І докладно розберемо особливий вид рівняння прямої – . Почнемо з виду рівняння прямої у відрізках і наведемо приклад. Після цього зупинимося на побудові прямої лінії, яка задана рівнянням прямої у відрізках. На закінчення покажемо, як здійснюється перехід від повного загального рівняння прямої до рівняння прямої у відрізках.

Навігація на сторінці.

Рівняння прямої у відрізках – опис та приклад.

Нехай на площині зафіксована Oxy.

Рівняння прямої у відрізкахна площині прямокутної системі координат Oxy має вигляд , де a і b - деякі відмінні від нуля дійсні числа.

Рівняння прямої у відрізках невипадково отримало таку назву - абсолютні величини чисел a і b рівні довжинам відрізків, які відсікає пряма на координатних осях Ox і Oy, рахуючи від початку координат.

Пояснимо цей момент. Ми знаємо, що координати будь-якої точки прямої задовольняють рівняння цієї прямої. Тоді чітко видно, що пряма, задана рівнянням прямої у відрізках, проходить через точки і , оскільки і . А точки і розташовані на координатних осях Ox і Oy відповідно і віддалені від початку координат на a і b одиниць. Знаки чисел a і b вказують напрямок, у якому слід відкладати відрізки. Знак «+» означає, що відрізок відкладається у позитивному напрямку координатної осі, знак «-» означає зворотне.

Зобразимо схематичний креслення, що пояснює все сказане вище. На ньому показано розташування прямих відносно фіксованої прямокутної системи координат Oxy залежно від значень чисел a та b у рівнянні прямої у відрізках.

Тепер стало зрозуміло, що рівняння прямої у відрізках дозволяє легко проводити побудову цієї прямої лінії у прямокутній системі координат Oxy . Щоб побудувати пряму лінію, яка задана рівнянням прямої у відрізках виду, слід зазначити у прямокутній системі координат на площині точки і після чого з'єднати їх прямою лінією за допомогою лінійки.

Наведемо приклад.

приклад.

Побудуйте пряму лінію, задану рівнянням прямої у відрізках виду .

Рішення.

За заданим рівнянням прямої у відрізках видно, що пряма проходить через точки . Відзначаємо їх та з'єднуємо прямою лінією.

Приведення загального рівняння прямої до рівняння прямої у відрізках.

При вирішенні деяких завдань, пов'язаних із прямою на площині, зручно працювати з рівнянням прямої у відрізках. Однак є інші види рівнянь, що задають пряму на площині. Тому доводиться здійснювати перехід від заданого рівняння прямої до рівняння цієї прямої у відрізках.

У цьому пункті ми покажемо, як отримати рівняння прямої у відрізках, якщо дано повне загальне рівняння прямої .

Нехай нам відоме повне загальне рівняння прямої на площині . Так як А, В і С не дорівнюють нулю, то можна перенести число С у праву частину рівності, розділити обидві частини набутої рівності на -С, а коефіцієнти при x і y відправити в знаменники:
.

(В останньому переході ми користувалися рівністю ).

Так ми від загального рівняння прямої перейшли до рівняння прямої у відрізках , де .

приклад.

Пряма у прямокутній системі координат Oxy задана рівнянням . Напишіть рівняння цієї прямої у відрізках.

Рішення.

Перенесемо одну другу у праву частину заданої рівності: . Тепер розділимо на обидві частини набутої рівності: . Залишилося перетворити отриману рівність до потрібного виду: . Так ми отримали необхідне рівняння прямої у відрізках.

Відповідь:

Якщо пряму визначає

Нехай задана афінна система координат OXY.

Теорема 2.1.Будь-яка пряма lсистемі координат ОX задається лінійним рівнянням виду

А x+ B y+ З = О, (1)

де А, В, С R і А 2 + 2 0. Назад, будь-яке рівняння виду (1) задає пряму.

Рівняння виду (1) - загальне рівняння прямої .

Нехай у рівнянні (1) всі коефіцієнти А, В та С відмінні від нуля. Тоді

Ах-By=-С, та .

Позначимо -З/А=а, -З/B=b. Отримаємо

-рівняння у відрізках .

Справді, числа | а | та |b| вказують на величини відрізків, що відсікаються прямою lна осях ОХ та OY відповідно.

Нехай пряма lзадана загальним рівнянням (1) у прямокутній системі координат і нехай точки M 1 (x 1 ,у 1) та М 2 (х 2 ,у 2) належить l. Тоді

А x 1+В у 1 + С = А х 2+В у 2 + З, тобто A ( x 1 -x 2) + В( у 1 -у 2) = 0.

Остання рівність означає, що вектор =(А,В) ортогональний вектору =(x 1 -x 2 ,у 1 -у 2). тобто. Вектор (А,В) називається нормальним вектором прямий l.

Розглянемо вектор = (-В, А). Тоді

А(-В)+ВА=0. тобто. ^ .

Отже, вектор =(-В,А) є напрямним вектором пряної l.

Параметричне та канонічне рівняння прямої

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай в афінній системі координат (0, X, Y) задана пряма l, її напрямний вектор = (m,n) та точка M 0 ( x 0 ,y 0) належить l. Тоді для довільної точки M ( x,у) цієї прямої маємо

і тому що .

Якщо позначити та

Радіус-вектори відповідно до точок M і M 0 , то

- рівняння прямої у векторній формі.

Оскільки =( х,у), =(х 0 ,у 0), то

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- параметричне рівняння прямої .

Звідси слідує що

- канонічне рівняння прямої .

Зрештою, якщо на прямій lзадані дві точки M 1 ( х 1 ,у 1) та

M 2 ( x 2 ,у 2), то вектор =( х 2 -х 1 ,y 2 -у 1) є напрямним вектор прямий l. Тоді

- рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Взаємне розташування двох прямих.

Нехай прямі l 1 та l 2 задані своїми загальними рівняннями

l 1: А 1 х+ В 1 у+ З 1 = 0, (1)

l 2: А 2 х+ У 2 у+ З 2 = 0.

Теорема. Нехай прямі l 1 та l 2 задані рівняннями (1). Тоді і лише тоді:

1) прямі перетинаються, коли немає такого числа λ, що

A 1 = λA 2 , 1 =λB 2 ;

2) прямі збігаються, коли знайдеться таке число λ, що

А 1 = λA 2 , B 1 = λB 2 З 1 =λС 2 ;

3) прямі різні та паралельні, коли знайдеться така кількість λ, що

А 1 = λA 2 , В 1 = λВ 2 З 1 λС 2 .

Пучок прямих

Пучком прямих називається сукупність всіх прямих на площині, що проходять через деяку точку, яку називають центром пучка.

Для завдання рівняння пучка достатньо знати якісь дві прямі l 1 та l 2, що проходять через центр пучка.

Нехай в афінній системі координат прямі l 1 та l 2 задані рівняннями

l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,

l 2: A 2 x+ B 2 y+ C2 = 0.

Рівняння:

A 1 x+ B 1 y+ З + λ (A 2 х+ У 2 y+ C) = 0

- Рівняння пучка прямих, що визначається рівняннями l 1 і l 2.

Надалі, під системою координат розумітимемо прямокутну систему координат .

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

Нехай задані прямі l 1 та l 2 . своїми загальними рівняннями; = (А 1, B 1), = (А 2, В 2) - нормальні вектори цих прямих; k 1 = tgα 1 , k 2 = tgα 2 – кутові коефіцієнти; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - напрямні вектори. Тоді, прямі l 1 та l 2 паралельні, в тому і тільки тому випадку, якщо виконується одна з наступних умов:

або або k 1 =k 2, або.

Нехай тепер прямі l 1 та l 2 перпендикулярні. Тоді, очевидно, тобто А 1 А 2 + В 1 В 2 = 0.

Якщо прямі l 1 та l 2 задані відповідно до рівнянь

l 1: у=k 1 x+ b 1 ,

l 2: у=k 2 x+ b 2 ,

то tgα 2 = tg(90º+α) = .

Звідси слідує що

Нарешті, якщо і напрямні вектори прямих, то ^ тобто

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Останнє співвідношення висловлюють необхідну та достатню умову перпендикулярності двох площин.

Кут між двома прямими

Під кутом між двома прямими l 1 та l 2 розуміти найменший кут, на який треба повернути одну пряму, щоб вона стала паралельною іншою прямою або збіглася з нею, тобто 0 £ φ £

Нехай прямі задано загальними рівняннями. Очевидно, що

cosφ=

Нехай тепер прямі l 1 та l 2 задана рівняннями з кутовими коефіцієнтами k 1 в k 2 відповідно. Тоді

Очевидно, що , тобто ( х-х 0) + В( у-у 0) + C( z-z 0) = 0

Розкриємо дужки та позначимо D=-А x 0 - В у 0 - C z 0 . Отримаємо

A x+ B y+ З z+ D = 0 (*)

- рівняння площини у загальному виглядіабо загальне рівняння площини.

Теорема 3.1Лінійне рівняння (*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) є рівнянням площини та назад, будь-яке рівняння площини є лінійним.

1) D = 0 тоді площина проходить через початок координат.

2) А = 0, тоді площина паралельна осі ОХ

3) А = 0, В = 0, тоді площина паралельна площині OXY.

Нехай у рівнянні всі коефіцієнти відмінні від нуля.

- рівняння площини у відрізках. Числа | а |, | b |, | вказують на величини відрізків, що відсікаються площиною на координатних осях.

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не співпадають, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

Пряма лінія- алгебраїчна крива першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія

визначається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + З = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядізалежно від яких-небудь заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний прямій, заданій рівнянням

Ах+Ву+С=0.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо за А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х – у – 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. На

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дроби = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої із кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямним вектором прямий.

Ах+Ву+С=0.

Приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні відповідати умовам:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо З/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

Приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + У 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, В 1 = λВ. Якщо ще й С 1 = С, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0, у 0),то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доказ. Нехай точка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Рівняння прямого виду , де aі b- Деякі дійсні числа відмінні від нуля, називається рівнянням прямої у відрізках. Ця назва не випадкова, оскільки абсолютні величини чисел аі bрівні довжинам відрізків, які пряма відсікає на координатних осях Oxі Ойвідповідно (відрізки відраховуються від початку координат). Таким чином, рівняння прямої у відрізках дозволяє легко будувати цю пряму на кресленні. Для цього слід зазначити в прямокутній системі координат на площині точки з координатами і , і за допомогою лінійки з'єднати їх прямою лінією.

Наприклад побудуємо пряму лінію, задану рівнянням у відрізках виду . Відзначаємо крапки та з'єднуємо їх.

Детальну інформацію про цей вид рівняння прямої на площині Ви можете отримати у статті рівняння прямої у відрізках.

На початок сторінки

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Алгебра та аналітична геометрія. Поняття матриця, операції над матрицями та їх властивості

Поняття матриця операції над матрицями та їх властивості. матриця це прямокутна таблиця складена з чисел які не можна.

Якщо Вам потрібний додатковий матеріал на цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Твітнути

Всі теми цього розділу:

Визначення диференційності
Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції. Функція називається диференційованою в деякій точці, якщо вона має в цій точці кінцеву похідну, і

Правило диференціювання
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Геометричний сенс похідної. Рівняння дотичної
Кутом нахилу прямий y = kx+b називають кут, що відраховується від положень

Геометричний сенс похідної функції у точці
Розглянемо секучу АВ графіка функції y = f(x) таку, що точки А і В мають відповідно координати

Рішення
Функція визначена всім дійсних чисел. Оскільки (-1; -3) – точка торкання, то

Необхідні умови екстремуму та достатні умови екстремуму
Визначення зростаючої функції. Функція y = f(x) зростає на інтервалі X, якщо для будь-яких

Достатні ознаки екстремуму функції
Для знаходження максимумів і мінімумів функції можна користуватися будь-якою із трьох достатніх ознак екстремуму. Хоча найпоширенішим і найзручнішим є перший з них.

Основні характеристики певного інтеграла. Властивість 1. Похідна від певного інтегралупо верхній межі дорівнює підінтегральній функції, в яку замість змінної інтегрований

Формула Ньютона-Лейбніца (з доказом)
Формула Ньютона-Лейбніца. Нехай функція y = f(x) безперервна на відрізку і F(x) - одна з першорядних функцій на цьому відрізку, тоді справедливо дорівнює

Рівняння прямої на площині.
Напрямний вектор прямий. Вектор нормалі

Пряма лінія на площині - це одна з найпростіших геометричних фігур, знайома вам ще з молодших класів, і сьогодні ми дізнаємося, як з нею справлятися методами аналітичної геометрії. Для освоєння матеріалу потрібно вміти будувати пряму; знати, яким рівнянням задається пряма, зокрема пряма, що проходить через початок координат і прямі, паралельні координатним осям. Дану інформаціюможна знайти в методичці Графіки та властивості елементарних функційя її створював для матана, але розділ про лінійну функцію вийшов дуже вдалим і докладним. Тому, шановні чайники, розігрійтеся спочатку там. Крім того, потрібно мати базові знання про векторах, інакше розуміння матеріалу буде неповним.

На цьому уроці ми розглянемо методи, з допомогою яких можна скласти рівняння прямої на площині. Рекомендую не нехтувати практичними прикладами (навіть якщо здається дуже просто), так як я забезпечуватиму їх елементарними і важливими фактами, технічними прийомами, які будуть потрібні надалі, в тому числі і в інших розділах вищої математики.

• Як скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?
• Як?
• Як знайти напрямний вектор за загальним рівнянням прямої?
• Як скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі?

і ми починаємо:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Всім відомий «шкільний» вид рівняння прямої називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Наприклад, якщо пряма задана рівнянням , її кутовий коефіцієнт: . Розглянемо геометричний сенс даного коефіцієнта і те, як його значення впливає на розташування прямої:

У курсі геометрії доводиться, що кутовий коефіцієнт прямий дорівнює тангенсу кутаміж позитивним напрямком осіта даної прямої: , причому кут відкручується проти годинникової стрілки.

Щоб не захаращувати креслення, я намалював кути лише для двох прямих. Розглянемо «червону» пряму та її кутовий коефіцієнт. Згідно з вищесказаним: (кут "альфа" позначений зеленою дугою). Для "синьої" прямої з кутовим коефіцієнтом справедлива рівність (кут "бета" позначений коричневою дугою). А якщо відомий тангенс кута, то за необхідності легко знайти і сам кутза допомогою зворотної функції- Арктангенса. Як кажуть, тригонометрична таблиця або мікрокалькулятор до рук. Таким чином, кутовий коефіцієнт характеризує ступінь нахилу прямої до осі абсцис.

При цьому можливі такі випадки:

1) Якщо кутовий коефіцієнт негативний: то лінія, грубо кажучи, йде зверху вниз. Приклади – «синя» та «малинова» прямі на кресленні.

2) Якщо кутовий коефіцієнт позитивний: то лінія йде знизу вгору. Приклади – «чорна» та «червона» прямі на кресленні.

3) Якщо кутовий коефіцієнт дорівнює нулю: , то рівняння набуває вигляду , і відповідна пряма паралельна осі . Приклад - "жовта" пряма.

4) Для сімейства прямих, паралельних осі (на кресленні немає прикладу, крім самої осі), кутового коефіцієнта не існує (тангенс 90 градусів не визначено).

Чим більший кутовий коефіцієнт по модулю, тим крутіше йде графік прямий.

Наприклад, розглянемо дві прямі . Тут тому пряма має більш крутий нахил. Нагадую, що модуль дозволяє не враховувати знак, нас цікавлять лише абсолютні значеннякутових коефіцієнтів

У свою чергу, пряма більш крута, ніж прямі .

Назад: що менше кутовий коефіцієнт по модулю, то пряма є більш пологою.

Для прямих справедлива нерівність, таким чином, пряма більш полога. Дитяча гірка, щоб не насадити собі синців та шишок.

Навіщо це потрібно?

Продовжити ваші муки Знання перелічених вище фактів дозволяє негайно побачити свої помилки, зокрема, помилки при побудові графіків – якщо на кресленні вийшло «явно щось не те». Бажано, щоб вам відразубуло зрозуміло, що, наприклад, пряма дуже крута і йде знизу вгору, а пряма дуже полога, близько притиснута до осі і йде зверху вниз.

В геометричних задачахчасто фігурують кілька прямих, тому їх зручно якось позначати.

Позначення: Прямі позначаються маленькими латинськими літерами: . Популярний варіант - позначення однією і тією ж літерою з натуральними підрядковими індексами. Наприклад, ті п'ять прямих, які ми щойно розглянули, можна позначити через .

Оскільки будь-яка пряма однозначно визначається двома точками, її можна позначати даними точками: і т.д. Позначення цілком очевидно має на увазі, що точки належать до прямої .

Час трохи розім'ятися:

Як скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

Якщо відома точка , що належить деякої прямої, і кутовий коефіцієнт цієї прямої, то рівняння цієї прямої виражається формулою :

Приклад 1

Скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, якщо відомо, що точка належить даній прямій.

Рішення: Рівняння прямої складемо за формулою . В даному випадку:

Відповідь:

Перевіркавиконується просто. По-перше, дивимося на отримане рівняння та переконуємось, що наш кутовий коефіцієнт на своєму місці. По-друге, координати точки повинні відповідати даному рівнянню. Підставимо їх у рівняння:

Отримано правильну рівність, отже, точка задовольняє отримане рівняння.

Висновок: рівняння знайдено правильно

Хитріший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Скласти рівняння прямої, якщо відомо, що її кут нахилу до позитивного напрямку осі становить , і точка належить даній прямій.

Якщо виникли труднощі, перечитайте теоретичний матеріал. Точніше практичніший, багато доказів я пропускаю.

Продзвенів останній дзвінок, відгримів випускний бал, і за воротами рідної школи нас чекає, власне, аналітична геометрія. Жарти закінчилися. А може тільки починаються =)

Ностальгічно махаємо звичною ручкою і знайомимося із загальним рівнянням прямої. Оскільки в аналітичній геометрії в ході саме воно:

Загальне рівняння прямої має вигляд: , де деякі числа. При цьому коефіцієнти одночасноне рівні нулю, оскільки рівняння втрачає сенс.

Одягнемо в костюм і краватку рівняння з кутовим коефіцієнтом. Спочатку перенесемо всі доданки до лівої частини:

Доданок з «ікс» потрібно поставити на перше місце:

У принципі, рівняння вже має вигляд , але за правилами математичного етикету коефіцієнт першого доданка (в даному випадку ) має бути позитивним. Змінюємо знаки:

Запам'ятайте цю технічну особливість! Перший коефіцієнт (найчастіше) робимо позитивним!

В аналітичній геометрії рівняння прямої майже завжди буде задано у загальній формі. Ну, а при необхідності його легко привести до «шкільного» виду з кутовим коефіцієнтом (за винятком прямих паралельних осі ординат).

Задамося питанням, що достатньознати, щоб збудувати пряму? Дві точки. Але про цей дитячий випадок пізніше зараз панують палички зі стрілочками. Кожна пряма має цілком певний нахил, до якого легко «пристосувати» вектор.

Вектор, який паралельний прямої, називається напрямним вектором даної прямої. Очевидно, що у будь-якій прямій нескінченно багато напрямних векторів, причому всі вони будуть колінеарні (соннаправлені чи ні – не важливо).

Напрямний вектор я позначатиму таким чином: .

Але одного вектора недостатньо для побудови прямої, вектор є вільним і не прив'язаний до будь-якої точки площини. Тому додатково необхідно знати деяку точку, яка належить прямою.

Як скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору?

Якщо відома деяка точка , що належить прямої, і напрямний вектор цієї прямої , то рівняння даної прямої можна скласти за формулою:

Іноді його називають канонічним рівнянням прямої .

Що робити, коли одна з координатдорівнює нулю, ми розберемося на практичних прикладах нижче. До речі, зауважте – відразу обидвікоординати що неспроможні дорівнювати нулю, оскільки нульовий вектор не ставить конкретного напрями.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору

Рішення: Рівняння прямої складемо за формулою. В даному випадку:

За допомогою властивостей пропорції позбавляємося дробів:

І наводимо рівняння до загального вигляду:

Відповідь:

Креслення в таких прикладах, як правило, робити не потрібно, але заради розуміння:

На кресленні бачимо вихідну точку , вихідний напрямний вектор (його можна відкласти будь-якої точки площині) і побудовану пряму . До речі, у багатьох випадках побудову прямий найзручніше здійснювати саме за допомогою рівняння з кутовим коефіцієнтом. Наше рівняння легко перетворити на вигляд і без проблем підібрати ще одну точку для побудови прямої.

Як зазначалося на початку параграфа, у прямої нескінченно багато напрямних векторів, і всі вони колінеарні. Для прикладу я намалював три такі вектори: . Який би напрямний вектор ми не вибрали, в результаті завжди вийде одне й те саме рівняння прямої.

Складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору:

Розрулюємо пропорцію:

Ділимо обидві частини на -2 і отримуємо знайоме рівняння:

Бажаючі можуть аналогічним чином протестувати вектори або будь-який інший колінеарний вектор.

Тепер вирішимо зворотне завдання:

Як знайти напрямний вектор за загальним рівнянням прямої?

Дуже просто:

Якщо пряма задана загальним рівнянням , вектор є напрямним вектором даної прямої.

Приклади знаходження напрямних векторів прямих:

Твердження дозволяє знайти лише один напрямний вектор з безлічі, але нам більше і не потрібно. Хоча у ряді випадків координати напрямних векторів доцільно скоротити:

Так, рівняння задає пряму, яка паралельна осі та координати отриманого напрямного вектора зручно розділити на –2, отримуючи в точності базисний вектор як напрямний вектор. Логічно.

Аналогічно, рівняння задає пряму, паралельну осі, і, розділивши координати вектора на 5, отримуємо як напрямний вектор орт.

Тепер виконаємо перевірку Прикладу 3. Приклад поїхав вгору, тому нагадую, що в ньому ми склали рівняння прямої по точці та напрямному вектору

По перше, за рівнянням прямої відновлюємо її напрямний вектор: - все нормально, отримали вихідний вектор (у ряді випадків може вийти колінеарний вихідний вектор, і це зазвичай нескладно помітити за пропорційністю відповідних координат).

По-другекоординати точки повинні задовольняти рівняння. Підставляємо їх у рівняння:

Отримано правильну рівність, чому ми дуже раді.

Висновок: завдання виконане правильно.

Приклад 4

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору

Це приклад самостійного рішення. Рішення та відповідь наприкінці уроку. Вкрай бажано зробити перевірку за розглянутим алгоритмом. Намагайтеся завжди (якщо це можливо) виконувати перевірку на чернетці. Безглуздо допускати помилки там, де їх 100% можна уникнути.

У тому випадку, якщо одна з координат напрямного вектора нульова, надходять дуже просто:

Приклад 5

Рішення: Формула не годиться, тому що знаменник правої частини дорівнює нулю Вихід є! Використовуючи властивості пропорції, перепишемо формулу у вигляді і подальше покотилося по глибокій колії:

Відповідь:

Перевірка:

1) Відновимо напрямний вектор прямий:
– отриманий вектор колінеарен вихідному напрямному вектору.

2) Підставимо координати точки в рівняння:

Отримано правильну рівність

Висновок: завдання виконане правильно

Виникає питання, навіщо маятися з формулою, якщо існує універсальна версія, яка спрацює у будь-якому випадку? Причин дві. По-перше, формула у вигляді дробу набагато краще запам'ятовується. А по-друге, недолік універсальної формули полягає в тому, що помітно підвищується ризик заплутатисяпід час встановлення координат.

Приклад 6

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

Це приклад самостійного рішення.

Повернімося до скрізь двох точок:

Як скласти рівняння прямої за двома точками?

Якщо відомі дві точки , то рівняння прямої, що проходить через ці точки, можна скласти за формулою:

Насправді це різновид формули і чому: якщо відомі дві точки , то вектор буде напрямним вектором даної прямої. На уроці Вектори для чайниківми розглядали найпростіше завдання – як знайти координати вектора за двома точками. Відповідно до цього завдання, координати напрямного вектора:

Примітка : точки можна "поміняти ролями" і використовувати формулу Таке рішення буде рівноцінним.

Приклад 7

Скласти рівняння прямої за двома точками .

Рішення: Використовуємо формулу:

Зачісуємо знаменники:

І перетасовуємо колоду:

Саме зараз зручно позбутися дробових чисел. В даному випадку потрібно помножити обидві частини на 6:

Розкриваємо дужки і доводимо рівняння до пуття:

Відповідь:

Перевіркаочевидна – координати вихідних точок повинні задовольняти отримане рівняння:

1) Підставимо координати точки:

Вірна рівність.

2) Підставимо координати точки:

Вірна рівність.

Висновок: рівняння прямої складено правильно.

Якщо хоча б однаіз точок не задовольняє рівняння, шукайте помилку.

Варто зазначити, що графічна перевірка в даному випадку є складною, оскільки побудувати пряму і подивитися, чи належать їй точки. , не так просто.

Зазначу ще кілька технічних моментів рішення. Можливо, у цій задачі вигідніше скористатися дзеркальною формулою і, за тими ж точками скласти рівняння:

Такі менших дробів. Якщо хочете, можете довести рішення до кінця, в результаті має вийти те саме рівняння.

Другий момент полягає в тому, щоб подивитися на підсумкову відповідь і прикинути, чи не можна її спростити? Наприклад, якщо вийшло рівняння, то тут доцільно скоротити на двійку: – рівняння задаватиме ту саму пряму. Втім, це вже тема розмови про взаємне розташування прямих.

Отримавши відповідь у Прикладі 7, я про всяк випадок, перевірив, чи не діляться ВСІ коефіцієнти рівняння на 2, 3 або 7. Хоча, найчастіше подібні скорочення здійснюються ще в процесі вирішення.

Приклад 8

Скласти рівняння прямої, що проходить через точки .

Це приклад для самостійного рішення, який дозволить краще зрозуміти і відпрацювати техніку обчислень.

Аналогічно попередньому параграфу: якщо у формулі один із знаменників (координата напрямного вектора) звертається в нуль, то переписуємо її як . І знову зауважте, як незграбно і заплутано вона стала виглядати. Не бачу особливого сенсу наводити практичні приклади, оскільки таке завдання ми вже вирішували (див. № 5, 6).

Вектор нормалі прямий (нормальний вектор)

Що таке нормаль? Простими словами, Нормаль - це перпендикуляр. Тобто вектор нормалі прямий перпендикулярний даній прямій. Очевидно, що в будь-якій прямій їх нескінченно багато (так само, як і напрямних векторів), причому всі вектори нормалі прямої будуть колінеарними (сонаправлені чи ні – без різниці).

Розбирання з ними буде навіть простіше, ніж з напрямними векторами:

Якщо пряма задана загальним рівнянням прямокутної системі координат, то вектор є вектором нормалі даної прямої.

Якщо координати напрямного вектора доводиться акуратно «витягувати» з рівняння, координати вектора нормалі досить просто «зняти».

Вектор нормалі завжди ортогональний напрямного вектора прямий. Переконаємося у ортогональності даних векторів за допомогою скалярного твору:

Наведу приклади з тими ж рівняннями, що й для напрямного вектора:

Чи можна скласти рівняння прямої, знаючи одну точку та вектор нормалі? Внутрішньо відчувається, можна. Якщо відомий вектор нормалі, то однозначно визначено напрям самої прямої – це «жорстка конструкція» з кутом в 90 градусів.

Як скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі?

Якщо відома деяка точка , що належить прямої, і вектор нормалі цієї прямої, то рівняння цієї прямої виражається формулою :

Тут все обійшлося без дробів та інших нежданчиків. Такий у нас нормальний вектор. Любіть його. І поважайте =)

Приклад 9

Скласти рівняння прямої по точці та вектору нормалі. Знайти напрямний вектор прямий.

Рішення: Використовуємо формулу:

Загальне рівняння прямої отримано, виконаємо перевірку:

1) «Знімаємо» координати вектора нормалі з рівняння: - Так, дійсно, отриманий вихідний вектор з умови (або повинен вийти колінеарний вихідний вектор).

2) Перевіримо, чи задовольняє точка рівняння :

Вірна рівність.

Після того, як ми переконалися, що рівняння складено правильно, виконаємо другу, легшу частину завдання. Витягуємо напрямний вектор прямий:

Відповідь:

На кресленні ситуація виглядає так:

З метою тренування аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 10

Скласти рівняння прямої по точці та нормальному вектору. Знайти напрямний вектор прямий.

Заключний розділ уроку буде присвячений менш поширеним, але також важливим видам рівнянь прямої на площині

Рівняння прямої у відрізках.
Рівняння прямої у параметричній формі

Рівняння прямої у відрізках має вигляд , де – ненульові константи. Деякі типи рівнянь не можна уявити в такому вигляді, наприклад, пряму пропорційність (оскільки вільний член дорівнює нулю і одиницю в правій частині ніяк не отримати).

Це, образно кажучи, "технічний" тип рівняння. Звичайна задача полягає в тому, щоб загальне рівняння прямої подати у вигляді рівняння прямої у відрізках . Чим воно зручне? Рівняння прямої у відрізках дозволяє швидко знайти точки перетину прямої з координатними осями, що дуже важливим у деяких завданнях вищої математики.

Знайдемо точку перетину прямої з віссю. Обнулюємо «гравець», і рівняння набуває вигляду. Потрібна точка виходить автоматично: .

Аналогічно з віссю - Точка, в якій пряма перетинає вісь ординат.