Похідна за визначенням (через межу). Приклади розв'язків. Похідна функції Похідна через визначення

⁰

Нехай в околиці точки визначена функція Похідної функції в точці називається межа, якщо вона існує,

Загальноприйняті позначення похідної функції у точці

Таблиця похідних

Геометричний сенс похідної функції у точці.

Розглянемо січну АВграфіка функції y=f(x)таку, що крапки Аі Вмають відповідно координати та , де - збільшення аргументу. Позначимо через збільшення функції. Зазначимо все на кресленні:

З прямокутного трикутника АВСмаємо. Оскільки за визначенням дотична – це граничне становище січень, то .

Згадаймо визначення похідної функції у точці: похідної функції y=f(x)у точці називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу при , позначається .

Отже, , де - Кутовий коефіцієнт дотичної.

Таким чином, існування похідної функції y=f(x)у точці еквівалентно існуванню дотичної до графіку функції y=f(x)у точці торкання , причому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної у точці, тобто .

Укладаємо: геометричний сенс похідної функції у точціполягає у існуванні дотичної до графіка функції у цій точці.

20 Диференційність функції у точці. Необхідна та достатня умова диференційності.

Прирощення диференційованої у цій точці функції можна як лінійну функцію збільшення аргументу з точністю до величин вищого порядку малости. Це означає, що з досить малих околиць цієї точки функцію можна замінити лінійної (швидкість зміни функції вважатимуться незмінною). Лінійна частина збільшення функції називається її диференціалом (у даній точці).

Необхідною, але недостатньою умовою диференційності є безперервність функції. У разі функції від однієї речовинної змінної диференційованість рівносильна існуванню похідної. У разі функції кількох речових змінних необхідною (але не достатньою) умовою диференційності є існування приватних похідних по всіх змінних. Для диференційності функції декількох змінних у точці достатньо, щоб приватні похідні існували в околиці даної точки і були безперервні в даній точці.

21 Диференційність функції у точці. Теорема про безперервність функції, що диференціюється.

Теорема.

Якщо функція у цій точці диференційована, то цій точці функція безперервна.

Доказ.

Нехай функція y=f(x)y=f(x) диференційована в точці x0x0, тоді збільшення цієї функції дорівнює Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx)⋅x.

При прагненні збільшення аргументу функції ΔxΔx до нуля збільшення функції ΔyΔyтакож прагне до нуля, а це і означає безперервність функції.

Тобто ми отримали, що функція y=f(x)y=f(x), диференційована у точці x0x0, є у цій точці і безперервною функцією. Що і потрібно було довести.

Таким чином, неприривність функції в даній точці є необхідною, але недостатньою умовою для диференційності функції.

приклад.

Функція y=|x|y=|x| у точці x0x0 є безперервною функцією, але у цій точці функція не диференційована.

Справді, збільшення функції дорівнює:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

При цьому отримуємо:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Межа limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx не існує, а значить, функція y=|x|y=|x|, безперервна в точці x0x0, не диференційована в цій точці.

22 Диференціал функції. Геометричний сенс диференціалу.

Диференціалом функції у певній точці xназивається головна, лінійна частина збільшення функції.

Диференціал функції y = f(x) дорівнює твору її похідної на збільшення незалежної змінної x(Аргументу).

Це записується так:

Геометричний сенс диференціалу.Диференціал функції y = f(x) дорівнює приросту ординати дотичної S, проведеної до графіка цієї функції у точці M( x; y), при зміні x(аргументу) на величину (див. малюнок).

23 Правило диференційності суми та добутку.

Для доказу другого правила диференціювання скористаємося визначенням похідної та властивістю межі безперервної функції.

Подібним чином можна довести, що похідна сума (різниця) nфункцій дорівнює сумі (різниці) nпохідних

Доведемо правило диференціювання добутку двох функцій.

Запишемо межу відношення збільшення твору функцій до збільшення аргументу. Враховуватимемо, що і (приріст функції прагнути до нуля при прирощенні аргументу, що прагне до нуля).

Що і потрібно було довести.

24 Інваріантність форми 1 диференціала.

Інваріантність форми першого диференціалу

Якщо x- незалежна змінна, то dx = x - x 0 (фіксоване збільшення). У цьому випадку маємо

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Якщо x = φ (t) - диференційована функція, то dx = φ" (t 0)dt. Отже,

тобто перший диференціал має властивість інваріантності щодо заміни аргументу.

25 Теорема Роля.

Теорема Ролля (теорема про нуль похідної) стверджує, що

Доказ

Якщо функція на відрізку стала, то твердження очевидне, оскільки похідна функції дорівнює нулю в будь-якій точці інтервалу.

Якщо ж ні, оскільки значення функції в граничних точках сегмента рівні, то відповідно до теореми Вейєрштрасса, вона набуває свого найбільшого або найменшого значення в деякій точці інтервалу, тобто має в цій точці локальний екстремум, і за Лемме Ферма, в цій точці похідна дорівнює 0 .

Геометричний сенс

Теорема стверджує, що якщо ординати обох кінців гладкої кривої рівні, то на кривій знайдеться точка, в якій дотична до кривої паралельна осі абсцис.

26 Теорема Лагранжа та її наслідки.

Формула кінцевих прирощеньабо теорема Лагранжа про середнє значеннястверджує, що якщо функція безперервна на відрізку і диференційована в інтервалі, то знайдеться така точка, що

Геометричноце можна переформулювати так: на відрізку знайдеться точка, в якій дотична паралельна хорді, що проходить через точки графіка, що відповідають кінцям відрізка.

Механічне тлумачення: Нехай відстань точки в момент від початкового положення. Тоді є шлях, пройдений з моменту до моменту, відношення – середня швидкість за цей проміжок. Значить, якщо швидкість тіла визначена у будь-який момент часу , то певний момент вона дорівнюватиме своєму середньому значенню на цій ділянці.

Доказ

Для функції однієї змінної:

Введемо функцію. Для неї виконані умови теореми Роля: на кінцях відрізка її значення дорівнюють нулю. Скориставшись згаданою теоремою, отримаємо, що є точка , у якій похідна функції дорівнює нулю:

що і потрібно було довести.

Наслідки та узагальнення

Теорема Лагранжа про кінцеві прирости - одне з найважливіших, вузлова теорема у всій системі диференціального обчислення. Вона має багато додатків у обчислювальної математики, і найголовніші теореми математичного аналізу також є її наслідками.

Наслідок 1.Функція, що диференціюється на відрізку, з похідною, що дорівнює нулю, є константа.

Доказ.Для будь-яких і існує точка, така що.

Значить, при всіх і правильна рівність.

Наслідок 2 (Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа).Якщо функція диференційована раз на околиці точки, то для малих (тобто тих, для яких відрізок лежить у зазначеній околиці) справедлива формула Тейлора:

де - деяке число з інтервалу.

Наслідок 3.Якщо функція змінних двічі диференційована на околиці точки Про і всі інші змішані похідні безперервні в точці О, тоді в цій точці справедлива рівність:

Доказ для .Зафіксуємо значення та розглянемо різницеві оператори

По теоремі Лагранжа існують числа , такі що

при через безперервність других похідних функції.

Аналогічно доводиться, що .

Але оскільки , (що перевіряється безпосередньо), ці межі збігаються.

Наслідок 4 (Формула Ньютона-Лейбніца).Якщо функція диференційована на відрізку та її похідна інтегрована за Ріманом у цьому відрізку, то справедлива формула: .

Доказ.Нехай - довільне розбиття відрізка. Застосовуючи теорему Лагранжа, кожному з відрізків знайдемо точку таку, що .

Підсумовуючи ці рівності, отримаємо:

Ліворуч стоїть інтегральна сума Рімана для інтеграла та заданого зазначеного розбиття. Переходячи до межі діаметром розбиття, отримаємо формулу Ньютона-Лейбніца.

Наслідок 5 (Теорема про оцінку кінцевих прирощень).Нехай відображення безперервно диференційоване у опуклій компактній області простору. Тоді.

27 Теорема Каші.

Теорема Коші про середнє значення.

Нехай дані дві функції і такі, що: 1. і визначені і безперервні на відрізку; 2. похідні та кінцеві на інтервалі; 3. похідні і не перетворюються на нуль одночасно на інтервалі 4. ; тоді існує , для якої вірно:

. (Якщо прибрати умову 4, необхідно, наприклад, посилити умову 3: g"(x) не повинна звертатися в нуль ніде в інтервалі .)

Геометрично це можна переформулювати так: якщо і задають закон руху на площині (тобто визначають абсцис і ординату через параметр ), то на будь-якому відрізку такої кривої, заданому параметрами і знайдеться дотичний вектор, колінеарний вектору переміщення від до .

Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.

Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	Функція	Похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь із раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
Сінус	f(x) = sin x	cos x
Косинус	f(x) = cos x	− sin x(мінус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натуральний логарифм	f(x) = ln x	1/x
Довільний логарифм	f(x) = log a x	1/(x· ln a)
Показова функція	f(x) = e x	e x(нічого не змінилось)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, не особливо елементарні, але теж диференційовані за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми та різниці

Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;

Аналогічно розмірковуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Похідна робота

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)

У функції g(x) перший множник трохи складніший, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб досліджувати функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.

Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:

Неслабко, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна з найскладніших формул - без пляшки не розберешся. Тому найкраще вивчати її на конкретних прикладах.

Завдання. Знайти похідні функції:

У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:

За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - Це і є складна функція. У неї також є похідна, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вдасться.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справа ще більш сумно, ніж з похідною приватного. Тому її також краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t′ = cos t · t ’

Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.

Відповідь:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. Як останній приклад повернемося до похідного ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дрібне число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємось до коріння:

(\large\bf Похідна функції)

Розглянемо функцію y=f(x), задану на інтервалі (a, b). Нехай x- будь-яка фіксована точка інтервалу (a, b), а Δx- довільне число, таке, що значення x+Δxтакож належить інтервалу (a, b). Це число Δxназивають збільшенням аргументу.

Визначення. Збільшенням функції y=f(x)у точці x, що відповідає прирощенню аргументу Δx, назвемо число

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Вважаємо, що Δx ≠ 0. Розглянемо у цій фіксованій точці xвідношення збільшення функції в цій точці до відповідного збільшення аргументу Δx

Це ставлення називатимемо різнисним ставленням. Оскільки значення xми вважаємо фіксованим, різницеве ставлення є функцією аргументу Δx. Ця функція визначена для всіх значень аргументу Δx, Що належать деякої досить малої околиці точки Δx=0, за винятком самої точки Δx=0. Таким чином, ми маємо право розглядати питання про існування межі зазначеної функції при Δx → 0.

Визначення. Похідної функції y=f(x)у цій фіксованій точці xназивається межа при Δx → 0різницевого відношення, тобто

За умови, що ця межа існує.

Позначення. y′(x)або f′(x).

Геометричний сенс похідної: Похідна від функції f(x)у цій точці xдорівнює тангенсу кута між віссю Oxі щодо графіку цієї функції у відповідній точці:

f′(x 0) = \tgα.

Механічний сенс похідної: Похідна від шляху за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху точки:

Рівняння дотичної до лінії y=f(x)у точці M 0 (x 0, y 0)набуває вигляду

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Нормаллю до кривої в деякій її точці називається перпендикуляр до дотичної в тій же точці. Якщо f′(x 0)≠ 0, то рівняння нормалі до лінії y=f(x)у точці M 0 (x 0, y 0)записується так:

Поняття диференційності функції

Нехай функція y=f(x)визначено на деякому інтервалі (a, b), x- деяке фіксоване значення аргументу цього інтервалу, Δx- будь-яке приріст аргументу, таке, що значення аргументу x+Δx ∈ (a, b).

Визначення. Функція y=f(x)називається диференційованою в даній точці x, якщо збільшення Δyцієї функції у точці x, що відповідає прирощенню аргументу Δx, може бути представимо у вигляді

Δy = A Δx +αΔx,

де A- деяке число, що не залежить від Δx, а α - функція аргументу Δx, що є нескінченно малою при Δx→ 0.

Оскільки добуток двох нескінченно малих функцій αΔxє нескінченно малою вищого порядку, ніж Δx(властивість 3 нескінченно малих функцій), то можемо записати:

Δy = A Δx +o(Δx).

Теорема. Для того, щоб функція y=f(x)була диференційованою у цій точці xнеобхідно, і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну. При цьому A=f′(x), тобто

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Операцію знаходження похідної зазвичай називають диференціюванням.

Теорема. Якщо функція y=f(x) x, то вона безперервна у цій точці.

Зауваження. З безперервності функції y=f(x)у цій точці x, взагалі кажучи, не випливає диференційованість функції f(x)у цій точці. Наприклад, функція y=|x|- безперервна у точці x=0, але немає похідної.

Поняття диференціала функції

Визначення. Диференціалом функції y=f(x)називається твір похідної цієї функції на збільшення незалежної змінної x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Для функції y=xотримуємо dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, тобто dx=Δx- диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної.

Таким чином, можемо записати

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Диференціал dyта прирощення Δyфункції y=f(x)у цій точці x, обидва відповідають тому самому приросту аргументу Δxвзагалі кажучи, не рівні один одному.

Геометричний сенс диференціалу: Диференціал функції дорівнює приросту ординати щодо графіку даної функції, коли аргумент отримує прирощення Δx.

Правила диференціювання

Теорема. Якщо кожна з функцій u(x)і v(x)диференційована в даній точці x, то сума, різницю, твір і приватне виконання цих функцій (приватне за умови, що v(x)≠ 0) також диференційовані в цій точці, причому мають місце формули:

Розглянемо складну функцію y=f(φ(x))≡ F(x), де y=f(u), u=φ(x). В цьому випадку uназивають проміжним аргументом, x - незалежної змінної.

Теорема. Якщо y=f(u)і u=φ(x)- диференційовані функції своїх аргументів, то похідна складної функції y=f(φ(x))Існує і дорівнює добутку цієї функції з проміжного аргументу на похідну проміжного аргументу незалежної змінної, тобто.

Зауваження. Для складної функції, яка є суперпозицією трьох функцій y=F(f(φ(x))), правило диференціювання має вигляд

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

де функції v=φ(x), u=f(v)і y=F(u)- функції, що диференціюються своїх аргументів.

Теорема. Нехай функція y=f(x)зростає (або зменшується) і безперервна в деякій околиці точки x 0. Нехай, крім того, ця функція диференційована у зазначеній точці x 0та її похідна у цій точці f′(x 0) ≠ 0. Тоді в деякій околиці відповідної точки y 0 = f(x 0)визначено зворотну для y=f(x)функція x=f -1 (y), причому зазначена зворотна функція диференційована у відповідній точці y 0 = f(x 0)і для її похідної у цій точці yсправедлива формула

Таблиця похідних

Інваріантність форми першого диференціалу

Розглянемо диференціал складної функції. Якщо y=f(x), x=φ(t)- диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції y=f(φ(t))виражається формулою

y′ t = y′ x x′ t.

За визначенням dy=y′ t dtтоді отримаємо

dy = y′t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Отже, довели,

Властивість інваріантності форми першого диференціалу функції: як у випадку, коли аргумент xє незалежною змінною, так і у випадку, коли аргумент xсам є диференційованою функцією нової змінної, диференціал dyфункції y=f(x)дорівнює похідної цієї функції, помноженої на диференціал аргументу dx.

Застосування диференціала у наближених обчисленнях

Ми показали, що диференціал dyфункції y=f(x), взагалі кажучи, не дорівнює приросту Δyцієї функції. Проте з точністю до нескінченно малої функції вищого порядку малості, ніж Δx, справедливо наближена рівність

Δy ≈ dy.

Ставлення називають відносною похибкою рівності цієї рівності. Так як Δy-dy=o(Δx), то відносна похибка даної рівності стає як завгодно малою при зменшенні |Δх|.

Враховуючи що Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, отримаємо f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxабо

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Ця наближена рівність дозволяє помилково o(Δx)замінити функцію f(x)в малій околиці точки x(тобто для малих значень Δx) лінійною функцією аргументу Δx, що стоїть у правій частині.

Похідні вищих порядків

Визначення. Другий похідний (або похідний другого порядку) функції y=f(x)називається похідна від першої похідної.

Позначення другої похідної функції y=f(x):

Механічний сенс другої похідної. Якщо функція y=f(x)описує закон руху матеріальної точки по прямій лінії, то друга похідна f″(x)дорівнює прискоренню точки, що рухається, в момент часу x.

Аналогічно визначається третя, четверта похідна.

Визначення. n-ї похідної (або похідної n-го порядку) функції y=f(x)називається похідна від неї n-1-ї похідної:

y (n) = (y (n-1)) ', f (n) (x) = (f (n-1) (x)) '.

Позначення: y″′, y IV, y Vі т.д.

Похідна функції - одна із складних тем у шкільній програмі. Не кожен випускник дасть відповідь на питання, що таке похідна.

У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути математичної суворості викладу. Найголовніше – зрозуміти сенс.

Запам'ятаємо визначення:

Похідна – це швидкість зміни функції.

На малюнку – графіки трьох функцій. Як ви вважаєте, яка з них швидше росте?

Відповідь очевидна – третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.

Ось інший приклад.

Костя, Гриша та Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:

На графіці відразу все видно, чи не так? Дохід Кості за півроку зріс більш ніж удвічі. І у Гриші дохід теж виріс, але зовсім трішки. А дохід Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - Різна. Щодо Матвія – у його доходу похідна взагалі негативна.

Інтуїтивно ми легко оцінюємо швидкість зміни функції. Але як це робимо?

Насправді ми дивимося, як круто йде вгору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що та сама функція в різних точках може мати різне значення похідної - тобто може змінюватися швидше або повільніше.

Похідна функції позначається.

Покажемо як знайти за допомогою графіка.

Намальовано графік деякої функції. Візьмемо на ньому крапку з абсцисою. Проведемо у цій точці дотичну до графіку функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.

Похідна функції у точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Зверніть увагу - як кут нахилу дотичної ми беремо кут між дотичним та позитивним напрямком осі.

Іноді учні запитують, що таке, що стосується графіку функції. Це пряма, що має на даній ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на малюнку. Схоже на дотичну до кола.

Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:

Ми знайшли похідну за допомогою графіка навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.

Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням

Величина у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.

Ми отримуємо, що

Запам'ятаємо цю формулу. Вона виражає геометричний сенс похідної.

Похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної.

Ми вже сказали, що в однієї й тієї ж функції у різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як пов'язана похідна з поведінкою функції.

Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших – меншає, причому з різною швидкістю. І нехай у цієї функції будуть точки максимуму та мінімуму.

У точці функція зростає. Щодо графіка, проведена в точці , утворює гострий кут з позитивним напрямом осі . Отже, у точці похідна позитивна.

У точці наша функція зменшується. Стосовна у цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута негативний, у точці похідна негативна.

Ось що виходить:

Якщо функція зростає, її похідна є позитивною.

Якщо зменшується, її похідна негативна.

А що ж буде у точках максимуму та мінімуму? Ми бачимо, що в точках (точка максимуму) та (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна також дорівнює нулю.

Крапка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється зменшенням. Отже, знак похідної змінюється у точці із «плюсу» на «мінус».

У точці – точці мінімуму – похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з «мінусу» на «плюс».

Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції, що нас цікавить.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція зменшується.

У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак із «плюсу» на «мінус».

У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс.

Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:

	зростає	точка максимуму	зменшується	точка мінімуму	зростає
+	0	-	0	+

Зробимо два невеликі уточнення. Одне з них знадобиться вам під час вирішення завдань ЄДІ. Інше - першому курсі, при більш серйозному вивченні функцій і похідних.

Можливий випадок, коли похідна функції у будь-якій точці дорівнює нулю, але максимуму, ні мінімуму у функції у цій точці немає. Це так звана :

У точці дотична до графіка горизонтальна і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала – і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється - як вона була позитивною, так і залишилася.

Буває і так, що в точці максимуму чи мінімуму похідна не існує. На графіці це відповідає різкому зламу, коли дотичну у цій точці провести неможливо.