Геометрична схема визначення ймовірності. Геометричні можливості. Завдання для вирішення
Наприкінці липня, серпні та на початку вересня 2010 року в Росії виникла складна пожежна обстановка через низку пожеж, що супроводжувалися смогом та задимленням міст, а також жертвами та численними збитками. Так, станом на 7 серпня 2010 року було зафіксовано загибель 53 осіб, знищено понад 1200 будинків. Площа пожеж склала понад 500 тисяч гектарів. На боротьбу з вогнем було кинуто всі сили, і, звичайно, повітряна техніка, що дозволяла гасити ділянки, доступ до яких по землі був утруднений або неможливий. Мене зацікавило одне питання: якою є ймовірність того, що водний «снаряд» потрапить у призначене місце під час того, як літак рухається на величезній швидкості, а ліси та поля миготять унизу, подібно до бризок з пензля необережного художника? Чи тут можна покладатися лише на інтуїцію і на досвідченість пілота?
Виявилося, що є ціла наука, що займається знаходженням ймовірності походження тієї чи іншої події. Причому один із її розділів присвячений геометричній ймовірності. Я вирішила глибше вивчити його відповіді на своє запитання.
Проблема: чи можливе застосування геометричної ймовірності для вирішення практичних завдань?
Мета роботи: дослідження розділу математики "геометрична ймовірність" та застосування отриманих знань для вирішення поставленої проблеми.
Завдання:
Ознайомитись з історією виникнення теорії ймовірності як науки та, зокрема, її розділу про геометричну ймовірність;
Вивчити теорію на цю тему;
Розглянути типові завдання та основні способи їх вирішення;
Застосувати отримані знання практично.
Методи вирішення:
Вивчення літератури на цю тему;
Аналіз матеріалу;
Вибір завдань різних типів та рівнів складності;
Ознайомлення з методами розв'язання задач на знаходження геометричної ймовірності;
застосування навичок для вирішення практичних завдань;
Синтез даних.
Основна частина
1. Відомості з історії
Люди ще у 17 столітті намагалися знайти закономірність чи визначити кількість сприятливих результатів для тієї чи іншої події. Після перших робіт італійських учених Дж. Кардано, Н. Тарталья, що належать до 16 століття, такі завдання вивчали французькі математики Б. Паскаль та П. Ферма. Досліди проводилися на гральних кістках та були розраховані на прогнозування виграшу. З автобіографії Кардано відомо, що у свій час він був пристрасним гравцем. Разом з Тартальєю вони підрахували різні варіанти випадання окулярів і склали таблицю, яку згодом повторював (в іншій формі) Паскаль. Він надав їй форму трикутника і оприлюднив її («Трактат про арифметичний трикутник», близько 1654).
Під впливом порушених і розглянутих цими вченими питань вирішенням тих самих завдань займався і. При цьому з листуванням Паскаля та Ферма він знайомий не був, тому методику рішення винайшов самостійно. Його робота, в якій вводяться основні поняття теорії ймовірностей, вийшла в друкованому вигляді на двадцять років раніше.) видання листів Паскаля та Ферма ().
Важливий внесок у теорію ймовірностей зробив: він довів у найпростішому випадку незалежних випробувань. У першій половинітеорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу помилок спостережень;Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. В другій половиніосновний внесок зробили російські вчені, А. А. Маркові . У цей час було доведено, , а також розроблена теорія. Сучасний вид теорія ймовірностей набула завдякиу його книзі «Основні поняття теорії ймовірностей» (1936).
В результаті, теорія ймовірностей, що з'явилася колись з гри, набула строгого математичного вигляду і остаточно стала сприйматися як один з.
2.Основні теоретичні відомості
Теорія імовірності- розділ математики , що вивчає закономірності випадкових явищ : , , їх властивості та операції з них.
Ймовірністю називається відношення числа сприятливих наслідків до загального числа рівноможливих наслідків.
Також ймовірність випадкової події А це число Р(А), до якого наближається відносна частота цієї події довгої серії експериментів.
Імовірність будь-якої події укладена між нулем та одиницею. Імовірність дорівнює нулю, якщо сприятливих наслідків немає зовсім (неможлива подія), а одиниці, якщо всі результати сприятливі (достовірна подія).
Для знаходження ймовірності випадкової події А під час проведення деякого досвіду слід:
- визначити число N всіх можливих результатів цього досвіду;
- визначити число N(A) тих результатів досвіду, у яких настає подія А;
- знайти приватне N(A)/N; воно і дорівнюватиме ймовірності події А.
Однак іноді зустрічаються випробування з нескінченним числом результатів. Така ситуація виникає в деяких геометричних завданнях, пов'язаних з випадковим вибором точки на прямій, площині або просторі. У такому разі говорять про геометричну ймовірність.
Геометрична ймовірність події A, що є підмножиною множини В точок на прямій, площині або в просторі - це відношення заходів даних об'єктів.
Завдання 1 : знайдіть ймовірність того, що точка Х ближче до точки N, ніж M.
Рішення: нехай точка О - середина відрізка MN. Наша подія настане тоді, коли точка Х лежить усередині відрізка ON.
Тоді.
Відповідь: 0.5
Таким чином, ймовірність може бути розрахована як відношення довжин двох відрізків.
2. Виберемо на географічній карті світу випадкову точку. Якою є ймовірність того, що ця точка опиниться в Росії? Очевидно, що для відповіді на питання потрібно знати, яку частину всієї площі карти становить площа Росії. Ставлення цих двох площ і дасть ймовірність.
Р(А) = S(A)/S(B) , де Р – ймовірність, а S – площа.
Завдання 2 : всередині прямокутного паралелепіпеда, вимірювання якого дорівнюють 4, 6, 10 см, навмання вибирається точка М. Яка ймовірність того, що вона опиниться всередині даного куба, ребро якого 3 см.
Рішення: нехай подія Е - точка виявилася всередині куба з ребром, рівним 3 см. Вважатимемо, що результати випробування розподілені рівномірно. Тоді ймовірність настання події Е пропорційна мірі цього куба і дорівнює P(E) = Uкуба / U паралелепіпеда. Але об'єм куба дорівнює 27 см 3 , а обсяг паралелепіпеда – 240 см 3 . Отже, Р(Е) = 27/240 ≈ 0.113
Відповідь: 0.113
! Типова помилкапід час вирішення завдань на геометричну ймовірність – невідповідність розмірностей. Часто при обчисленні геометричної ймовірності довжину ділять на площу чи площу обсяг. У разі корисно перевіряти отриману формулу для ймовірності на «безрозмірність».
3. Завдання на знаходження геометричної ймовірності
Завдання 3 : точку навмання кидають у квадрат, сторона якого дорівнює 1. Постає питання, яка ймовірність події, яка полягає в тому, що відстань від цієї точки до найближчої сторони квадрата не більше ніж? (Рис.1)
Рішення: точка віддалена від межі квадрата не більш ніж наякщо вона належить внутрішньому квадрату зі стороною рівною 1 – 2* = .
Щоб знайти площу фігури, що становить різницю між внутрішнім і зовнішнім квадратами (G), потрібно від площі всієї фігури (F) відняти площу внутрішнього квадрата зі стороною.
Тоді ймовірність того, що крапка потрапила у фігуру G, рівна
Відповідь: 0.75
Завдання 4: одиничний інтервал ділиться на три частини двома випадковими точками. Чому дорівнює ймовірність того, що з відрізків, що вийшли, можна побудувати трикутник?
Рішення: Необхідно визначити ймовірність того, що жоден з відрізків не перевищує суми двох інших. Для того, щоб із трьох відрізків можна було побудувати трикутник, точка, що представляє відрізки, повинна лежати всередині трикутника, що виходить з'єднанням середин протилежних сторін трикутника (рис.2). Він має площу, що дорівнює одній чверті великого трикутника, і, отже, ймовірність дорівнює одній четвертій.
Відповідь: 0.25
Завдання 5: два студенти домовилися зустрітися в певному місці між 12-ю і 13-ю годинами. Той, хто прийшов першим, чекає іншого не більше 20 хвилин, після чого йде. Знайти ймовірність, що зустріч відбудеться.
Рішення: нехай x - час приходу першого студента, y - час приходу другого студента. Тоді x, y€ (визначення того, що зустріч відбудеться між 12 та 13 годинами, тобто у проміжок часу у 60 хвилин) – задає область G (рис.3). |x-y| ≤ 20 (визначення того, що студент, який прийшов першим, чекає на другий не більше 20 хвилин) - задає область g. Тоді області, що задаються нерівностями, виглядатимуть так (рис.2). Імовірність можна буде знайти як відношення площ двох областей g та G. Р(A)=60*60/(60*60-40*40) = 5/9.
Відповідь: 5/9
Завдання 6: згідно з правилами дорожнього руху, пішохід може перейти вулицю у невстановленому місці, якщо в межах видимості немає пішохідних переходів. У місті Миргороді відстань між пішохідними переходами на вулиці Сонячній дорівнює 1 км. Пішохід переходить вулицю Сонячну десь між двома переходами. Він може бачити знак переходу не далі ніж за 100 м від себе. Знайти ймовірність того, що пішохід не порушує правила.
Рішення: скористаємося геометричним методом. Розташуємо числову пряму так, що ділянка вулиці між переходами виявиться відрізком . Нехай пішохід підходить до вулиці у певній точці з координатою Х. Пішохід не порушує правила, якщо він знаходиться на відстані більш ніж 0,1 км від кожного переходу, тобто. 0,1.
Відповідь: 0.8
4.Проблемне завдання
Завдання 7: в одному з лісових господарств Брянської області, що є прямокутником a*b гектарів, спалахнула пожежа. Вогнем охоплена частина лісу, що є коло з радіусом, рівним r. Знайдіть ймовірність того, що рідина, що розпорошується літаком, що пролітає над лісом, потрапить в область пожежі.
Рішення: Площа лісу дорівнює а*b, площа області, що горить r 2 . Тоді Р(А) = r2/а*b
Відповідь: r 2 / а * b
Таким чином, знайомство з теорією ймовірності допомогло мені у вирішенні проблеми. Після складання та вирішення задачі 7, я можу сказати, що можна знайти багато варіантів практичного застосуваннягеометричної ймовірності.
Висновок
В результаті виконаної роботи я вивчила новий для мене розділ математики «геометрична ймовірність» шляхом ознайомлення з різноманітними літературними джерелами, аналізу інформації та безпосередньо вирішення завдань. Застосувала отримані знання для вирішення проблеми, що цікавить мене. Надалі можна продовжити вивчення цієї теми, т.к. існує безліч завдань більше високого рівняскладності, наприклад "Завдання Сільвестру".
Деякі аспекти даної роботи можуть бути використані для підготовки до ГІА з математики, факультативних занять на тему «Геометрична ймовірність», підготовки до олімпіад. Дослідницька роботає наочним прикладом, Що демонструє, що більш глибоке вивчення тем, не освітлених досить докладно в розділах стандартного підручника, може бути не тільки цікавим та пізнавальним, але також служити для вирішення будь-яких практичних завдань чи нестандартних питань.
Література
- Є.А.Бунімович, В.А.Буличев «Вірогідність та статистика в курсі математики загальноосвітньої школи» - Москва, «Педагогічний університет «Перше вересня», 2005
- М.Кендаль, П.Моран "Геометричні ймовірності" - Москва, "Наука", 1972
- Л.В.Кузнєцова, С.Б.Суворова, Є.А.Бунімович, Т.В.Колесникова, Л.О.Рослова - «Алгебра. Збірник завдань для підготовки до державної підсумкової атестації у 9 класі» - Москва, «Освіта», 2011
- А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра та початку математичного аналізу. Профільний рівень. Підручник, частина 1. 11 клас» - Москва, «Мнемозіна», 2009
- А.П.Савін «Енциклопедичний словник юного математика» - Москва, «Педагогіка», 1989
- З.А.Скопец «Додаткові розділи з курсу математики» - Москва, «Освіта», 1974
- Л.А.Трофімова «План-конспект «Геометрична ймовірність»
- А.Шень «Вірогідність: приклади та завдання» - Москва, «Видавництво МЦНМО», 2007
- http://www.historydata.ru
додаток
Завдання 8: на колі радіуса R випадково вибираються дві точки. З якою ймовірністю відстань між ними буде меншою за R?
Рішення: відстань менша за R означає, що хорда, що з'єднує ці дві точки, повинна бути меншою за R або меншою від сторони вписаного шестикутника. Знаючи центральний кут, що дорівнює 72˚, знайдемо довжину дуги, укладеної між двома точками при хорді, меншою за радіус. L = 72˚ * 2 r/360. P(A)=(72˚*2 r/360)/2 r=0.2
Відповідь: 0.2
Завдання 9: на відрізку АВ довжини l незалежно один від одного вибираються навмання дві точки M і N. Яка ймовірність того, що точка М виявиться ближче до точки А, ніж точка N?
Рішення : нехай АМ = х, AN = y. Події, що розглядається, сприятиме лише ті точки, які задовольняють умові у>x. Безліч всіх можливих результатів випробування, сприятливих події, геометрично зображується точками заштрихованого трикутника, т.к. координати всіх точок цього трикутника пов'язані співвідношенням у>x. Отже, шукана ймовірність дорівнює 0.5.
Відповідь: 0.5
Завдання 10: з трикутника АВС випадково вибирається точка Х. Знайти ймовірність того, що вона належить трикутнику, вершинами якого є середини сторін трикутника (рис.4).
Рішення: середні лінії трикутника розбивають його на 4 рівновеликі трикутники. Значить,
Імовірність того, що точка Х належить до трикутника KMN, дорівнює:
Відповідь: 0.25
Завдання 11: Буратіно посадив у центрі прямокутного листа паперу розміром 20 см на 25 см круглу ляпку радіусом 1 см. Відразу після цього Буратіно посадив ще одну таку ж ляпку, яка також цілком опинилася на аркуші. Знайдіть ймовірність того, що ці дві ляпки не стикаються.
Рішення: перша ляпка, радіусом 1 см, зафарбована червоним кольором (рис.5). Контурами показані можливі розташування другої ляпки - у разі торкання першої та другої.
Бачимо, що ляпки стосуються тоді, коли друга потрапить у кільце, утворене коло радіусом 3 см і коло радіусом 1 см. Знайдемо площу кільця: S кільця =*3 2 - *1 2 = 8 см 2 . Сприятливим вважаємо результат, коли ляпки немає спільних точок, чи перетинаються.
В цьому випадку область для влучення - прямокутник з вирізаним кільцем. Знайдемо площу цієї фігури S1: S1 = 20*25 – 8 = 500-8
Імовірність Р = S1 / S прямокутника = (500-8 * 3,14) / 500 ≈ 0,95
Відповідь: 0,95
Завдання 12: 10% поверхні кулі (за площею) пофарбовано в чорний колір, решта 90% білі. Довести, що можна вписати в куб куб так, щоб всі вершини потрапили в білі точки.
Рішення: впишемо куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 в шар випадковим чином. Тоді ймовірність того, що ця вершина (наприклад, вершина А) виявиться чорною, становить 1/10. Імовірність того, що хоча б одна з восьми вершин виявиться чорною, не перевищує 8/10 (об'єднання восьми подій ймовірності 1/10). Отже, трапляються випадки (вони становлять принаймні 2/10 всіх варіантів), коли всі вершини білі.
Завдання Сільвестру
Дещо складніше завдання носить назву задачі Сільвестра. Вона полягає у знаходженні ймовірності того, що чотири точки A, B, C, D, взяті випадково всередині опуклої області, складають опуклий чотирикутник; це означає, що жодна з точок не потрапляє до трикутника, утвореного трьома іншими.
Попередній перегляд:
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі акаунт ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього:
Розглянемо, що таке геометрична ймовірність (геометричне визначення ймовірності) на прикладах деяких завдань. Нехай дано відрізок завдовжки. Розділимо його навпіл (для однозначності точку поділу віднесемо до лівої половини). Навмання викладається крапка на цей відрізок. Можливі два випадки: "крапка потрапила на ліву половину" - подія; "точка потрапила на праву половину" - подія. Так як точка кладеться навмання, тоді доцільно вважати, що ці події рівноможливі. Тоді ймовірність події, так само виходить і з.
Тепер розділимо відрізок на 10 рівних частин (довжина кожного). Випадково кидаємо крапку на цей відрізок. Можливі випадки: "крапка потрапила на перший відрізок" - подія , "крапка потрапила на другий відрізок" - подія , "крапка потрапила на третій відрізок" - подія і так до відрізка десятого - . Вважаючи ці події рівноможливими отримуємо, що ймовірність кожного з цих подій дорівнює 0,1. Тобто, .
Нехай подія полягає в тому, що випадково покинута точка потрапила, наприклад, на відрізок . Оскільки події сприяють чотири з можливих випадків, тоді ймовірність можна уявити:
Звідси випливає:
- Імовірність випадкового попадання точки на відрізок довжиною, який міститься на відрізку довжиною.
Наведений вище підхід можна узагальнити для плоских фігур (див. рис. 1), а також у просторі для тел.
Рис. 1
Нехай фігура , площа якої дорівнює , міститься у фігурі , площа якої , тоді ймовірність події , що полягає в тому, що покинута точка потрапить у фігуру , дорівнює відношенню площі цих фігур, тобто:
Для формул (1) і (2) мається на увазі "рівноможливість" випадкового попадання точки в довільну точку відрізка або фігури.
Геометрична модель
З метою наочності розглянемо таку модель:
Нехай фігура – це прямокутник розміру x (його площа), описаний навколо фігури намальованої на асфальті. Замість точок, які вибираються навмання у прямокутнику, вважатимемо краплі дощу, що тільки починається. Після певного часу прямокутник закриємо від дощу і порахуємо кількість крапель, що потрапили на весь прямокутник, а також кількість крапель, що потрапили на фігуру. Обчислимо відносну частоту. Нам вже відомо, що за формулою (2) можна знайти ймовірність подій, яке полягає у випадковому виборі точки з фігури. В даному випадку це співвідношення площ, а з іншого боку. Тому в нас виходить наближена рівність, за допомогою якої можна знайти площу фігури,
Зрозуміло, що цей приклад наведено для наочності, а насправді краще обчислювати за допомогою комп'ютерної програми. Однак техніка і не завжди може бути під рукою. Хотілося б показати ще кілька прикладів, щоб ви чіткіше зрозуміли тему геометричної ймовірності.
Завдання на тему: “Геометричне визначення ймовірності”
Приклад 1
Завдання
Двоє студентів після занять домовилися зустрітися біля входу корпусу. Оскільки у кожного з них могли з'явитися непередбачувані обставини, вони домовилися, що зустріч відбудеться з 14:00 до 15:00. Таким чином, хто перший приходить до місця призначення, той чекає 15 хвилин (але не пізніше 15:00) і йде. Знайти ймовірність зустрічі, якщо годину очікування взяти:
а) 15 хвилин;
б) 20 хвилин;
в) 30 хв.
Рішення
Нехай – година приходу першого студента на місце зустрічі – другого.
Зустріч відбувається за умови, що:
Безліч розв'язків нерівностей зображено на рис. 2.
Площа квадрата . Площа фігури .
Тому ймовірність зустрічі (подія):
При хвилин маємо;
за хвилин: ;
за хвилин: .
Рис. 2
Відповідь
Можливість зустрічі при очікуванні 15 хвилин приблизно 0, 44;
Можливість зустрічі при очікуванні 20 хвилин = 0, 55;
Імовірність зустрічі при очікуванні 30 хвилин близько 0,75.
Приклад 2
Завдання
Знайти площу параболічного сегмента, який заданий рівностями:
Рішення
Параболічний сегмент показано на рис. 3.
Рис. 3
Крапки перетину з віссю – і .
Цю площу можна обчислити за допомогою певного інтегралуабо за допомогою формули:
де – коефіцієнт при рівності параболи.
Покажемо, як знайти площу, використовуючи геометричне визначення ймовірності. Опишемо навколо параболічного сегмента квадрат зі стороною 4 одиниці. Площа кв. од. (Див. рис. 3). За допомогою стандартної функції генерування випадкових точок , що потрапляють у квадрат, у тому числі точок, що у параболічному сегменті, знайдемо відносну частоту потрапляння випадкових точок у параболічний сегмент. Тоді за формулою (3) знаходимо .
У таблиці 1 дано результати розрахунків найближчих значень площі параболічного сегмента для різних значеньта . Так, із рис. 3 видно, що квадрат потрапило 10 точок, а сегмент – 6, тому першого наближення площі ми виходить:
; що й записуємо у першому рядку табл. 1:
| Площа | ||
| 10 | 6 | 9,6 |
| 100 | 66 | 10,56 |
| 1 000 | 665 | 10,32 |
| 10 000 | 6 645 | 10,6336 |
| 100 000 | 66 865 | 10,6984 |
| 1000 000 | 666 727 | 10,6671 |
Таблиця 1
Відповідь
Площа знайдено при використанні геометричного визначення ймовірності, яка вирахована та записана у таблиці.
Геометричне визначення ймовірності випадкової подіїоновлено: 22 листопада, 2019 автором: Статті.Ру
Геометричне визначення ймовірності. Завдання з рішеннями
За вікном ранні осінні дні, і жовте листя на деревах навіює ліричний і трохи сумний настрій. Але попереду ще цілий навчальний рік, і в такі моменти потрібно обов'язково налаштуватися на плідну роботу! Поспішаю порадувати всіх читачів, що хандрять, своїм фірмовим рецептом, що дозволяє швидко підвищити тонус свого організму. Для цього досить трохи згадати геометрію... ...ні, я згоден, що іноді вона присипляє, але в невеликих дозах - виключно бадьорить! І, головне, дуже дієво - як тільки починаєш приймати цілющі порції знань, так відразу ніякої сезонної депресії!
Ще на першому уроці на тему ми познайомилися з класичним визначенням ймовірностіпояви деякої події у випробуванні та найпростішою формулою , де – загальне число всіх можливих рівноможливих , елементарних результатів даного випробування, а – у елементарних результатів, сприяють події .
Виникли труднощі з термінологією та/або розумінням? Будь ласка, почніть з основ теорії ймовірностей.
Їдемо далі: класичне визначення ймовірності виявляється ефективним для вирішення цілого спектра завдань, але з іншого боку, має й низку недоліків. Навіть правильніше сказати, не недоліки, а обмеження. Одним з таких обмежень є той факт, що воно не застосовується до випробувань з нескінченною кількістю наслідків. Найпростіший приклад:
На відрізок навмання кидається голодна точка. Яка ймовірність того, що вона потрапить у проміжок?
Оскільки на відрізку безліч точок, то тут не можна застосувати формулу (через нескінченно великого значення"ен")і тому на допомогу приходить інший підхід, званий геометричним визначенням ймовірності.
Все дуже схоже: ймовірність настання деякої події у випробуванні дорівнює відношенню, де – геометрична міра, що виражає загальне число всіх можливихі рівноможливихрезультатів даного випробування, а – міра, що виражає кількість сприятливих подій результатів. На практиці як такий геометричний захід найчастіше виступає довжина або площа, рідше – обсяг.
Розглянемо подію: - кинута на відрізок точка, що потрапила в проміжок . Очевидно, що загальна кількість результатів виражається довжиною більшого відрізка: 
, А сприятливі події наслідки – довжиною вкладеного відрізка: За геометричним визначенням ймовірності: 
Занадто просто? Як і у випадку з класичним визначенням, це оманливе враження. Докладно та сумлінно знаємося на практичних прикладах:
Завдання 1
Метрову стрічку випадково розрізають ножицями. Знайти ймовірність того, що довжина обрізка становитиме не менше 80 см.
Рішення: «Чого тут складного? Імовірність дорівнює 1/5-й. Це автоматична помилка, яку припускаються за недбалістю. Так, абсолютно правильно - довжина обрізка складе не менше 80 см, якщо від стрічки відрізати не більше 20 сантиметрів. Але тут часто забувають, що шуканий розріз можна зробити як з одногокінця стрічки, так і з іншого: 
Розглянемо подію: - Довжина обрізка складе не менше 0,8 м.
Оскільки стрічку можна розрізати будь-де, то загальному числу результатів відповідає її довжина: Сприятливі події ділянки розрізу відзначені малюнку червоним кольором та його сумарна довжина дорівнює: 
Відповідь: 0,4
Який можна зробити висновок? Навіть якщо завдання здається вам дуже простим, не поспішайте. Імпульсивність взагалі штука погана – це помилки, непотрібні покупки, зіпсовані шкірні покриви стосунки тощо… але не будемо про сумне!
При оформленні завдань слід обов'язково вказувати розмірність (одиниці, метри, квадратні одиниці, квадратні метриі т.д.). До речі, зверніть увагу, що на фінальному етапі обчислень геометричний захід скорочується. Так, у розглянутому прикладі, скоротилися метри: , у результаті вийшла звична безрозмірна ймовірність.
Завдання 2
Після бурі на ділянці між 40-м та 70-м кілометрами телефонної лінії стався обрив дроту. Яка ймовірність того, що він стався між 50-м та 55-м кілометрами лінії?
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Значно частіше зустрічаються приклади, у яких фігурують площі:
Завдання 3
У трикутник із сторонами вписано коло. Крапка довільно ставиться в трикутник. Знайти ймовірність того, що крапка потрапить у коло.
Нагадую, що вписане коло лежить усередині трикутника і стосується його сторін у 3 точках
Рішення: Оскільки точка ставиться в трикутник, а коло лежить усередині, то загальному числу результатів відповідає площа трикутника, а безлічі сприятливих результатів – площа вписаного кола. Що тут сказати? Шукаємо площі:
Якщо дані довжини сторін трикутника, його площа зручно знайти по формулі Герона:
, де - Довжини сторін трикутника, а - напівпериметр.
Спочатку обчислимо півпериметр трикутника: 
, а потім його площа:
Методику винесення множників з-під кореня я висвітлював ще в давні-давні часи на вступному уроці з аналітичної геометрії.
Площа вписаного кола знайдемо за формулою , де його радіус.
Звідки брати геометричні формули? Потрібні формули можна знайти у шкільному підручнику чи іншому джерелі інформації. При цьому немає жодної необхідності спеціально їх розучувати, особисто я згадав тільки, а все інше за лічені хвилини знайшов у Вікіпедії. І через лічені хвилини все це благополучно забуду =)
Отже, площа вписаного кола:
За геометричним визначенням: 
- Імовірність того, що крапка потрапить у вписане коло.
Відповідь:
Простіший приклад для самостійного вирішення:
Завдання 4
У колі радіуса 10 см знаходиться прямокутний трикутник з катетами 12 і 7 см. У коло навмання ставиться крапка. Знайти ймовірність того, що вона не потрапить у цей трикутник.
Слід зазначити, що в цьому завданні трикутник зовсім не зобов'язаний якось стосуватися кола, він просто розташований усередині кола і все. Будьте уважні!
А тепер розглянемо широко відоме завдання про зустріч:
Завдання 5
Дві вантажні машини можуть підійти на навантаження у проміжок часу від 19:00 до 20:30. Завантаження першої машини триває 10 хвилин, другий – 15 хвилин. Яка ймовірність того, що одній машині доведеться чекати закінчення навантаження іншою?
Давайте трохи осмислимо умову. По-перше, автомобілі можуть підійти на навантаження в будь-якому порядку, а по-друге – у будь-які моменти часу протягом півтори години. По першій оглядці рішення є досить важким. І для непідготовленої людини воно справді виявиться «не по зубах». Детальний аналіз методу вирішення цього завдання можна знайти, наприклад, навчальному посібникуГмурмана, я ж обмежусь певною мірою формальним алгоритмом:
Рішення: Спочатку з'ясовуємо тривалість тимчасового проміжку, на якому може відбутися зустріч. В даному випадку, як вже зазначено вище, це півтори години або 90 хвилин. При цьому тут не мають особливого значення фактичні тимчасові рамки – навантаження автомобілів, може відбутися, наприклад, вранці з 8.30 до 10.00, і рішення буде таким самим.
Обчислення можна проводити як у частках години, так і в хвилинах. На мій погляд, здебільшого зручніше працювати з хвилинами – менше плутанини.
Уточнимо нижню межу інтегрування аналітично (Знайдемо точку перетину гіперболи і прямий ):
На відрізку пряма розташована не нижчегіперболи
за відповідною формулою:
За геометричним визначенням: 
- Імовірність того, що добуток двох загаданих у проміжку від 0 до 5 чисел виявиться більше двох.
Відповідь: 
Аналогічний приклад самостійного рішення.
Класичне визначення ймовірності
Основним поняттям теорії ймовірностей є поняття випадкової події. Випадковою подією прийнято називати подію, яка при здійсненні деяких умов може статися або не відбутися. Наприклад, потрапляння у певний об'єкт чи промах під час стрільби з цього об'єкту з цієї зброї є випадковим подією.
Подія прийнято називати достовірною, якщо в результаті випробування вона обов'язково відбувається. Неможливим прийнято називати подію, яка в результаті випробування відбутися не може.
Випадкові події називаються несумісними в даному випробуванні, якщо жодні з них не можуть з'явитися разом.
Випадкові події утворюють повну групу, якщо при кожному випробуванні може з'явитися будь-яке з них і не може з'явитися будь-яка інша подія, несумісна з ними.
Розглянемо повну групу рівноможливих несумісних випадкових подій. Такі події називатимемо результатами. Результат прийнято називати сприятливим появі події А, якщо поява цієї події тягне у себе поява події А.
Геометричне визначення ймовірності
Нехай випадкове випробування можна уявити собі як кидання точки навмання в деяку геометричну область G (на прямій, площині або просторі). Елементарні результати - це окремі точки G, будь-яка подія - це підмножина цієї області, простору елементарних результатів G. Можна вважати, що всі точки G «рівноправні» і тоді ймовірність попадання точки в невелику міру (наприклад, , об'єму) і не залежить від його розташування та форми.
Геометрична ймовірністьподії А визначається ставленням: , де m(G), m(A) - геометричні заходи (довжини, площі або об'єми) всього простору елементарних результатів та події А.
приклад.На площину, розграфлену паралельними смугами шириною 2d, відстань між осьовими лініями яких дорівнює 2D, навмання кинуто коло радіусу r (). Знайти ймовірність того, що коло перетне деяку смугу.
Рішення.Як елементарний результат цього випробування будемо вважати відстань xвід центру кола до осьової лінії найближчої до кола смуги. Тоді весь простір елементарних результатів - це відрізок. Перетин кола зі смугою відбудеться у тому випадку, якщо його центр потрапить у смугу, тобто. , або буде від краю смуги з відривом меншому ніж радіус, тобто. .
Для шуканої ймовірності отримуємо: .
5. Відносною частотою події називають відношення числа випробувань, у яких подія з'явилася, до загального числа практично здійснених випробувань. Відповідна частота А визначається формулою:
(2)де m-число появи події, n-загальне числовипробувань. Зіставляючи визначення ймовірності та відносної частоти, укладаємо: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилися насправді; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробування було зроблено фактично. Іншими словами, ймовірність обчислюють до досвіду, а відносну частоту - після досвіду.
Приклад 2. З 80 випадково обраних працівників 3 особи мають серйозні порушення серцевої діяльності. Відносна частота появи людей із хворим серцем
Як статичну ймовірність приймають відносну частоту або число, близьке до неї.
ВИЗНАЧЕННЯ (статистичним визначенням ймовірності). Число, якого прагне стійка відносна частота, прийнято називати статистичною ймовірністю цієї події.
6. СумоюА+В двох подійА і В називають подію, що полягає у появі події А, або події, або обох цих подій. Наприклад, якщо з зброї зроблено два постріли і А - потрапляння при першому пострілі, В - потрапляння при другому пострілі, то А + В - потрапляння при першому пострілі, або при другому, або в обох пострілах .
Зокрема, якщо дві події А і В - несумісні, то А + В - подія, що полягає в появі однієї з цих подій, байдуже до якої. Сумою кількох подійназивають подія, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ полягає в появі хоча б однієї з цих подій. Наприклад, подія А + В + З полягає у появі однієї з наступних подій: А, В, С, А і В, А і С, В і С, А і В і С. Нехай події A і В - несумісні, причому ймовірність цих подій відомі. Як визначити ймовірність того, що настане або подія A, або подія? Відповідь на це питаннядає теорема складання. Теорема. Імовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже до якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказ
Слідкість. Імовірність появи однієї з кількох попарно несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).
Геометричне визначення ймовірності - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Геометричне визначення ймовірності" 2017, 2018.
Насправді дуже часто зустрічаються такі випробування, число можливих результатів яких нескінченно. Іноді у разі можна скористатися методом обчислення ймовірності, у якому як і основну роль грає поняття рівноможливості деяких подій.... .
У деякому квадраті випадковим чином вибирається точка, яка ймовірність того, що ця точка виявиться всередині області Д. , де SД - площа області Д, S - площа всього квадрата. При класичному певну нульову можливість мало... .
Щоб подолати нестачу класичного визначення ймовірності, що полягає в тому, що воно не застосовується до випробувань з нескінченним числом результатів, вводять геометричні ймовірності - ймовірність попадання точки в область. Нехай плоска фігура g (відрізок або тіло)... .
Класичне визначення ймовірності ЛЕКЦІЯ 1. ТЕОРІЇ МОЖЛИВОСТЕЙ. ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ. КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ МОЖЛИВОСТІ А.А. Халафян БІБЛІОГРАФІЧНІ ПОСИЛАННЯ 1. Колемаєв В.А., Староверов О.В., Турундаєвський В.Б. Теорія... .[читати докладніше] .
Це визначення використовується, коли досвід має незліченну кількість рівноможливих результатів. І тут простір елементарних подій можна як деякої області G. Кожна точка цієї області відповідає елементарному події. Влучення... .
Геометричне визначення ймовірності є розширенням поняття класичної ймовірності на випадок незліченної множини елементарних подій. Якщо є незліченним безліччю, ймовірність визначається не так на елементарних подіях, але в їх множинах.... .
Класичне визначення ймовірності ВІРОЯТНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ Теоретико-множинна інтерпретація операцій над подіями Нехай проводиться певний досвід із випадковим результатом. Безліч &... .
Як було показано в розділі «Класичне визначення ймовірності», у випадкових експериментах з кінцевим числом рівноможливих елементарних результатівзастосовується класичне визначення ймовірності.
Для введення ймовірності подій у випадкових експериментах, можливі результати яких (елементарні результати) також є рівноможливимиі повністю заповнюють відрізокпрямої лінії, фігуруна площині або областьу просторі, застосовується геометричне визначення ймовірності. У таких експериментах кількість елементарних результатів не є кінцевимі тому класичне визначення ймовірності до них застосовувати не можна.
Проілюструємо запровадження геометричного визначення ймовірності на прикладах.
Приклад 1 . На відрізок числової прямої навмання кинута точка. Знайти можливість того, що точка потрапила на відрізок (рис.1).
Відповідь:
Приклад 2 . Діагоналі KM і LN квадрата KLMN перетинають вписане в квадрат коло в точках E і F , точка O - центр кола (рис. 2).
У квадрат KLMN навмання кинуто крапку. Знайти ймовірність того, що точка потрапить у сектор EOF, позначений малюнку 2 рожевим кольором.
Відповідь:
3 . У конус з вершиною S і центром основи O навмання кинуто крапку. Знайти ймовірність того, що точка потрапить у усічений конус , отриманий при перерізі конуса площиною, що проходить через середину O висоти конуса і паралельної основи конуса (рис. 3).
Рішення . Багато елементарних результатів Ω випадкового експерименту з кидання точки служить безліч всіх точок конуса з вершиною S і центром основи O .
Попадання точки в усічений конус є однією з випадкових подій, яку ми позначимо літерою A .
При геометричне визначення ймовірність події A обчислюється за формулою
Позначимо літерою R радіус основи конуса з вершиною S і центром основи O, а літерою H - висоту цього конуса. Тоді радіус основи та висота конуса з вершиною S та центром основи O" будуть рівні
відповідно.
Об'єм конуса з вершиною S і центром основи O дорівнює
