживається навантаженням ( p> 0), але існують також інтервали часу, коли енергія, запасена в магнітних і електричних полях, навантаження повертається в джерело. Ділянки з позитивним значенням pнезалежно від характеру реактивної складової навантаження завжди більше ділянок з негативним значенням, тому середня потужність Pпозитивна. Це означає, що в електричному ланцюзі переважає процес перетворення електричної енергії на тепло або механічну роботу .

Розглянемо енергетичні процеси у послідовному з'єднанні rLC(Рис. 2). Падіння напруги на вході ланцюга врівноважується сумою падінь напруги на елементах u=u r+u L+u C. Миттєва потужність у ланцюзі дорівнює

Нехай напруга та струм на вході рівні u=U m sinw tі I m sin(w t-j). Тоді падіння напруги на елементах буде u r= rI m sin(w t-j), u L= w LI m sin(w t-j + p /2) = x L I m sin(w t-j+p/2), u C= I m sin(w t-j -p /2)/(w C) = x C I m sin(w t-j-p/2). Підставляючи ці вирази (9), отримаємо

Рівняння (10) у лівій та правій частинах має постійну та змінну складові. Постійна складова є активну або середню потужність. Другий доданок у правій частині це змінна складова активної потужності з рівною амплітудою P = UI cosj. Третій доданок правої частини також є змінною складовою миттєвої потужності, але ця складова знаходиться у квадратурі зі змінною складовою активної потужності та має амплітуду Q = UI sinj. Цю величину називають реактивною потужністю . Вона дорівнює середньому за чверть періоду значенню енергії, якою джерело обмінюється з магнітним та електричним полями навантаження. Реактивна потужність не перетворюється на тепло чи інші види енергії , т.к. її середнє значення за період дорівнює нулю.

Реактивну потужність також можна представити через реактивні складові струму або напруги

На відміну від завжди позитивної активної потужності, реактивна потужність позитивна при j > 0 та негативна при j< 0 .

З умови рівності змінних складових лівої та правої частин рівняння (10) можна знайти зв'язок між P, Qі S = UIу вигляді

Величина Sназивається повною або здається потужністю . З виразу (12) випливає, що повну потужність можна представити гіпотенузою прямокутного трикутника з кутом j катетами якого є активна і реактивна потужності.

Таким чином, повна потужність це максимально можлива активна потужність, тобто. потужність, що виділяється в чисто резистивному навантаженні (cosj = 0). Саме ця потужність вказується у паспортних даних електричних машин та апаратів.

Реактивні складові струмів і напруг можна уявити через активні та реактивні складові комплексного опору, тоді для складових потужності

Трикутник потужностей можна описати також за допомогою комплексних чисел та зобразити векторами на комплексній площині у вигляді

де S - комплексна повна потужність, - пов'язаний комплексний струм.

Користуючись уявленням активної та реактивної складових потужності через активні та реактивні складові струмів та напруг (вирази (4) та (11)), трикутник потужностей можна побудувати у двох варіантах (рис. 3 а) та б)). У першому випадку активна та реактивна складові повної потужності виражаються через активну та реактивну складові напруги U і трикутник потужностей виходить зміною масштабу трикутника напруги (рис. 3 а)). У другому випадку (рис. 3 б)), побудова виконана за допомогою активної та реактивної складових струму I .

Очевидно, що всі види потужності мають однакову розмірність, тому для їхньої відмінності від активної потужності, що вимірюється у ватах [Вт], для повної потужності введена одиниця, звана вольт-ампери [ВА], а для реактивної потужності - вольт-ампери реактивні [ВАр ]

Вираз для активної потужності P= UI cosj дозволяє визначити коефіцієнт потужності за допомогою ватметра, вольтметра та амперметра.

Для цього на вход ланцюга включають прилади за схемою рис. 4 та за їх показаннями визначають коефіцієнт потужності у вигляді

,

де W, V і A - показання відповідно до ватметра, вольтметра і амперметра діючих значень. З цього виразу також можна визначити кут зсуву фаз j між струмом і напругою на вході двополюсника.

29. Дві котушки з опорами R 1 і R 2 індуктивностями L 1 і L 2 та взаємною індуктивністю М з'єднані послідовно. Можливі два види їх включення: згодне (рис. 4.4а) та зустрічне (рис. 4.4б).

При відповідному включенні струми в обох елементах у будь-який момент часу спрямовані однаково щодо однойменних висновків, тому магнітні потоки самоіндукції Ф 11 (або Ф 22 ) та взаємної індукції Ф 12 (або Ф 21 ), зчеплені з кожним елементом складаються. При зустрічному включенні струми в обох елементах ланцюга у будь-який момент часу спрямовані протилежно щодо однойменних висновків, тому магнітні потоки самоіндукції та взаємної індукції, зчеплені з кожним елементом, віднімаються.

Індуктивність двох послідовно з'єднаних індуктивно зв'язаних елементів визначається виразом:

, (4.7)

де і - потокозчеплення першого та другого елементів, причому ; .

Знак плюс відноситься до згоди, а символ мінус до зустрічного включення. Отже,

L = L 1 + L 2 ± 2M.

Повний опір при відповідному включенні більше, ніж при зустрічному.

Напруги на елементах мають три складові:

(4.8)

Якщо індуктивність одного з елементів менша від взаємної індуктивності, то при зустрічному включенні спостерігається своєрідний «ємнісний» ефект. Нехай, наприклад, L 2< М,при цьому у виразі

маємо ω(L 2 -M)< 0, и, следовательно, напряжение отстает по фазе от тока , как в случае емкостного сопротивления. Конечно, реактивний опірвсього ланцюга в цілому індуктивне, тому що L = L 1 + L 2 - 2М> 0 і струм відстає по фазі від напруги.

На (рис. 4.5а, б) показані векторні діаграмидля приголосного та зустрічного включень за однакового значення струму в обох випадках.

Вхідний комплексний опір ланцюга отримуємо, враховуючи (4.8)

; (4.9)

де (4.10)

Паралельне з'єднання індуктивно зв'язаних елементів ланцюга

Дві котушки з опорами R 1 і R 2 індуктивностями L 1 і L 2 та взаємною індуктивністю М з'єднані паралельно, причому однойменні висновки приєднані до одного й того самого вузла (рис. 4.7).

При вибраних позитивних напрямках струмів та напруги отримуємо наступні вирази:

; (4.12)

; (4.13)

де (4.14)

У цих рівняннях комплексні напруги і взяті зі знаком плюс, так як позитивні напрями цих напруг (вибрані зверху вниз) і тих струмів, від яких ця напруга залежить, орієнтовані щодо однойменних висновків однаково. Розв'язавши рівняння, отримаємо

; (4.15)

; (4.16)

. (4.17)

Звідки випливає, що вхідний комплексний опір розглянутого ланцюга

. (4.18)

Розглянемо тепер включення, при якому однойменні висновки приєднані до різних вузлів, тобто L 1 і L 2 приєднані до вузла різними висновками. У цьому випадку позитивні напрямки напруг взаємної індукції (вибрані зверху вниз) і тих струмів, від яких вони залежать, орієнтовані щодо однойменних висновків неоднаково та комплексні напруження та увійдуть до рівнянь (4.12) та (4.13) зі знаком мінус. Для струмів вийдуть вирази, аналогічні (4.15-4.17), з тією відмінністю, що Z М замінюється на - Z М та вхідний опір ланцюга

. (4.19)

30. Паралельне з'єднання індуктивно зв'язаних елементів ланцюга

Припустимо, що дві котушки або два будь-які елементи ланцюга з опорами і індуктивностями і взаємною індуктивністю М з'єднані паралельно, причому однойменні висновки приєднані до одного і того ж вузла (рис. 6.9).
При вибраних позитивних напрямках струмів та напруги

де
У цих рівняннях комплексні напруги і взяті зі знаком плюс, так як позитивні напрями цих напруг (вибрані зверху вниз) і тих струмів, від яких ця напруга залежить, орієнтовані щодо однойменних висновків однаково.
Розв'язавши рівняння, отримаємо

звідки слідує, що вхідний комплексний опір розглянутого ланцюга

При , тобто при відсутності індуктивного зв'язку між гілками, цей вираз набуває знайомого вигляду:

Розглянемо тепер включення, у якому однойменні висновки приєднані до різних вузлів, т. е. і приєднані до вузлу різноманітними висновками, ніж як зазначено на рис. 6.9. В цьому випадку позитивні напрямки напруг взаємної індукції (вибрані зверху вниз) і тих струмів, від яких вони залежать, орієнтовані щодо однойменних висновків неоднаково і комплексні напруги та увійдуть до рівнянь (6.9) та (6.10) зі знаком мінус. Для струмів вийдуть вирази, аналогічні (6.11), з тією відмінністю, що замінюється і вхідний опір ланцюга

Якщо зміна струму одному з елементів електричної ланцюга призводить до виникнення Э.Д.С. в іншому елементі ланцюга, то кажуть, що ці елементи індуктивно пов'язаніодин з одним. Виникає у своїй Э.Д.С. називається Е.Д.С. взаємної індукції.

На (рис. 4.1) показані дві котушки з числом витків і магнітний потік першої котушки пропорційний струму, що протікає по ній. Частина цього потоку пронизує витки другої котушки і впливає струм.

Аналогічно магнітний потік другої котушки пронизує витки першої.

Такі котушки називаються індуктивно-пов'язаними (або магнітно-пов'язаними).

Ступінь індуктивного зв'язку двох елементів ланцюга характеризується коефіцієнтом зв'язку k, який визначається ставленням:

де М – взаємна індуктивність елементів ланцюга, Гн.

Індуктивність елементів, Гн.

Необхідно запам'ятати, що коефіцієнт зв'язку не може бути більшим за одиницю!

Взагалі, взаємною індуктивністюпершої та другої котушок називається відношення додаткового потокозчеплення другої котушки до струму першої котушки:

Індекс 12 показує, що взаємна індуктивність наводиться у першій котушці від дії магнітного потоку другої котушки.

Досвід показує, що:

Справедливе співвідношення:

Взаємна індуктивність у лінійних електричних ланцюгахне залежить від напрямів та значень струмів, і визначається тільки конструкцією котушок їх взаємним розташуванням. Про це свідчить вираз (4.5).

Індуктивність котушки визначається за такою формулою:

де - Відносна магнітна проникність середовища (для повітря);

Абсолютна магнітна проникність середовища;

S - площа поперечного перерізу котушки, мм 2;

L – довжина котушки, м.м.

При складанні рівнянь для магнітно-пов'язаних ланцюгів необхідно знати, згідно чи зустрічно спрямовані потоки самоіндукції та взаємоіндукції. Правильне висновок про це можна зробити, якщо відомий напрямок намотування котушок на сердечнику та обрано позитивний напрямок струмів у них.

На (рис. 4.2а) котушки включені згідно, а (рис. 4.2б) – зустрічно.

На рис. 4.2 однойменні затискачі (наприклад початку котушки) – позначають однаковими значками, наприклад точками.

Якщо на електричної схемиструми двох магнітно-пов'язаних котушок спрямовані однаково щодо однойменних позначених затискачів, наприклад обидва струми спрямовані до точок як (рис. 4.2а), то котушки з'єднані згідно, в іншому випадку зустрічно.

Насправді часто виникає труднощі у визначенні однакових висновків котушок. Для цього використовують простий досвід, для якого потрібен гальванічний елемент (або акумулятор) і гальванометр (або вольтметр).

Одна з котушок з'єднується з вольтметром, інша підключається до гальванічного елемента (рис. 4.3). При замиканні ключа До другої котушки короткочасно виникає струм, що послаблює магнітне поле, створене струмом. Напрямок струму визначається полярністю джерела живлення. Про направлення струму судять за короткочасним відхиленням стрілки вольтметра. Якщо стрілка відхиляється у бік шкали (тобто не зашкалює), то струм спрямований до позитивного висновку вольтметра, у своїй висновки котушок, приєднаних до позитивним висновків вольтметра і джерела живлення, однойменні.

На (рис. 4.3) при зазначених напрямках струмів та полярності вольтметра, з'єднання котушок – зустрічне.

49. Під активною потужністю P розуміють кількість енергії, що споживається (генерується) об'єктом за одиницю часу. Математично активну потужність визначають як середнє значення миттєвої потужності за повний період.

Нехай деякий елемент ланцюга споживає струм i(t)при несинусоїдальній напрузі u(t):

Миттєва потужність p(t)=u(t)*i(t), Тоді активна потужність дорівнюватиме:

Таким чином, активна потужність несинусоїдального струму дорівнює сумі активних потужностей окремих гармонік:

P=P0+P1+P2+P3...

Реактивна потужність Q несинусоїдального струму визначається за аналогією з активною потужністю P як алгебраїчна сума реактивних потужностей окремих гармонік:

Як відомо, реактивна потужність Q синусоїдального струму характеризує інтенсивність коливань енергії (Q=ωW max) з частотою між елекромагнітним полем елемента та іншим ланцюгом. У кола несинусоидального струму коливання енергії відбуваються різних частотах. Складання реактивних потужностей окремих гармонік, що характеризують коливання енергії різних частотах, позбавлене фізичного сенсу. Математично може вийти, що реактивні потужності окремих гармонік мають різні знакий у сумі дають нуль, хоча коливання енергії у своїй мають місце. Отже, для ланцюга несинусоидального струму поняття реактивної потужності позбавлене фізичного сенсу.

Для ланцюга несинусоїдального струму застосовується також і поняття повної потужності, яка визначається як добуток діючих значень напруги та струму:

Як відомо, для ланцюга синусоїдального струму потужності P, Q, S утворюють прямокутний трикутник, з якого випливає співвідношення: S2 = P2+Q2. Для ланцюгів несинусоїдального струму це співвідношення між потужностями виконується тільки для резистивних елементів, у яких відповідно до закону Ома ( u=iR) форми кривих функцій u(t) та i(t) ідентичні. Якщо ланцюги містяться реактивні елементи L і З, це співвідношення не виконується: S 2 ≥P 2 +Q 2 . Для балансу цього рівняння його праву частину вносять додавання: S 2 ≥P 2 +Q 2 +T 2 , звідки

де Т - Потужність спотворення - поняття математичне, характеризує ступінь відмінності у формах кривих напруга u(t) і струму i(t).

Вектор величини, що синусоїдально змінюється, може бути представлений і на комплексній площині. Комплексні уявлення дозволяють поєднати простоту та наочність векторних діаграм, які мають недолік – обмежену точність, з можливістю проведення точних аналітичних розрахунків. Під час оперування з векторами можна скористатися теорією, розробленою для комплексних чисел. Вектор, розташований на комплексній площині, однозначно відповідає комплексне число. Відповідно до формули Ейлера для комплексного числа рівнозначні алгебраїчна, тригонометрична та показова форми запису. При підсумовуванні комплексних чисел зручна форма алгебри, при множенні і розподілі - показова.

Використання комплексної формиуявлення дозволяє замінити геометричні операції над векторами алгебраїчними операціями над комплексними числами. В результаті цього до аналізу ланцюгів змінного струму можуть бути використані всі методи аналізу ланцюгів постійного струму.

Слід звернути увагу на те, що комплексні зображення, як і векторні діаграми, несуть інформацію лише про два параметри синусоїди – амплітуду та початкову фазу, не відображаючи її третього параметра – кутову частоту ω. Вектори на комплексній площині і відповідні їм комплексні числа прийнято зображувати тією ж літерою, що й амплітуду синусоїди, що зображається, з точкою нагорі.

Уявна одиниця в електротехніці позначається символом j, оскільки символ iвикористовується для позначення миттєвого струму.

Струм i(t) = I m sin(ωt + φ о) можна представити комплексним числом Í m на комплексній площині

де амплітуда струму I m – модуль, А кут φ о, що є початковою фазою, - аргументкомплексного струму.

Усі параметри ланцюга надаються у комплексній формі.

Алгебраїчна форма запису комплексного числа: m = I m ' + j I m '' , при записі в тригонометричній формі проекції вектора виражають через його довжину I m і кут φ про: I m (cosφ про + j sinφ о). Показова форма запису має вигляд İ m = I m e jφо.

У цих виразах I m = √ (I m ' 2 + I m ''2) – модуль комплексного числа, про = arctg(I m '' / I m ') - його аргумент, I m ' = I m cos φ о, I m '' = I m sin φ о.

- Комплексне чинне значеннясили струму (без індексу m); тут I = I m/√2;
- Комплексне діюче значення напруги (без індексу m); U =U m/√2.

Наприклад, уявити комплексне діюче значення струму

у показовій формі. Відповідь.

Потужність у ланцюгах змінного струму

Розглянемо енергетичні характеристики двополюсних пасивних елементів (R, L, C) змінному струмі.

Резистивний елементR

Як було показано раніше, для резистивного елемента:

, причому комплексні опір та провідність мають лише речові складові: Y = G; Z=R.

Або, що те саме,

Миттєва потужність, тобто. потужність у функції часу, є твір струму на напругу і задається виразом:

(використано формулу зниження ступеня sin 2 α = (1 – cos 2α) / 2)

Таким чином, потужність на резистивному елементі пульсує від нульового до максимального значення з подвійною частотою, приймаючи лише позитивні значення (рис. 1).

Середнє значення потужності у період називають активної потужністю. З урахуванням отриманого значення для миттєвої потужності маємо:

, тут I- Чинне значення струму.

Індуктивний елементL

Нехай, як і раніше, струм та напруга будуть синусоїдальними:

Як було показано раніше, індуктивному елементі струм відстає по фазі від напруги на 90°.

Комплексний опір індуктивності дорівнює:

, тобто. опір чисто реактивний.

Енергія, що запасається в індуктивності, дорівнює:

LI 2 .

Потужність індуктивного елемента:

Потужність в індуктивному елементі має характер коливань із подвоєною частотою. При позитивних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруги збігаються, енергія з джерела надходить в індуктивний елемент і запасається (зберігається) у ньому. При негативних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруження різні, енергія віддається назад джерелу. Середнє за період значення потужності P=0 (енергія в ємнісному елементіне розсіюється, тобто. не споживається), див. рис. 2.

Максимальне значення коливальної потужності в реактивних елементах з кутом зсуву 90° називають реактивною потужністю та позначають P Q.

Для індуктивного елемента

Реактивна потужність являє собою максимальну швидкість обміну енергії між джерелом та реактивним елементом та визначає струм, пов'язаний з цим обміном. Протікання струму призводить до додаткових втрат у опорі пристроїв передачі енергії і тому має бути по можливості мінімізована. Реактивна потужність, на відміну від активної потужності, не пов'язана з виділенням (розсіюванням) потужності в елементі, що вимірюється у вольт-амперах реактивних (вар). У даному випадку говорять про відстаючу або індуктивну реактивну потужність.

Ємнісний елементC

Нехай, як і раніше, струм та напруга будуть синусоїдальними:

Як було показано раніше, в ємнісному елементі струм випереджає фазою напруга на 90°.

Комплексний опір ємності дорівнює:

, тобто. опір чисто реактивний (ємнісний).

Енергія, що запасається в ємності, дорівнює:

Миттєві значення енергії пульсують з подвійною частотою між нулем та максимумом CU 2 .

Потужність ємнісного елемента:

Потужність у ємнісному елементі має характер коливань із подвоєною частотою. При позитивних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруги збігаються, енергія з джерела надходить у ємнісний елемент і запасається (зберігається) у ньому. При негативних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруження різні, енергія віддається назад джерелу. Середнє за період значення потужності P=0 (енергія в ємнісному елементі не розсіюється, тобто не споживається), див. рис. 3.

Для ємнісного елемента

.

Комплексна потужність (потужність в синусоїдальному режимі, що встановився)

У випадку електричного ланцюга є як активна, і реактивна складова. Це означає, що потужність ланцюга буде як розсіюватися (активна потужність), так і періодично накопичуватися в реактивних елементах і перерозподілятися між ними.

Нехай, як і раніше, струм та напруга будуть синусоїдальними:

Миттєва потужність дорівнює:

Таким чином, миттєва потужність ланцюга з довільною реактивністю, дорівнює:

З цього виразу випливає, що миттєва потужність ланцюга змінного струму має постійну складову і змінну складову, що змінюється в часі з подвоєною частотою.

Як було зазначено, середнє значення миттєвої потужності за період називається активною потужністю:

Підставивши в цей вираз формулу (1), отримаємо:

(2)

Активна потужністьв ланцюзі змінного струму дорівнює добутку діючих значень струму, напруги та косинуса кута зсуву фаз між ними. Активна потужність вимірюється у ватах (Вт). Множник cos φ називають коефіцієнтом потужності(або просто «косинусом φ ») .

Чим більший коефіцієнт потужності, тим більша активна потужність при заданих значеннях струму та напруги. В ідеалі, для ланцюгів без реактивності коефіцієнт потужності дорівнює 1.

Добуток діючих значень струму, напруги та синуса кута зсуву фаз між ними називається реактивною потужністю:

(3)

Реактивна потужність характеризує енергію, яка періодично циркулює між джерелом та навантаженням. Вона вимірюється у вольт-амперах реактивних (вар)

Твір діючих значень напруги та струму називають повною потужністю:

(4)

Повна потужність вимірюється у вольт-амперах (ВА) і характеризує граничну активну потужність ланцюга при коефіцієнті потужності, що дорівнює 1.

Якщо

,

,

тоді враховуючи відомі співвідношення для потужностей, маємо:

, активну потужність

, реактивну потужність

,

маємо:

У електричних ланцюгах при періодичному синусоїдальному вплив має місце баланс потужностей джерел і навантажень, тобто. комплексна потужність джерел енергії повинна дорівнювати комплексній потужності навантажень і активні та реактивні потужності джерел рівні активної та реактивної потужностей навантажень.

,

, ,

,

.

Знак реактивної потужності означає перевагу індуктивного (+) або ємнісного (-) опорів.

Активна потужністьв ланцюзі змінного струму дорівнює добутку діючих значень струму та напруги на косинус кута зсуву фаз між ними. Активна потужність характеризує енергію, яка передається від джерела до навантаження, де перетворюється на інші види енергії. Активна потужність вимірюється ватами (Вт). Множник cosφ називають коефіцієнтом потужності (або просто "косинус фі"). Чим більший cosφ, тим більша активна потужність при заданих значеннях струму та напруги.

Реактивна потужністьв ланцюзі змінного струму дорівнює добутку діючих значень струму та напруги на синус кута зсуву фаз між ними. Реактивна потужність характеризує енергію, яка циркулює між джерелом та навантаженням. Активна потужність вимірюється вольт-амперами реактивними (вар). При φ<0 (при емкостной нагрузке) реактивная мощность отрицательна, а при φ>0 (при індуктивному навантаженні) реактивна потужність позитивна.

Деякі методи чисельного аналізу (розрахунку) ланцюгів змінного струму

Метод пропорційного перерахунку

Метод пропорційного перерахунку застосовується до розрахунку нескладних ланцюгів, і навіть сходових ланцюгів. Метод застосовний до ланцюгів, в якому є одне джерело (джерело струму або напруги). У цьому методі задається умовно значення струму або напруги найбільш віддаленого від джерела ланцюга, а потім розраховуються всі інші струми і напруги, поки не буде розраховане напруга джерела (або струм джерела).

Потім визначається коефіцієнт пропорційності між заданим значенням напруги джерела (струму) та розрахованим. Далі, маючи на увазі лінійність ланцюга всі проміжні дані розрахунків, тобто. струми напруги множать на отриманий коефіцієнт пропорційності.

Пояснимо методику розрахунків з прикладу.

(Приклад розгалуженого RC ланцюга)

Графо-аналітичний метод перерахунку

У цьому методі використовується такий самий підхід, але замість методу комплексних амплітуд використовується графоаналітичний метод. Задаючи, як і попередньому прикладі, деяке чисельне значення струму, вибирають масштаби струмів і напруг. У заданих масштабах відкладають вибране значення струму, а потім будують «навколо» вибраного струму всі інші вектори. Зрештою знаходять вектор напруги або струму джерела. Визначають коефіцієнт пропорційності по амплітуді та пропорційно збільшують або зменшують вибраний масштаб. Визначають різницю фаз між отриманим значенням напруги або струму джерело і істиною фазою заданої напруги або струму джерела, а потім повертають всю картинку з векторами. В результаті виходять справжні струми та напруги, які викликаються заданою напругою або струмом джерела.

Потужність у ланцюгах змінного струму

Розглянемо енергетичні характеристики двополюсних пасивних елементів (R, L, C) змінному струмі.

Резистивний елементR

Як було показано раніше, для резистивного елемента:

, причому комплексні опір та провідність мають лише речові складові: Y = G; Z=R.

Або, що те саме,

Миттєва потужність, тобто. потужність у функції часу, є твір струму на напругу і задається виразом:

(використано формулу зниження ступеня sin 2 α = (1 – cos 2α) / 2)

Таким чином, потужність на резистивному елементі пульсує від нульового до максимального значення з подвійною частотою, приймаючи лише позитивні значення (рис. 1).

Середнє значення потужності у період називають активної потужністю. З урахуванням отриманого значення для миттєвої потужності маємо:

, тут I- Чинне значення струму.

Індуктивний елементL

Нехай, як і раніше, струм та напруга будуть синусоїдальними:

Як було показано раніше, індуктивному елементі струм відстає по фазі від напруги на 90°.

Комплексний опір індуктивності дорівнює:

, тобто. опір чисто реактивний.

Енергія, що запасається в індуктивності, дорівнює:

LI 2 .

Потужність індуктивного елемента:

Потужність в індуктивному елементі має характер коливань із подвоєною частотою. При позитивних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруги збігаються, енергія з джерела надходить в індуктивний елемент і запасається (зберігається) у ньому. При негативних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруження різні, енергія віддається назад джерелу. Середнє за період значення потужності P=0 (енергія в ємнісному елементі не розсіюється, тобто не споживається), див. рис. 2.

Максимальне значення коливальної потужності в реактивних елементах з кутом зсуву 90° називають реактивною потужністю та позначають P Q.

Для індуктивного елемента

Реактивна потужність являє собою максимальну швидкість обміну енергії між джерелом та реактивним елементом та визначає струм, пов'язаний з цим обміном. Протікання струму призводить до додаткових втрат у опорі пристроїв передачі енергії і тому має бути по можливості мінімізована. Реактивна потужність, на відміну від активної потужності, не пов'язана з виділенням (розсіюванням) потужності в елементі, що вимірюється у вольт-амперах реактивних (вар). У даному випадку говорять про відстаючу або індуктивну реактивну потужність.

Ємнісний елементC

Нехай, як і раніше, струм та напруга будуть синусоїдальними:

Як було показано раніше, в ємнісному елементі струм випереджає фазою напруга на 90°.

Комплексний опір ємності дорівнює:

, тобто. опір чисто реактивний (ємнісний).

Енергія, що запасається в ємності, дорівнює:

Миттєві значення енергії пульсують з подвійною частотою між нулем та максимумом CU 2 .

Потужність ємнісного елемента:

Потужність у ємнісному елементі має характер коливань із подвоєною частотою. При позитивних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруги збігаються, енергія з джерела надходить у ємнісний елемент і запасається (зберігається) у ньому. При негативних напівхвилях потужності, коли знаки струму та напруження різні, енергія віддається назад джерелу. Середнє за період значення потужності P=0 (енергія в ємнісному елементі не розсіюється, тобто не споживається), див. рис. 3.

Для ємнісного елемента

.

Комплексна потужність (потужність в синусоїдальному режимі, що встановився)

У випадку електричного ланцюга є як активна, і реактивна складова. Це означає, що потужність ланцюга буде як розсіюватися (активна потужність), так і періодично накопичуватися в реактивних елементах і перерозподілятися між ними.

Нехай, як і раніше, струм та напруга будуть синусоїдальними:

Миттєва потужність дорівнює:

Таким чином, миттєва потужність ланцюга з довільною реактивністю, дорівнює:

З цього виразу випливає, що миттєва потужність ланцюга змінного струму має постійну складову і змінну складову, що змінюється в часі з подвоєною частотою.

Як було зазначено, середнє значення миттєвої потужності за період називається активною потужністю:

Підставивши в цей вираз формулу (1), отримаємо:

(2)

Активна потужністьв ланцюзі змінного струму дорівнює добутку діючих значень струму, напруги та косинуса кута зсуву фаз між ними. Активна потужність вимірюється у ватах (Вт). Множник cos φ називають коефіцієнтом потужності(або просто «косинусом φ ») .

Чим більший коефіцієнт потужності, тим більша активна потужність при заданих значеннях струму та напруги. В ідеалі, для ланцюгів без реактивності коефіцієнт потужності дорівнює 1.

Добуток діючих значень струму, напруги та синуса кута зсуву фаз між ними називається реактивною потужністю:

(3)

Реактивна потужність характеризує енергію, яка періодично циркулює між джерелом та навантаженням. Вона вимірюється у вольт-амперах реактивних (вар)

Твір діючих значень напруги та струму називають повною потужністю:

(4)

Повна потужність вимірюється у вольт-амперах (ВА) і характеризує граничну активну потужність ланцюга при коефіцієнті потужності, що дорівнює 1.

Якщо

,

,

тоді враховуючи відомі співвідношення для потужностей, маємо:

, активну потужність

, реактивну потужність

,

маємо:

У електричних ланцюгах при періодичному синусоїдальному вплив має місце баланс потужностей джерел і навантажень, тобто. комплексна потужність джерел енергії повинна дорівнювати комплексній потужності навантажень і активні та реактивні потужності джерел рівні активної та реактивної потужностей навантажень.

,

, ,

,

.

Знак реактивної потужності означає перевагу індуктивного (+) або ємнісного (-) опорів.

Активна потужністьв ланцюзі змінного струму дорівнює добутку діючих значень струму та напруги на косинус кута зсуву фаз між ними. Активна потужність характеризує енергію, яка передається від джерела до навантаження, де перетворюється на інші види енергії. Активна потужність вимірюється ватами (Вт). Множник cosφ називають коефіцієнтом потужності (або просто "косинус фі"). Чим більший cosφ, тим більша активна потужність при заданих значеннях струму та напруги.

Реактивна потужністьв ланцюзі змінного струму дорівнює добутку діючих значень струму та напруги на синус кута зсуву фаз між ними. Реактивна потужність характеризує енергію, яка циркулює між джерелом та навантаженням. Активна потужність вимірюється вольт-амперами реактивними (вар). При φ<0 (при емкостной нагрузке) реактивная мощность отрицательна, а при φ>0 (при індуктивному навантаженні) реактивна потужність позитивна.

Деякі методи чисельного аналізу (розрахунку) ланцюгів змінного струму

Метод пропорційного перерахунку

Метод пропорційного перерахунку застосовується до розрахунку нескладних ланцюгів, і навіть сходових ланцюгів. Метод застосовний до ланцюгів, в якому є одне джерело (джерело струму або напруги). У цьому методі задається умовно значення струму або напруги найбільш віддаленого від джерела ланцюга, а потім розраховуються всі інші струми і напруги, поки не буде розраховане напруга джерела (або струм джерела).

Потім визначається коефіцієнт пропорційності між заданим значенням напруги джерела (струму) та розрахованим. Далі, маючи на увазі лінійність ланцюга всі проміжні дані розрахунків, тобто. струми напруги множать на отриманий коефіцієнт пропорційності.

Пояснимо методику розрахунків з прикладу.

(Приклад розгалуженого RC ланцюга)

Графо-аналітичний метод перерахунку

У цьому методі використовується такий самий підхід, але замість методу комплексних амплітуд використовується графоаналітичний метод. Задаючи, як і попередньому прикладі, деяке чисельне значення струму, вибирають масштаби струмів і напруг. У заданих масштабах відкладають вибране значення струму, а потім будують «навколо» вибраного струму всі інші вектори. Зрештою знаходять вектор напруги або струму джерела. Визначають коефіцієнт пропорційності по амплітуді та пропорційно збільшують або зменшують вибраний масштаб. Визначають різницю фаз між отриманим значенням напруги або струму джерело і істиною фазою заданої напруги або струму джерела, а потім повертають всю картинку з векторами. В результаті виходять справжні струми та напруги, які викликаються заданою напругою або струмом джерела.