Запишемо закон Ома у комплексній формі на ємнісному елементі
ЛЕКЦІЯ 7 АНАЛІЗ ЛАНЦЮГУ З НАСЛІДНИМ
З'ЄДНАННЯМ ПРИЄМНИКІВ
План лекції
4. Резонанс напруг
1. Основні закони ланцюгів змінного струму
В ланцюгах змінного струму закон Ома виконується всім значень, закони Кірхгофа – лише миттєвих і комплексних, які враховують фазні співвідношення.
Перший закон Кірхгофа. Алгебраїчна сума миттєвих значень струмів у вузлі:
∑ i k = 0 ,
k= 1
або алгебраїчна сума комплексних значень струмів у вузлі дорівнює нулю:
∑ I k = 0 .
k= 1
Другий закон Кірхгофа.Алгебраїчна сума миттєвих значень напруг на приймачах у контурі дорівнює алгебраїчній сумі миттєвих значень ЕРС, що діють у цьому контурі:
Рівняння, складені за законами Кірхгофа, називають рівняннями електричного стану.
1. Основні закони ланцюгів змінного струму
Схема заміщення ланцюга із послідовним з'єднанням приймачів представлена на рис. 7.1.
Для аналізу процесів скористаємось рівнянням на підставі другого закону Кірхгофа у комплексній формі:
U = UR + UL + UC.
Підставимо в це рівняння значення напруги, виражені за законом Ома:
U = R I + j XL I - j XC I = [R + j (XL - XC)] I = Z I,
де Z - Комплексний опір ланцюга.
Очевидно, що
Z = R+ j(XL − XC ) = R+ j X,
де R - активний опір, Х - Реактивний опір.
Закон Ома у комплексній формі для ланцюга з послідовним з'єднанням приймачів:
U=Z I.
Реактивний опір Х може бути позитивним та негативним.
Реактивний опір Х > 0, якщо XL > X C . У цьому випадку ланцюг
має індуктивний характер.
Реактивний опір X< 0 , еслиX L < X C . Тогда цепь имеет емкостный характер.
2. Побудова векторної діаграми
Зазвичай при її побудові не прив'язуються до комплексної площини, оскільки має значення тільки взаємне розташуваннявекторів.
Побудова векторної діаграми починають із вектора величини, загальної для цієї ланцюга. При послідовному з'єднанні елементів такий
ЛЕКЦІЯ 7. АНАЛІЗ ЛАНЦЮГУ З НАСЛІДНИМ З'ЄДНАННЯМ ПРИЄМНИКІВ
2. Побудова векторної діаграми
величиною є струм. Вид діаграми залежить від характеру ланцюга. Побудова векторної діаграми для ланцюга, що має активно-індуктивний характер, тобто XL > X C і X > 0 показано нарис. 7.2.
Вхідна напруга складається з напруги на трьох ідеальних елементах при обліку зсуву фаз. Напруга на резисторі збігається зі струмом по фазі. Напруга на індуктивному елементі випереджає струм на 90 °, на ємнісному - відстає на 90 °.
Отриманий під час побудови векторної діаграми трикутник ОАВ зображений нарис. 7.3.
Кут φ = ψu − ψi – кут зсуву фаз то-
ка та повної напруги.
Трикутник ОАВ дає можливість оперувати чинними значеннями, для яких закони Кірхгофа не виконуються:
U = UR 2 + (UL − UC ) 2 ,
Arc tg U L − U C ,
U R = Ucos ϕ, UL − UC = Usin ϕ.
UL − UC
O A UR
3. Трикутники опорів потужностей
Якщо розділити всі сторони трикутника напруги на струм I, отримаємо подібний до нього трикутник опорів (рис. 7.4), де Z – повне опір ланцюга,R – активний опір, Х- Реактивний опір-
ня, X L = L ω - індуктивний опір, X C = | - ємнісне сопро- |
|||||||||||||||
тивление. | ||||||||||||||||
U − U | ||||||||||||||||
−X C | ||||||||||||||||
Закон Ома для діючих значеньпри послідовному з'єднанні приймачів має вигляд:
ЛЕКЦІЯ 7. АНАЛІЗ ЛАНЦЮГУ З НАСЛІДНИМ З'ЄДНАННЯМ ПРИЄМНИКІВ
3. Трикутники опорів та потужностей
U=Z I.
З властивостей трикутника опорів отримуємо співвідношення:
Z = R 2 + X 2 = R 2 + (X L -X C) 2; ϕ =arc tg | |||
R = Z cosϕ; X = Z sinϕ. | |||
Кут залежить від співвідношення опорів ланцюга.
Порівняння формул повного і комплексного опорів дозволяє зробити висновок, що опір є модулем комплексного. З трикутника опорів видно, що аргументом комплексного опору є кут.
Тому можна записати:
Z = R + jX = Z e j ϕ.
Повний опір будь-якої кількості послідовно з'єднаних приймачів
Z = (∑ R) 2 + (∑ XL − ∑ XC ) 2 .
Множенням всіх сторін трикутника напруги на струм отримуємо трикутник потужностей (рис. 7.5).
Активна потужність
P = UR I = R I2 = U Icos ϕ
характеризує енергію, що передається в одному напрямку від генератора до приймача. Вона пов'язана із резистивними елементами.
U I = S
UL − UC I= Q
UR I = P
Реактивна потужність Q = U L − U C I = X I 2 = U I sinϕ характеризує
частина енергії, що безперервно циркулює в ланцюгу і не здійснює корисної роботи. Вона пов'язана із реактивними елементами.
Повна (здається) потужність S = U I = P 2 + Q 2 .
ЛЕКЦІЯ 7. АНАЛІЗ ЛАНЦЮГУ З НАСЛІДНИМ З'ЄДНАННЯМ ПРИЄМНИКІВ
3. Трикутники опорів та потужностей
Активну потужність вимірюють у ватах (Вт), реактивну – вольтамперах реактивних (вар), повну – вальт-амперах (В А).
4. Резонанс напружень
Індуктивна котушка та конденсатор – взаємопридушливі антиподи. Коли вони повністю компенсують дію один одного, у ланцюзі на-
спостерігається резонансний режим.
Резонанс напруги виникає при послідовному з'єднанні індуктивних котушок і конденсаторів. Умова резонансу напруги: вхідний реактивний опір Х дорівнює нулю.
Розглянемо режим резонансу ланцюга, схема заміщення якого представлена на рис. 7.1.
При резонансі
X = XL −X C =0 .
Звідси X L = X C.
Оскільки X L = L ω, а X C = C 1 ω , то при резонансі L ω0 = C 1 ω 0 . Тоді LC ω0 2 = 1. Звідси випливає, що домогтися резонансу напруг у схемі
Рис. 7.1 можна зміною індуктивності L, ємності та частоти ω. Циклічна резонансна частота
ω 0= | ||||||||||
Тоді частота | ||||||||||
f0= | ||||||||||
При резонансі повне опір Z = R 2 + X 2 = R . Ланцюг має |
||||||||||
суто активний характер. | (ω= ω0 ) | X = 0, | X L = X C, |
|||||||
резонансної | ||||||||||
Z = R2 + X2 = R = Zmin, I = U | I max. | |||||||||
Побудуємо векторну діаграму (рис. 7.6). | ||||||||||
Очевидно, що U = U R , | U L = − U C ,UL = U C , кут = 0 . | |||||||||
Ланцюг має суто активний характер.
Значення резонансу напруги:
1. У електроенергетичних пристроях в U L U C в більшості випадків явище небажане,
ЛЕКЦІЯ 7. АНАЛІЗ ЛАНЦЮГУ З НАСЛІДНИМ З'ЄДНАННЯМ ПРИЄМНИКІВ
4. Резонанс напруг
пов'язане з несподіваною появою перенапруг.
2. У електротехніці зв'язку (радіотехніці, дротяної телефонії), в автоматиці явище резонансу напруги широко використовують для налаштування ланцюга на певну частоту.
Питання для самоперевірки
1. Для яких значень електричних величинчи виконуються закони Кірхгофа?
2. Що є модулем комплексного опору?
3. Що аргументом комплексного опору?
4. Як пов'язані між собою активний, реактивний і комплексний опір?
5. Як визначити повний опір схеми?
6. Від чого залежить кут ц між напругою та струмом?
7. Яка потужність споживана?
8. Яку енергію характеризує активна потужність?
9. Яку енергію характеризує реактивна потужність?
10. В яких одиницях вимірюють активну, реактивну та повну потужність-
11. Яка умова резонансу напруги?
12. Яке значення резонансу напруги?
U m = U m e j u ; I m = I m e j i = CU m e = CUm e j u e,
враховуючи, що e j = j, -j = отримаємо: I m = .
Перейдемо до комплексів діючих значень: I = U / X з ,
де X
з =
- Комплексний ємнісний опір.
Векторна діаграма на комплексній площині струму та напруги ємнісного елемента представлена на рис. 1.10. 
Рис. 1.10.
1.6. Комплексний метод розрахунку лінійних електричних ланцюгів при синусоїдальних струмах
Як відомо, розрахунок будь-який електричного ланцюгаможна зробити на основі законів Кірхгофа, склавши та вирішивши систему рівнянь. Застосування законів Кірхгофа для миттєвих значень синусоїдальних струмів та напруг призводить до диференціальних рівнянь. Наприклад, для ланцюга з послідовно включеними активним та індуктивним елементами рівняння другого закону Кірхгофа має вигляд:
.
Повне рішення i(t) цього лінійного диференціального рівняння, як відомо, складається з приватного рішення, що визначається видом функції u(t), загального рішенняоднорідного диференціального рівняння, одержуваного при u(t)=0. Складова струму при u(t)=0 може існувати тільки за рахунок запасів енергії в магнітному полі індуктивного елемента і загасатиме внаслідок розсіювання енергії на активному елементі. Таким чином, через невеликий проміжок часу після включення, в ланцюзі залишається струм, який визначається лише приватним рішенням рівняння ланцюга. Цей струм називається струмом встановленого режиму. Надалі аналізуватимемо саме цей режим. Припустимо, що прикладене до досліджуваного ланцюга напруга змінюється за законом: u(t)=U 0 sin( t+ u) .
Як показано раніше (див. п.1.5), в активному та індуктивному елементах струм встановленого режиму також змінюватиметься за синусоїдальним законом: i(t)=I m sin( t+ ) .
Завдання зводиться до пошуку амплітуди та початкової фази струму при заданій частоті. При необхідності визначення струмів гілок або напруги на ділянках ланцюга потрібне підсумовування синусоїдальних функцій часу. Ця операція пов'язана з громіздкими та трудомісткими обчисленнями. Громіздкість викладок викликана тим, що синусоїдальна величина при заданій частоті визначається не однією, а двома величинами - амплітудою та фазою. Істотне спрощення досягається при зображенні синусоїдальних функцій часу комплексними числами. Можливість такого уявлення для синусоїдальних струмів та напруг показано раніше (див. п. 1.4.).
Метод, заснований на зображенні дійсних синусоїдальних функцій часу комплексними числами, називається комплексним методом. Його називають також символічним методом, оскільки він ґрунтується на символічному зображенні функції часу функцією частоти. У комплексному способі використовується дуже важлива властивість експоненційної функції, що полягає в тому, що диференціювання комплексної експоненти в часі рівносильне множенню її на j, а інтегрування - поділу на j:
; 
.
В результаті, всі диференціальні рівняння, складені за законами Кірхгофа, замінюються рівняннями алгебри в комплексній формі. Вирішуючи ці рівняння алгебри, знаходимо комплексні струми і від них переходимо до миттєвих значень. Таким чином, комплексний метод суттєво полегшує розрахунки тому, що він є методом алгебраїзації диференціальних рівнянь.
1.7. Вираз законів Ома та Кірхгофа у комплексній формі
Розглядаючи активний, індуктивний та ємнісний елементи в ланцюгу синусоїдального струму, ми ввели поняття активного та реактивного (індуктивного чи ємнісного) опорів. Узагальнюючи, назвемо відношення комплексної напруги до комплексного струму комплексним опором ланцюга Z:
.
Модуль і аргумент опору рівні відповідно до відношення діючих значень та зсуву фаз між струмом та напругою.
Речовинну і уявну частини Zназивають активним та реактивним опорами. Величина, зворотна до комплексного опору, називається комплексною провідністю:
.
Її модуль і аргумент за визначенням є зворотними величинами Z і . Речовинну і уявну частини Y називають активною та реактивною провідностями. Встановимо зв'язок між активними та реактивними опорами та провідностями.
звідси 
.
Введення комплексних опорів і провідностей означає введення закону Ома в комплексній формі для синусоїдального режиму, що встановився: 
.
На відміну від закону Ома для постійного струму, тут враховується, крім значень струму і напруги, що діють, ще й зрушення фаз між ними.
Запишемо тепер закони Кірхгофа у комплексній формі.
Перший закон Кірхгофа для вузлів у комплексній формі записується як: .
Другий закон Кірхгофа для контурів у комплексній формі записується як: .
Після введення понять комплексного опору та встановлення законів Ома та Кірхгофа для комплексних струмів і напруг гілок немає необхідності в попередньому складанні систем диференціальних рівнянь ланцюга з подальшим перетворенням їх на рівняння алгебри для комплексів струму і напруги. При аналізі ланцюга комплексним способом зручно кожен елемент ланцюга представляти своїм комплексним опором чи провідністю, а струми та напруги – відповідними комплексами діючих значень. В результаті виходить комплексна схема заміщення ланцюга. На цій схемі кожну пасивну гілку можна у вигляді двополюсника з комплексним опором, а кожну активну - у вигляді джерела з комплексними ЕРС та внутрішнім опором.
Така схема заміщення матиме вигляд резистивного ланцюга, тільки замість речових величин на схемі будуть комплексні величини струму, напруги, ЕРС та опору.
До 
омплексний характер величин відображає необхідність обліку зсуву фаз між синусоїдальними струмами і напругами в режимі, що встановився. Рівняння стану за комплексними схемами заміщення складаються аналогічно резистивним ланцюгам на постійному струмі. Тому при аналізі ланцюга комплексним способом можна застосовувати всі ті методи, які справедливі на постійному струмі:
Методи еквівалентного перетворення схем (паралельне та послідовне з'єднанняелементів, перетворення зірка - трикутник і назад, перетворення джерел напруги та струму);
Метод пропорційних величин;
метод вузлових потенціалів;
Метод контурних струмів;
метод еквівалентного генератора;
Принцип накладення, взаємності.
Формально відмінність аналізу комплексним способом від аналізу резистивних ланцюгів на постійному струмі буде лише у цьому, що коефіцієнти всіх рівнянь , і навіть змінні будуть комплексними величинами.
Оскільки кожне доданок у комплексному рівнянні можна уявити вектором, а саме рівняння - сумою векторів, комплексний метод дозволяє супроводжувати аналітичні розрахунки наочними графічними ілюстраціями - векторними діаграмами.
Розглянемо використання комплексного методу розрахунку конкретних ланцюгів.
1.8. Реальна котушка індуктивності в ланцюгу синусоїдального струму
Тут повний комплексний опір котушки: Z
=R+j
L
Реальна котушка індуктивності, крім індуктивності, має активний опір витків дроту, з якого вона виготовлена. Тому комплексна схема заміщення складатиметься із послідовно з'єднаних індуктивного та активного опорів, рис. 1.11.
За другим законом Кірхгофа для комплексів діючих значень напруг загальна напруга
U= U L+ U R =jL I+R I=(jL+R) I=Z I
складається з активної та реактивної (індуктивної) складових.
Рис. 1.11.
Модуль та аргумент опору: Z=,
визначають відповідно співвідношення амплітуд і зсув фаз між напругою та струмом. Комплекс струму дорівнює 
,
де u-Початкова фаза прикладеної напруги.
Отже, вираз для миттєвого значення синусоїдального струму в реальній котушці індуктивності має вигляд:
.
Струм відстає по фазі від прикладеного до ланцюга напруги на кут , що залежить від співвідношення між активним та індуктивним опорами котушки.
Отримані комплексні співвідношення можна зобразити на діаграмі, рис. 1.12. 
Рис. 1.12.
Вектор струму, загального для послідовно включених елементів, приймається за вихідний і відкладається у довільному напрямку, зазвичай горизонтальному.
Вектор U Rпрямує вздовж вектора I оскільки він збігається по фазі, а вектор U L, Випереджаючи вектор струму на 90 про, будуємо перпендикулярно струму проти годинникової стрілки. Геометрична сума цих двох векторів дає вектор. U напруги, що додається до котушки індуктивності. Вектор U випереджає по фазі вектор I на кут . Якщо початкова фаза напруги uзадана, можна нанести осі комплексної системи координат та шляхом геометричних вимірювань визначити iта інші цікаві для нас параметри.
Необхідно проте пам'ятати, що уявлення загальної напругина затискачах реальної котушки індуктивності у вигляді суми активної та індуктивної складових, є формальним і в реальному ланцюзі вони не існують і не піддаються безпосередньому виміру вольтметром.
1.9. Послідовне включення реальної котушки індуктивності та конденсатора без втрат у ланцюг синусоїдального струму
Послідовне коло змінного струму з індуктивною котушкою і конденсатором можна представити комплексною схемою заміщення R, L, C елементами, рис. 1.13. 
Рис. 1.13.
Прикладене напруження запишемо як суму напруг на елементах ланцюга:
u = u R +u L +u C
або в комплексній формі: U = U R + U L + U C .
2.4.2. Закони ома та кірхгофа в комплексному вигляді
Закон Ома у комплексному вигляді:
Ỉ=Ủ/ Zабо Ỉ= Y∙Ủ, (2.26)
де Ỉ - струм, що протікає в електричному ланцюзі,
Ủ - напруга. додане до електричного ланцюга,
Y- Комплексна провідність електричного ланцюга,
Z- Комплексний опір електричного ланцюга.
Перший закон Кірхгофа.Сума струмів у дротах, що сходяться у вузлі електричного ланцюга дорівнює нулю:
Другий закон Кірхгофа.Сума комплексних е.д.с. або напруги, що діють у замкнутому контурі, дорівнює сумі падінь напруги на елементах цього контуру.
(2.28)
Закони Ома і Кірхгофа справедливі як миттєвих, так діючих значень е.д.с. напруг та струмів.
Діючі (ефективна або середньоквадратична напруга) визначається виразом:
,
(2.29)
де T - період коливань напруги, що дорівнює 1/f,
f – частота коливань напруги.
При строго синусоїдальної формі коливань напруга, що діє, дорівнює: U=Um/ 
,
(2.30)
де Um-максимальне значення напругиu(t).
Аналогічно визначаються діючі значення е.р.с. та струмів.
2.4.3. Побудова векторних діаграм на комплексній площині, що обертається.
Для полегшення побудови векторних діаграм на площині, що обертається, необхідно запам'ятати наступні основні положення:
а) У ланцюзі з активним опором струм та напруга збігаються по фазі.
б) В ідеалізованому ланцюгу тільки з індуктивним опором без втрат напруга по фазі випереджає струм на кут, що дорівнює 90 градусів
в) У ланцюгу з суто ємнісним опором без втрат струм випереджає по фазі напругу на кут +90 градусів.
Рис.2.1.Мнемонічна схема, що пояснює можливі повороти
радіусів-векторів при різному включенні r-L-Cелементів.
При побудові векторні діаграмитреба починати побудову з вектора напруги або струму загального для всього аналізованого ланцюга. Зокрема, при послідовному включенні елементів ланцюга треба починати з побудови вектора струму, що протікає через всі елементи ланцюга. При паралельному включенні елементів ланцюга побудова векторної діаграми треба починати з вектора загальної напруги, а потім будувати вектори струмів, що протікають через кожну з гілок електричного ланцюга. Можливі зрушення фаз векторів напруги в електричних ланцюгах, що складаються з різних комбінацій r-L-C елементів, наведені на схемі мнемоній (див. рис.2.1.).
Радіус-вектори на схемі і нижче виділяються жирним шрифтом або крапками над ними.
2.4.4. Резонанс напруг в ланцюгу, що складається з послідовно включених котушки індуктивності та конденсатора
Розглянемо приклади такого аналізу у припущенні, що величини опору, ємності та індуктивності не змінюються у часі та не залежать від прикладеної напруги та струмів (див. рис.2.2).
Рис.2.2.Електрична схема послідовно включених r-L-C-елементів.
Процеси, що відбуваються в досліджуваному ланцюзі (відповідно до другого закону Кірхгофа) описуються (при сталості величин елементів у часі та незалежності їх від величини струму, що протікає) лінійним інтегрально-диференціальним рівнянням:
u(t)=ri(t)+Ldi(t)/dt+1/C ∫i(t)dt, (2.31)
де u(t) - змінна напруга, що подається від джерела на коливальний контур,
i(t) – змінний струм, що протікає в ланцюзі,
L - індуктивність,
r – активний опір котушки індуктивності,
З – ємність конденсатора.
Опір (r), індуктивність (L) та ємність (C) утворюють коливальний контур, в якому можливий резонанс напруги. Термін «резонанс напруги» має на увазі, що при рівності Х l = Хc, змінна напруга на елементах контуру L і C збільшується в Q разів у порівнянні з напругою, що подається від джерела на контур. Під величиною Q розуміється добротність контуру, що дорівнює Q=Хс/r.
При прийнятих припущеннях рівняння (2.31) може бути подане у такому вигляді:
u(t)=i(t)*(r+j). (2.32)
Звідки слідує вираз для комплексного опору контуру
Z= r + j (X l -Xc).
При резонансі напруги, коли Х l =Хс, Z=r, тобто опір контуру виявляється активним, а струм, що протікає через контур, досягає максимальної величини, що дорівнює i(t)макс=u(t)/r.
В даному випадку побудова векторної діаграми треба починати із загального ланцюга вектора струму (Ỉ), потім будуються вектори напруг. При послідовному з'єднанні котушки індуктивності та ємності загальний реактивний опір ланцюга X дорівнює алгебраїчної різниці індуктивного та ємнісного опорів Xl та Хc. Додана до такого ланцюга напруга можна представити у вигляді векторної суми вектора падіння напруги на активному опорі (U r), що збігається фазою з вектором струму; вектора падіння напруги на індуктивності (U l), що випереджає струм по фазі на кут 90° та вектора падіння напруги на ємності (Uc), що відстає по фазі від вектора струму на кут 90°. При цьому можливі наступні випадки:
а) Індуктивний опір більший за ємнісний (Х l >Х С). В цьому випадку вхідна напруга випереджатиме струм по фазі на кут φ (див. рис. 2.3.).
б) Ємнісний опір більший за індуктивний (Х l<Х с). При этом ток опережает напряжение на угол φ. Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рис. 2.4.
Рис. 2.3 Мал. 2.4
в). Індуктивний опір дорівнює ємнісному (Х l = Xс). Відповідно повний реактивний опір ланцюга (Х) дорівнює нулю, а повний опір ланцюга Z=r, тобто. досягає свого мінімального значення. У цьому струм по фазі збігатися з напругою, тобто. кут = 0. Векторна діаграма струмів і напруг для цього випадку наведена на рис. 2.5.
Явище резонансу напруги відбувається також у кварцових резонаторах, які широко використовуються в автогенераторах коливань.
