Векторна діаграма lc. Векторні діаграми

В активному опорінапруга і струм збігаються по фазі, тому вектори напруги Ū R і струму Ī спрямовані в один бік (рис.2.1). Вони можуть лежати на одній прямій або паралельних прямих. При цьому зв'язування векторів Ū R та Ī може мати довільний напрямок, але у всіх випадках кут між векторами дорівнює нулю .

Примітка. Для того щоб різні вектори, що лежать на одній прямій, не зливалися і легко відрізнялися один від одного, рекомендуємо проводити їх на деякій, досить малій відстані один від одного.

2.2. Індуктивність

В індуктивності струм відстає фазою від напруги на чверть періоду. На векторній діаграмі кут між векторами Ū L та Ī становить 90 º. І тут зв'язування векторів Ū L та Ī може бути зорієнтована як завгодно, та їх взаємне розташування незмінно. При обертанні діаграми проти годинникової стрілки попереду йде вектор напруги Ū L , а за ним з відставанням на 90 º слідує вектор струму Ī (Рис.2.2).

2.3. Ємність

У ємності напруга відстає від струму на чверть періоду. Кут між векторами Ū C і Ī також дорівнює 90º, але при обертанні діаграми проти годинникової стрілки попереду йде вектор струму, його вектор напруги (рис.2.3).

Вказане взаємне розташуваннявекторів на діаграмах має місце при однакових напрямках стрілок напруги та струму на схемі аналізованого елемента.

3. Електричний ланцюг при послідовному з'єднанні елементів

Завдання 3.1.Потрібно побудувати векторну діаграму ланцюга, що складається із послідовно з'єднаних елементів (рис.3.1.).

Запишемо рівняння другого закону Кірхгофа у векторній формі: напруга, прикладена до ланцюга, дорівнює сумі напруги на всіх елементах:

Ū = Ū R 1 + Ū L+ Ū R 2 + Ū C (3.1)

Суму напруг у правій частині рівняння записуємо в тому порядку, в якому при обході контуру від точки а (першого вхідного затиску) до точки d (Другий вхідний затискач) зустрічаються відповідні елементи. У такому ж порядку відкладатимемо і вектори. При побудові діаграми контур обходимо у напрямку струму. Звертаємо увагу, що напрям стрілки напруги кожному елементі ланцюга збігається з напрямом стрілки струму.

Побудова діаграми починаємо з вектора струму, т.к. в послідовного ланцюгаСтрум є загальним для всіх елементів (рис.3.2, а).

Перший елемент, який ми зустрічаємо при обході ланцюга, – активний опір R 1 . Вектор напруги на його затискачі Ū R 1 направляємо по вектору струму Ī , Сумісивши початку цих двох векторів (рис.3.2, б). Наступний елемент – індуктивність L . Напруга Ū L на ній згідно з рівнянням 3.1 ми повинні додати до напруги Ū R1. Тому початок вектору Ū L поєднуємо з кінцем вектора Ū R 1 та відповідно до п.2.2. направляємо його вгору – у бік випередження струму (рис.3.2, в). До кінця вектора Ū L прибудовуємо вектор Ū R 2 , спрямовуючи його паралельно вектору струму Ī (Рис.3.2, г).

Останній вектор – Ū C прилаштовуємо до кінця вектора Ū R 2 спрямовуючи його у бік відставання від струму, тобто. вниз (рис.3.2, буд). Вектор Ū , проведений з початку вектору Ū R 1 на кінець вектора Ū C , і рівний сумівсіх чотирьох векторів визначає вхідну напругу ланцюга (рис.3.2, е).

Результуюча векторна діаграма дозволяє визначати напруження на окремих ділянках електричного ланцюга. Наприклад, напруга між точками a і b складається з напруг на активному опорі R 1 та індуктивності L тому вектор Ū ab , спрямований з початку вектора Ū R 1 на кінець вектора Ū L (показаний пунктиром). Аналогічно проведено і вектор Ū bd , рівний сумі векторів Ū R 2 та Ū C.

Завдання 3.2.За заданою векторною діаграмою (рис.3.3) накреслити ланцюг, на який вона побудована.

На діаграмі показаний один вектор струму та п'ять векторів напруг, які у сумі дають вектор Ū :

Ū = Ū 1 + Ū 2 + Ū 3 + Ū 4 + Ū 5.

З цього ми робимо висновок, що електричний ланцюг складається з послідовно з'єднаних п'яти елементів, якими протікає той самий струм.

Напруга Ū 1 першому елементі відстає від струму на 90º, отже, це – ємність. Другий елемент – активний опір, тому що вектор Ū 2 паралельний вектору струму Ī збігається з ним по фазі. Напруга Ū 3 випереджає струм на 90 º, отже, третій елемент – індуктивність. Четвертий елемент – ємність, т.к. напруга Ū 4 відстає від струму на 90º (перебуває у протифазі з напругою Ū 3). І, нарешті, останній елемент – знову активне опір, т.к. напруга на ньому збігається по фазі зі струмом. Ū 5 та Ī паралельні та спрямовані в один бік. Загальний вигляд схеми показано на рис.3.4.

трикутником напругі трикутником опорів,:

Послідовне коло R, C на змінному струмі: векторна діаграма струму і напруг, трикутник напруг. Закон Ома у комплексної форми.

якщо в такій гілки тече струм, то падіння напруги складатиметься з:

де; наведеному вище рівнянню можна поставити у відповідність вираз: , який наочно демонструють векторні діаграми, які називаються відповідно трикутником напругі трикутником опорів,:

Закон Ома у комплексній формі:

Послідовний ланцюг R, L, C на змінному струмі: векторна діаграма струму та напруг. Реактивний опірланцюги. Резонанс напруги.

падіння напруги на ланцюзі: , де: , а . Залежно від співвідношення величин і можливі три різні випадки:

У ланцюзі переважає індуктивність, тобто. , а отже . Цьому режиму відповідає векторна діаграма малюнку а.

У ланцюзі переважає ємність, тобто. , а значить, . Цей випадок відображає векторну діаграму на малюнку б.

Випадок резонансу напруг ( малюнок в).

Умова резонансу напруг: , за якого . При резонансі напруги або режимах, близьких до нього, струм у ланцюгу різко зростає. Теоретично при R=0 його величина прагне нескінченності. Відповідно до зростання струму збільшуються напруги на індуктивному та ємнісному елементах, які можуть у багато разів перевищити величину напруги джерела живлення. Фізична сутність резонансу полягає у періодичному обміні енергією між магнітним полем котушки індуктивності та електричним полем конденсатора, причому сума енергій полів залишається постійною.

- резонансними кривиминазиваються залежності струму та напруги від частоти:

Розгалужені електричні ланцюги змінного струму: комплексна провідність послідовної гілки R, L, трикутник провідностей, еквівалентна паралельна схемаіз провідностями.

- повний опіртакого ланцюга: ;

- повна провідність: ;

При зображенні трикутника провідностей на комплексній площі відкладають активну, індуктивну та повну провідності: (див. рис.) та

Послідовну схему з'єднання R і L можна замінити на паралельну перетворивши струм через ланцюг як суму активного та реактивного струму:

проводити розрахунки розгалужених схем зручно, наводячи їх до еквівалентної паралельної:

Паралельний електричний ланцюг із конденсатора та котушки індуктивності: еквівалентна паралельна схема, векторна діаграма струмів. Резонанс струмів.

Комплекс загального струмучерез таку гілку: ;

Провідність такого ланцюга: , а

Залежно від співвідношення величин і можливі три різні випадки.

У ланцюзі переважає індуктивність, тобто. , а отже, . Цьому режиму відповідає векторна діаграма малюнку а .

У ланцюзі переважає ємність, тобто. , а значить, . Цей випадок ілюструє векторну діаграму на малюнку б .

І - випадок резонансу струмів ( малюнок в ).

Умова резонансу струмів або . Отже, при резонансі струмів вхідна провідність ланцюга мінімальна, а вхідний опір, навпаки, максимально. Зокрема за відсутності ланцюга малюнку резистора Rїї вхідний опір як резонансу прагне нескінченності, тобто. при резонансі струмів струм на вході ланцюга мінімальний.

Наведена умова резонансу справедлива лише для найпростіших схем із послідовним або паралельним з'єднанням індуктивного та ємнісного елементів.

Потужність електричного ланцюга змінного струму: миттєва потужність в елементах R, L, C. Реактивна потужністьіндуктивності та ємності. Трикутник потужностей. Активна, реактивна, повна та комплексна потужності всього ланцюга.

Інтенсивність передачі або перетворення енергії називається потужністю :

- миттєве значення потужності в електричному ланцюгу: , Прийнявши початкову фазу напруги за нуль, а зсув фаз між напругою і струмом за , Отримаємо:

Т.ч., миттєва потужність має постійну складову та гармонійну складову, кутова частота якої в 2 рази більша за кутову частоту напруги та струму.

Коли миттєва потужність негативна, а це має місце (див. рисунок), коли uі iрізних знаків, тобто. коли напрямки напруги та струму у двополюснику протилежні, енергія повертається з двополюсника джерела живлення.

Таке повернення енергії джерелу відбувається за рахунок того, що енергія періодично запасається в магнітних та електричних полях відповідно до індуктивних і ємнісних елементів, що входять до складу двополюсника;

Енергія, що віддається джерелом двополюснику протягом часу tдорівнює.

Середнє за період значення миттєвої потужностіназивається активною потужністю: , [Вт]; З огляду на, що , отримаємо: . Активна потужність, споживана пасивним двополюсником, може бути негативною (інакше двополюсник буде генерувати енергію), тому , тобто. на вході пасивного двополюсника. Випадок Р=0, теоретично можливий для двополюсника, що не має активних опорів, а містить лише ідеальні індуктивні та ємнісні елементи.

- потужність на резисторі(Ідеальному активному опорі) споживається тільки активна, т.к. Струм і напруга збігаються по фазі:

- потужність на котушці індуктивності(Ідеальної індуктивності) не споживається:

Т.к. Струм відстає від напруги по фазі на , то: ; На ділянці 1-2 енергія, що запасається в магнітному полі котушки, наростає. На ділянці 2-3 – зменшується, повертаючись у джерело.

- потужність на конденсаторі(Ідеальної ємності) також не споживається:

Струм тут випереджає напругу, тому , і . Т.ч., у котушці індуктивності та конденсаторі не відбувається незворотного перетворення енергії на інші види енергії. Тут відбувається лише циркуляція енергії: електрична енергія запасається в магнітному полі котушки або електричному поліконденсатора протягом чверті періоду, а протягом наступної чверті періоду енергія знову повертається до мережі. Внаслідок цього котушку індуктивності та конденсатор називають реактивними елементами, а їх опори Х L , а , то комплекс повної потужності:

- трикутник потужностей- Відображення комплексних значень потужностей на комплексній площині (при маємо наступне відображення).

Для спрощення аналізу та розрахунку ланцюгів змінного струму доцільно використовувати вектори.

В електротехніці векторами зображуються змінюються синусоїдально ЕРС, напруги і струми, але на відміну від векторів, якими зображалися сили та швидкості в механіці, ці вектори обертаються з постійною кутовою частотою і не означають напрямок дії.

Припустимо, що радіус-вектор ОА (рис. 2.3,а), що є в певному масштабі амплітудне значення ЕРС Е т, обертається з постійною кутовою частотою ω = 2 πfпроти годинникової стрілки. Проекція вектора ОА на вертикальну вісь (вісь у) буде рівна

Про а = ОA sin α.

Виразивши ОА через амплітудне значення ЕРС Е тта α через ωt, Отримаємо вираз миттєвого значення ЕРС, що змінюється синусоїдально:

е = Е т sin ωt.

Графік миттєвих значень ЕРС зображено на рис. 2.3,б. За початок відліку вибрано момент часу, коли радіус-вектор співпадає з горизонтальною віссю (вісь х).

Рис. 2.3. Вектори (а), що обертаються, і графік миттєвих значень синусоїдальної ЕРС (б)

Якщо в момент t=0 радіус-вектор ОАзбігається з лінією, розташованою під кутом ψ до осі х, то проекція Оа"і, отже, ЕРС будуть відповідно рівні

Оа = ОА sin (ωt + ψ), е = E m sin (ωt + ψ).

Аналогічно можна представити у вигляді векторів, що обертаються проти годинникової стрілки з постійною кутовою частотою, напруга і струм.

Розрахунок ланцюгів синусоїдального струмувиробляють у діючих значеннях ЕРС, напруг та струмів. При цьому підсумовування Е, U, Iпростіше здійснити за допомогою векторів, що обертаються, замість того, щоб склавши миттєві значення е, і, i, визначити діючі значення результуючих Е, U, Iінтегрування гармонійних функцій. Адекватність цих дій можна обґрунтувати так.

Припустимо, що в якомусь вузлі ланцюга змінного струму (рис. 2.4 а) відомі значення струмів i 1 і i 2:

i 1 = I 1m sin (ωt + 1);

i 2 = I 2 m sin (ωt + ψ 2).

Потрібно визначити струм i.

На підставі першого закону Кірхгофа миттєве значення струму

i = i 1 + i 2 ,

i = I 1m sin (ωt + ψ 1) + I 2m sin (ωt + ψ 2).

Струм i можна визначити аналітично шляхом тригонометричних перетворень або графічно складання графіків миттєвих значень струмів i 1 і i 2 як це зроблено на рис. 2.4, б. Результуючий струм також змінюється синусоїдально та відповідно до рис. 2.4, б

Рис. 2.4. Складання синусоїдальних струмів за допомогою векторів (а): графіки миттєвих значень струмів (б)

i = I m sin (?t +?).

Значно простіше зробити складання струмів i 1 і i 2 якщо зобразити амплітуди струмів у вигляді векторів і скласти їх за правилом паралелограма. На рис. 2.4 а амплітуди струмів I 1 m і I 2 m зображені у вигляді векторів під кутами початкових фаз 1 і 2 щодо осі х. Після часу t вектори повернуться на кут α = ωt. Проекції амплітуд на вісь у складуть

i 1 = I 1 m sin (ωt + ψ 1);

i 2 = I 2 m sin (ωt + ψ 2).

Склавши вектори I 1 m і I 2 m за правилом паралелограма (див. рис. 2,4 а), отримаємо амплітуду результуючого струму I m . Сума проекцій струмів I 1 m і I 2 m дорівнює проекції результуючого струму I m:

i = i1 + i2.

Отримане вираз відповідає першому закону Кірхгофа для вузла ланцюга, що розглядається (див. рис. 2.4, а). З рис. 2.4. а видно, що взаємне розташування векторів I 1 m, I 2 mта I mу будь-який час залишається незмінним, оскільки вони обертаються з постійної кутовий частотою ω. Аналогічно можна визначити суму кількох змінюваних синусоїдально з однаковою частотою напруг або ЕРС. Наприклад, у послідовному ланцюгу змінного струму діють три напруги:

u 1 = U 1 m sin (ωt + ψ 1);

u 2 = U 2 m sin (ωt + ψ 2);

u 3 = U 3m sin (ωt + ψ 3).

Суму u = u 1 + u 2 + u 3 напруг можна визначити шляхом складання векторів їх амплітуд (рис. 2.5)

Рис. 2.5. Векторна діаграма напруг

Ūm = Ū1m + Ū2m + Ū3m

та наступного запису результуючого напруги u = U m sin (ωt + ψ).

Сукупність кількох векторів, що відповідають рівнянням електричного ланцюга, називається векторною діаграмою.

Зазвичай векторні діаграми будують не для амплітудних, а для діючих значень. Вектори значень, що діють, відрізняються від векторів амплітудних значеньтільки масштабами, тому що

I = I m / .

При побудові векторних діаграм зазвичай один з вихідних векторів розташовують на площині довільно, інші вектори - під відповідними кутами до вихідного. При цьому в переважній більшості випадків можна обійтися без нанесення осей координат хі у.