Випадкове явище теорія ймовірності. Вступ. Теорія ймовірностей - наука про випадкові явища (події). Предмет теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей - наука про випадкові явища (події). Які явища можна назвати випадковими? Відповідь, яку можна дати відразу, – це події, які не пояснюються. А якщо їх пояснити, чи перестануть події бути випадковими? Наведемо кілька прикладів.

Приклад 1. Сашко Іванов - середній студент і зазвичай дає правильні відповіді лише половину екзаменаційних квитків. На черговому екзамені Сашко на квиток відповів та отримав позитивну оцінку. Які події можна вважати випадковими:

а) Саші попався «добрий» квиток - подія А;

б) Сашко відповів на квиток – подію В;

в) Сашко склав іспит – подія З.

Подія А- Випадкове, так як Сашко міг взяти і "поганий" квиток, але чому йому трапився "добрий" - це пояснити важко. Подія В- не випадково, оскільки Сашко може відповісти лише на «хороший» квиток. Подія З– випадкове, оскільки складається з кількох подій і щонайменше одна з них випадкова (подія А).

Приклад 2. Сашко та Маша розігрують квиток на концерт. Які з таких подій можна вважати випадковими?

а) Тільки Сашко виграв квиток – подію А;

б) Тільки Маша виграла квиток – подію В;

в) Саша чи Маша виграли квиток – подія З;

г) Обидва виграли квиток – подія D.

Події Аі В- Випадкові; подія З- Не випадкове, тому що воно обов'язково відбудеться. Подія D- Не випадкове, так як воно ніколи, за цих умов, статися не може.

Проте всі ці події мають сенс і вивчаються в теорії ймовірностей (при цьому подія Зназивається достовірним, а подія D – неможливим).

Приклад 3. Розглянемо роботу їдальні, щодо обслуговування клієнтів. Моменти приходу відвідувачів (подія А) заздалегідь передбачити неможливо, більше, час, що витрачається клієнтами на обід (подія В), для різних клієнтів – різне. Отже, події Аі Вможна вважати випадковими, а процес обслуговування клієнтів – випадковим процесом (або випадковим явищем).

Приклад 4. Англійський ботанік Браун (Brown), вивчаючи під мікроскопом пилок хвойних рослин у воді, відкрив, що завислі частки рухаються безладно під дією поштовхів з боку молекул довкілля.

Цей безладний рух частинок А. Ейнштейн назвав (1905-1906) броунівським (від імені Brown), а пізніше М. Вінер створив теорію вінерівських процесів (1920-1930), які є безперервним аналогом броунівського руху. З'ясувалося, що частка розміром один мікрон (10 -4 см) відчуває за секунду з боку молекул більше 10 15 ударів. Щоб визначити траєкторію частинки, потрібно за секунду виміряти параметри 10-15 ударів. Це практично неможливо. Таким чином, ми маємо право броунівський рух рахувати випадковим. Вчинивши так, Ейнштейн відкрив нові можливості вивчення броунівського руху, а заразом, і таємниць мікросвіту.

Тут випадковість проявляється як незнання чи невміння отримати достовірну інформацію про рух частинок.

З прикладів випливає, що випадкові події не існують в однині, у кожного з них має бути щонайменше альтернативна подія.

Таким чином, під випадковимибудемо розуміти спостережувані події, кожне з яких має можливість реалізуватися в даному спостереженні, але реалізується лише одне з них.

Крім того, ми припускаємо, що будь-яка випадкова подія «за нескінченний час реалізується нескінченну кількість разів».

Ця умова хоч і образна, але досить точно відображає суть поняття випадкової події в теорії ймовірностей.

Справді, вивчаючи випадкове подія, нам важливо знати як факт його появи, а й те, як часто випадкове подія у порівнянні з іншими, тобто знати його ймовірність. І тому необхідно мати достатній набір статистичних даних, але це предмет математичної статистики.

Отже, можна стверджувати, що в природі немає жодного фізичного явища, яке не містило б елемент випадковості, а це означає, що, вивчаючи випадковість, ми пізнаємо закономірності навколишнього світу. Сучасна теорія ймовірностей рідко застосовується вивчення окремого явища, що з небагатьох чинників. Основним її завданням є виявлення закономірностейу масових випадкових явищах та їх вивчення.

Імовірнісний (статистичний) метод вивчає явища із загальних позицій,

допомагає фахівцям пізнати їхню суть, не зупиняючись на несуттєвих деталях. Це є великою перевагою в порівнянні з точними методамиінших наук. Не слід думати, що теорія ймовірностей протиставляє себе іншим наукам, навпаки, вона їх доповнює та розвиває.

Наприклад, вводячи в детерміновану модель випадкову складову, часто отримують точніші і глибші результати фізичного процесу, що досліджується. Ефективним виявляється і ймовірнісний підхід для явищ, які декларуються випадковими, незалежно від того, є такими чи ні.

Теоретично ймовірностей такий підхід називається рандомізацією(Random – випадковий).

Математична наука, що вивчає загальні закономірності випадкових масових явищ незалежно від своєї конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу різних випадкових чинників на явища називається теорією ймовірностей.

На основі спостережень і досвіду наука приходить до формулювання закономірностей, яким підпорядковується перебіг явищ, що досліджуються. Найпростіша і найпоширеніша схема встановлюваних закономірностей така:

Пропозиція 1. При кожному здійсненні певного комплексу умов відбувається подія А.

Так, наприклад, якщо вода при атмосферному тиску 760 мм нагрівається вище 100° за Цельсієм (комплекс умов), то вона перетворюється на пару (подія А). Або інший приклад: при будь-яких хімічних реакціях будь-яких речовин, без обміну з навколишнім середовищем (комплекс умов) загальна кількість речовини (матерії) залишається незмінною (подія А). Останнє твердження має назву закону збереження матерії. Читач легко може самостійно вказати приклади інших подібних закономірностей, запозичених із фізики, хімії, біології та інших наук.

Визначення 1.Подія, яка неминуче відбувається за кожної реалізації комплексу умов, називається достовірною.

Визначення 2.Якщо подія A свідомо не може статися при здійсненні комплексу умов, вона називається неможливою.

Визначення 3. Подія А, яка при реалізації комплексу умов може статися, а може і не відбутися, називається випадковою.

З цих визначень ясно, що, говорячи про достовірність, неможливість, випадковість будь-якої події, ми завжди матимемо на увазі його достовірність, неможливість або випадковість по відношенню до якогось певного комплексу умов.

Просте твердження про випадковість події має дуже обмежений пізнавальний інтерес: воно зводиться лише до вказівки на те, що комплекс умов не відображає всієї сукупності причин, необхідних та достатніх для появи події А. Така вказівка ​​не можна вважати абсолютно беззмістовною, оскільки вона може послужити стимулом до подальшого вивчення умов появи події А, але саме собою вона ще дає нам позитивного знання.

Є, проте, широке коло явищ, коли при багаторазовому здійсненні комплексу умов частка частини випадків, коли подія А відбувається, лише зрідка ухиляється скільки-небудь значно від деякої середньої цифри, яка, таким чином, може служити характерним показником масової операції, (багаторазового повторення комплексу) стосовно події A.

Для зазначених явищ можливе як просте констатування випадковості події А, а й кількісна оцінка можливості його появи. Ця оцінка виражається пропозицією виду:

Пропозиція 2. Імовірність те, що при здійсненні комплексу умов відбудеться подія А, дорівнює нар.

Закономірності цього другого роду називаються імовірнісними чи стохастичними закономірностями.

Імовірнісні закономірності відіграють велику роль у різних галузях науки.

Безсумнівно, що поняття математичної ймовірності заслуговує на поглиблене філософське вивчення. І основна специфічна філософська проблема, що висувається самим існуванням теорії ймовірностей та успішним її застосуванням до реальних явищ, полягає в наступному: за яких умов має об'єктивний сенс кількісна оцінка ймовірності випадкової події А за допомогою певного числа Р(A), званого математичною ймовірністю події А, і який об'єктивний сенс цієї оцінки. Ясне розуміння взаємовідносини між філософськими категоріями випадкового і необхідного є неминучою попередньою умовою успішного аналізу поняття математичної ймовірності, але цей аналіз не може бути повним без відповіді на поставлене нами питання про те, за яких умов випадковість допускає кількісну оцінку у вигляді числа ймовірності.

Число різних визначень математичної ймовірності, запропоноване тими чи іншими авторами, дуже велике. Ми зараз не розбиратимемося у всіх логічних тонкощах цих численних визначень. Будь-яке наукове визначення такого роду основних понять, як поняття ймовірності, є лише витонченою логічною обробкою деякого запасу дуже простих спостережень і виправдали себе тривалим успішним застосуванням практичних прийомів. Інтерес до логічно бездоганного «обґрунтування» теорії ймовірностей виник історично пізніше, ніж уміння визначати ймовірності різних подій, проводити обчислення з цими ймовірностями, а також використовувати результати проведених обчислень у практичній діяльності та наукових дослідженнях. Тому в основі більшості спроб наукового визначення загального поняттяймовірності легко розглянути ті чи інші сторони конкретного пізнавального процесу, що призводить в кожному окремому випадку до фактичного визначення ймовірності тієї чи іншої події, чи то ймовірність випадання хоча б однієї шістки при чотирьох киданнях ігрової кістки, чи ймовірність радіоактивного розпаду, чи ймовірність влучення в ціль.

З окресленої нині погляду більшість визначень математичної ймовірності можна розділити втричі групи:

1. Визначення математичної ймовірності як кількісної міри «ступеня впевненості» суб'єкта, що пізнає – суб'єктивна ймовірність.

2. Визначення, що зводять поняття ймовірності до поняття «рівноможливості» як до примітивнішого поняття (так зване «класичне» визначення ймовірності).

3. Визначення, що від «частоти» появи події у великій кількості випробувань («статистичне» визначення).

Зазначені групи окремо мають істотні недоліки і повне розуміння природи ймовірності потребує їх розумного синтезу.

Теорія ймовірностей є математична наука, що вивчає закономірності у випадкових явищах.

Умовимося, що ми розумітимемо під «випадковим явищем».

При науковому дослідженні різних фізичних та технічних завдань часто доводиться зустрічатися з особливого типу явищами, які називаються випадковими. Випадкове явище - це таке явище, яке при неодноразовому відтворенні одного і того ж досвіду протікає щоразу трохи інакше.

Наведемо приклади випадкових явищ.

1. Здійснюється стрілянина із зброї, встановленого під заданим кутом до горизонту (рис. 1.1.1).

Користуючись методами зовнішньої балістики (науки про рух снаряда повітря), можна знайти теоретичну траєкторію снаряда (крива на рис. 1.1.1). Ця траєкторія цілком визначається умовами стрілянини: початковою швидкістю снаряда, кутом кидання та балістичним коефіцієнтом снаряда. Фактична траєкторія кожного окремого снаряда неминуче дещо відхиляється від теоретичної з допомогою сукупного впливу багатьох чинників. Серед цих факторів можна, наприклад, назвати: помилки виготовлення снаряда, відхилення ваги заряду від номіналу, неоднорідність структури заряду, помилки встановлення ствола у задане положення, метеорологічні умови тощо. Якщо зробити кілька пострілів за постійних головних умов (,, ), ми отримаємо не одну теоретичну траєкторію, а цілий пучок або «сніп» траєкторій, що утворюють так зване «розсіювання снарядів».

2. Одне й те тіло кілька разів зважується на аналітичних терезах; результати повторних зважувань дещо відрізняються один від одного. Ці відмінності обумовлені впливом багатьох другорядних факторів, що супроводжують операцію зважування, таких як положення тіла на чашці ваг, випадкові вібрації апаратури, помилки відліку показань приладів і т.д.

3. Літак здійснює політ на заданій висоті; теоретично він летить горизонтально, рівномірно та прямолінійно. Фактично політ супроводжується відхиленнями центру маси літака від теоретичної траєкторії та коливань літака біля центру маси. Ці відхилення та коливання є випадковими та пов'язані з турбулентністю атмосфери; раз у раз вони не повторюються.

4. Виробляється ряд підривів осколкового снаряда у певному положенні щодо мети. Результати окремих підривів дещо відрізняються один від одного: змінюються загальна кількість уламків, взаємне розташуванняїх траєкторій, вага, форма та швидкість кожного окремого уламка. Ці зміни є випадковими та пов'язані з впливом таких факторів, як неоднорідність металу корпусу снаряда, неоднорідність вибухової речовини, мінливість швидкості детонації тощо. У зв'язку з цим різні підриви, здійснені, здавалося б, в однакових умовах, можуть призводити до різних результатів: в одних підривах ціль буде уражена уламками, в інших – ні.

Всі наведені приклади розглянуті тут під тим самим кутом зору: підкреслені випадкові варіації, неоднакові результати низки дослідів, основні умови яких залишаються незмінними. Ці варіації завжди пов'язані з наявністю якихось другорядних чинників, які впливають результат досвіду, але з заданих серед його основних умов. Основні умови досвіду, що визначають у загальних та грубих рисах його протікання, зберігаються незмінними; другорядні – змінюються від досвіду до досвіду і вносять випадкові розбіжності у їхні результати.

Цілком очевидно, що в природі немає жодного фізичного явища, в якому не були б тією чи іншою мірою елементи випадковості. Хоч би як точно і докладно були фіксовані умови досвіду, неможливо досягти того, щоб при повторенні досвіду результати повністю і точно співпадали.

Випадкові відхилення неминуче супроводжують будь-яке закономірне явище. Тим не менш, у ряді практичних завдань цими випадковими елементами можна знехтувати, розглядаючи замість реального явища його спрощену схему, «модель», і припускаючи, що в умовах досвіду явище протікає цілком певним чином. При цьому з безлічі факторів, що впливають на дане явище, виділяються найголовніші, основні, вирішальні; впливом інших, другорядних чинників просто нехтують. Така схема вивчення явищ постійно застосовується у фізиці, механіці, техніці. При користуванні цією схемою для вирішення будь-якого завдання перш за все виділяється основне коло умов, що враховуються, і з'ясовується, на які параметри завдання вони впливають; потім застосовується той чи інший математичний апарат (наприклад, складаються та інтегруються диференціальні рівняння, що описують явище); у такий спосіб виявляється основна закономірність, властива даному явищу і дає можливість передбачити результат досвіду щодо його заданих умов. У міру розвитку науки число факторів, що враховуються, стає все більше; явище досліджується докладніше; науковий прогноз стає точнішим.

Однак для вирішення низки питань описана схема – класична схемапро «точних наук» - виявляється погано пристосованою. Існують такі завдання, де цікавий для нас результат досвіду залежить від настільки великої кількості факторів, що практично неможливо зареєструвати і врахувати всі ці фактори. Це – завдання, в яких численні другорядні, тісно переплітаються між собою випадкові фактори відіграють помітну роль, а разом з тим число їх таке велике і вплив настільки складний, що застосування класичних методівдослідження себе не виправдовує.

Розглянемо приклад. Здійснюється стрілянина по деякій меті Ц із зброї, встановленого під кутом до горизонту (рис. 1.1.2). Траєкторії снарядів, як було зазначено вище, не збігаються між собою; внаслідок точки падіння снарядів землі розсіюються. Якщо розміри мети великі в порівнянні з областю розсіювання, то цим розсіюванням, очевидно, можна знехтувати: при правильній установці зброї будь-який випущений снаряд попадає в ціль. Якщо ж (як і буває практично) область розсіювання снарядів перевищує розміри мети, деякі з снарядів у зв'язку з впливом випадкових чинників у ціль не впадуть. Виникає низка питань, наприклад: який відсоток випущених снарядів у середньому потрапляє до мети? Скільки потрібно витратити снарядів для того, щоб достатньо надійно вразити ціль? Які слід вжити заходів для зменшення витрати снарядів?

Щоб відповісти на такі запитання, звичайна схематочних наук виявляється недостатньою. Ці питання органічно пов'язані з довільною природою явища; для того, щоб на них відповісти, очевидно, не можна просто знехтувати випадковістю - треба вивчити випадкове явище розсіювання снарядів з точки зору закономірностей, властивих йому саме як випадковому явищу. Треба досліджувати закон, яким розподіляються точки падіння снарядів; Потрібно з'ясувати випадкові причини, що викликають розсіювання, порівняти їх між собою за рівнем важливості тощо.

Розглянемо інший приклад. Деяке технічний пристрій, Наприклад, система автоматичного управління, вирішує певне завдання в умовах, коли на систему безперервно впливають випадкові перешкоди. Наявність перешкод призводить до того, що система вирішує завдання з деякою помилкою, у ряді випадків, що виходить за межі допустимої. Постають питання: як часто з'являтимуться такі помилки? Які слід вжити заходів для того, щоб практично виключити їхню можливість?

Щоб відповісти на такі питання, необхідно досліджувати природу та структуру випадкових збурень, що впливають на систему, вивчити реакцію системи на такі збурення, з'ясувати вплив конструктивних параметрів системи на вигляд цієї реакції.

Всі подібні завдання, число яких у фізиці та техніці надзвичайно велике, вимагають вивчення не тільки основних, головних закономірностей, що визначають явище в загальних рисах, а й аналізу випадкових обурень та спотворень, пов'язаних з наявністю другорядних факторів та надають результату досвіду за заданих умов елемент невизначеності .

Які ж існують шляхи та методи для дослідження випадкових явищ?

З суто теоретичної точки зору ті фактори, які ми умовно назвали «випадковими», у принципі нічим не відрізняються від інших, які ми виділили як «основні». Теоретично можна необмежено підвищувати точність розв'язання кожного завдання, враховуючи все нові та нові групи факторів: від найістотніших до найменших. Однак практично така спроба однаково докладно і ретельно проаналізувати вплив рішуче всіх факторів, від яких залежить явище, призвела б тільки до того, що розв'язання задачі, через непомірну громіздкість і складність, виявилося б практично нездійсненним і до того ж не мало б жодної пізнавальної цінності. .

Наприклад, теоретично можна було б поставити і вирішити задачу визначення траєкторії цілком певного снаряда, з урахуванням всіх конкретних похибок його виготовлення, точної ваги і конкретної структури даного, цілком певного порохового заряду при точно визначених метеорологічних даних (температура, тиск, вологість, вітер) у кожній точці траєкторії. Таке рішення не тільки було б неоглядно складним, а й не мало б жодної практичної цінності, тому що належало б тільки даному конкретному снаряду та заряду в даних конкретних умовах, які практично більше не повторяться.

Очевидно, має існувати принципова різниця в методах обліку основних, вирішальних факторів, що визначають у головних рисах перебіг явища, та вторинних, другорядних факторів, що впливають на перебіг явища як «похибки» або «обурення». Елемент невизначеності, складності, багатопричинності, властивий випадковим явищам, вимагає створення спеціальних методів вивчення цих явищ.

Такі методи розробляються в теорії ймовірностей. Її предметом є специфічні закономірності, що спостерігаються у випадкових явищах.

Практика показує, що, спостерігаючи разом маси однорідних випадкових явищ, ми зазвичай виявляємо у яких цілком певні закономірності, свого роду стійкості, властиві саме масовим випадковим явищам.

Наприклад, якщо багато разів поспіль кинути монету, частота появи герба (ставлення числа гербів, що з'явилися, до загального числа кидань) поступово стабілізується, наближаючись до цілком певного числа, саме, до ½. Така сама властивість «стійкості частот» виявляється і при багаторазовому повторенні будь-якого іншого досвіду, результат якого видається заздалегідь невизначеним, випадковим. Так, зі збільшенням числа пострілів частота влучення у певну мету теж стабілізується, наближаючись до деякому постійному числу.

Розглянемо інший приклад. У посудині укладено якийсь обсяг газу, що складається з великої кількості молекул. Кожна молекула за секунду зазнає безліч зіткнень з іншими молекулами, багаторазово змінює швидкість та напрямок руху; траєкторія кожної окремої молекули випадкова. Відомо, що тиск газу на стінку судини обумовлено сукупністю ударів молекул про цю стінку. Здавалося б, якщо траєкторія кожної окремої молекули випадкова, то й тиск на стінку судини мало б змінюватися випадковим і неконтрольованим чином; проте це негаразд. Якщо число молекул досить велике, то тиск газу мало залежить від траєкторій окремих молекул і підпорядковується цілком певної і дуже простий закономірності. Випадкові особливості, властиві руху кожної окремої молекули, у масі взаємно компенсуються; в результаті, незважаючи на складність та заплутаність окремого випадкового явища, ми отримуємо дуже просту закономірність, справедливу для маси випадкових явищ. Зазначимо, що саме масовість випадкових явищ забезпечує виконання цієї закономірності; при обмеженому числі молекул починають даватися взнаки випадкові відхилення від закономірності, так звані флуктуації.

Розглянемо ще один приклад. По деякій мішені проводиться один за одним ряд пострілів; спостерігається розподіл точок влучення на мішені. При обмеженій кількості пострілів точки влучення розподіляються по мішені у повному безладді, без будь-якої видимої закономірності. У міру збільшення числа пострілів у розташуванні точок починає спостерігатися певна закономірність; ця закономірність проявляється тим виразніше, що більше пострілів проведено. Розташування точок влучення виявляється приблизно симетричним щодо деякої центральної точки: у центральній області групи пробоїн вони розташовані густіше, ніж по краях; при цьому густота пробоїн убуває за цілком певним законом (так званий « нормальний закон» або «закон Гауса», якому буде приділена велика увага в даному курсі).

Подібні специфічні, звані «статистичні», закономірності спостерігаються завжди, коли маємо справу з масою однорідних випадкових явищ. Закономірності, які у цій масі, виявляються практично незалежними від індивідуальних особливостей окремих випадкових явищ, які входять у масу. Ці окремі особливості у масі хіба що взаємно погашаються, нівелюються, і середній результат маси випадкових явищ виявляється майже не випадковим. Саме ця багаторазово підтверджена досвідом стійкість масових випадкових явищ і є базою застосування ймовірнісних (статистичних) методів дослідження. p align="justify"> Методи теорії ймовірностей за природою пристосовані тільки для дослідження масових випадкових явищ; вони не дозволяють передбачити результат окремого випадкового явища, але дають можливість передбачити середній сумарний результат маси однорідних випадкових явищ, передбачити середній результат маси аналогічних дослідів, конкретний результат кожного з яких залишається невизначеним, випадковим.

Чим більша кількість однорідних випадкових явищ бере участь у завданні, тим чіткіше і виразніше виявляються властиві їм специфічні закони, тим із більшою впевненістю та точністю можна здійснити науковий прогноз.

У всіх випадках, коли застосовуються імовірнісні методи дослідження, ціль їх у тому, щоб, минаючи занадто складне (і часто практично неможливе) вивчення окремого явища, обумовленого занадто великою кількістю факторів, звернутися безпосередньо до законів, які керують масами випадкових явищ. Вивчення цих законів дозволяє не тільки здійснювати науковий прогноз у своєрідній галузі випадкових явищ, але у ряді випадків допомагає цілеспрямовано впливати на перебіг випадкових явищ, контролювати їх, обмежувати сферу дії випадковості, звужувати її вплив на практику.

Імовірнісний, або статистичний, метод у науці не протиставляє себе класичному, звичайному методу точних наук, а є його доповненням, що дозволяє глибше аналізувати явище з урахуванням властивих елементів випадковості.

Характерним для сучасного етапу розвитку природничих та технічних наук є дуже широке та плідне застосування статистичних методів у всіх галузях знання. Це цілком природно, оскільки за поглибленому вивченні будь-якого кола явищ неминуче настає етап, коли потрібно як виявлення основних закономірностей, а й аналіз можливих відхилень від них. В одних науках, через специфіку предмета та історичних умов, використання статистичних методів спостерігається раніше, в інших – пізніше. Нині майже жодної природної науки, у якій, однак, не застосовувалися б імовірнісні методи. Цілі розділи сучасної фізики (зокрема ядерна фізика) базуються на методах теорії ймовірностей. Все ширше застосовуються імовірнісні методи в сучасній електротехніці та радіотехніці, метеорології та астрономії, теорії автоматичного регулювання та машинної математики.

Широко поле застосування знаходить теорія ймовірностей у різноманітних галузях військової техніки: теорія стрільби і бомбометанія, теорія боєприпасів, теорія прицілів та приладів управління вогнем, аеронавігація, тактика та багато інших розділів військової науки широко користуються методами теорії ймовірностей та її математичним апаратом.

Математичні закони теорії ймовірностей – відображення реальних статистичних законів, які об'єктивно існують у масових випадкових явищах природи. До вивчення цих явищ теорія ймовірностей застосовує математичний метод і за своїм методом є одним із розділів математики, настільки ж логічно точним та суворим, як інші математичні науки.

Реферат учня 9 класу "А" середньої школи№1054 Валішева Тимура

1. Вступ.

З першого погляду може здатися, що жодних законів, що управляють випадковими явищами, немає і бути не може. Однак, якщо розібратися, випадкові явища відбуваються не так вже й хаотично. У багатьох випадках виявляються закономірності. Ці закономірності не схожі на нормальні закони фізичних явищ; вони дуже різноманітні.

Візьмемо, наприклад, гру монету. При киданні може бути два рівноймовірні результати: монета може впасти догори гербом або решкою. Кинувши монету, один раз не можна передбачити, яка сторона виявиться зверху. Однак, покинувши монету 100 разів, можна зробити висновки. Можна наперед сказати, що герб випаде не 1 і не 2 рази, а більше, а й не 99 і не 98 разів, а менше. Число випадень герба буде близько до 50. Насправді, і на досвіді можна переконатися, що це число буде укладено між 40 і 60.

Так само статистично встановлено, що на 1000 дітей припадає 511 хлопчиків та 489 дівчаток (тобто 48,9% та 51,1% відповідно). Ця разюча постійність відзначено багатьма вченими, серед яких і Симон Лаплас, один із засновників Теорії. Ця інформація дозволяє нам з великою точністю передбачати ймовірність кількості хлопчиків або дівчаток того чи іншого року (ці розрахунки, наприклад, використовуються призовною комісією).

2. Визначення та основні поняття Теорії.

Тепер перейдемо до виразу алгебри Теорії. Ось класичне визначення:

визначення: Нехай безліч наслідків досвіду складається з n рівноймовірних наслідків. Якщо m їх сприяють події A, то ймовірністю події A називається число

Даючи таке визначення, ми розраховуємо, що (через рівноймовірність результатів досвіду) при n-кратному повторенні досвіду подія A настане в

випадках (саме це полягає практична цінність Теорії).

Слід пояснити деякі поняття Теорії, які будуть необхідні надалі:

Достовірна подія - подія, яка обов'язково має відбутися в результаті досвіду. Така подія позначається буквою E (Expected)

Неможлива подія – подія, яка може статися в результаті досвіду. Така подія позначається буквою U (Unreal)

Несумісні події – події, які можуть статися в результаті досвіду одночасно.

Спільні події – події, які можуть статися у результаті досвіду одночасно.

Подія A сприяє події B, якщо з того, що відбулася подія A, слідує подія B. (тобто.

)

Об'єднанням подій A і B називається подія, яка полягає в тому, що в результаті досвіду відбулося хоча б одне з цих подій (тобто 1).

).

Перетином подій A і B називається подія, яка полягає в тому, що в результаті досвіду відбулися обидві з цих подій (тобто, 2000).

).

Закон великих чисел.

Нехай K разів ми провели випробування, і N разів у результаті досвіду сталася подія A. Тоді число

буде називатися частотою появи події А. Закон великих чисел стверджує, що за ймовірності події А дорівнює

(причому N і K нам невідомі), завжди можна вибрати досить велике N, щоб виконувалося співвідношення:

(іпсілон) - скільки завгодно мале позитивне нерівне нулю число.

Це означає, що з досить велику кількість випробувань частота появи тієї чи іншої події буде скільки завгодно мало відрізнятиметься від нуля.

Це співвідношення дає можливість встановлювати досвідченим шляхом з досить добрим наближенням можливість невідомої нам події.

3. Завдання та приклади.

Перші розрахунки ймовірностей подій почалися ще в XVII столітті з підрахунку шансів гравців у азартних іграх. Насамперед це була гра в кістки.

Кинули кістку. Якою є ймовірність того, що випало число 5?

Усього існує 6 варіантів випадання кістки (n = 6). Усі ці варіанти рівноймовірні, т.к. кістка зроблена так, що у всіх сторін є однакові шанси виявитися зверху, отже, m = 1; значить

Де Р(5) – можливість випадання п'ятірки.

Якою є ймовірність того, що при киданні випаде парне число очок?

Сприятливі можливості тут три: 2; 4; 6. Тому m = 3, всього результатів 6 (n = 6), отже

Де P (парн.) – ймовірність випадання парного номера.

Кинули 2 гральні кістки і підрахували суму очок, що випали. Що найімовірніше – отримати у сумі 7 чи 8?

Ось безліч результатів досвіду: "У сумі випало 2 очки", "У сумі випало 3 очки", ..., "У сумі випало 12 очок". Нас цікавлять події A = "випало 7 очок" і B = "випало 8 очок". Але це не рівноймовірні наслідки досвіду, як може здатися з першого разу. Справді, 2 у сумі може бути єдиним чином: 2 = 1+1, а 4 = 1 + 3 і 4 = 2 + 2, отже, шансів на те, що випаде 4, більше. Розглянемо таку безліч подій: «на одній кістці випало k очок, а на іншій кістці випало p очок».

. Але це також не рівноймовірні результати. Щоб отримати рівноймовірнісні результати досвіду, пофарбуємо кістки в різні кольори (чорний та білий). У результаті ми маємо: "на білій кістці випало k очок, на чорній - p". Позначимо це (k; p). Дві такі події попарно несумісні. Число всіх можливих результатів n = 62 = 36 (кожне з 6 очок на білій кістці може поєднуватися з будь-яким із 6 очок на чорній кістці). З цих 36 результатів події A сприятимуть результати: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), тобто. всього 6 (m = 6). За формулою маємо:

Події B сприятимуть результати: (2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2), тобто. всього 5. За формулою, маємо:

Отже, отримати в сумі 7 очок – більш ймовірна подія, ніж отримати 8 очок.

Це завдання вперше було вирішено гравцями в кістки, і вже потім – вирішено математично. Вона стала однією з перших, під час обговорення яких почала складатися Теорія.

У коробці лежить 20 однакових на дотик куль. З них 12 білих та 8 чорних. Навмання виймається куля. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

В результаті досвіду може наступити 2 події: A = «Вийнята чорна куля» і B = «Вийнята біла куля». Але ці дві події не рівноймовірні, т.к. білих кульок більше. Для отримання множини рівноймовірних результатів пронумеруємо кулі: з 1 по 12 – білі та з 13 по 20 – чорні. Усі події Ek = «Вийнята куля з номером k» рівноймовірні, т.к. кулі на дотик невідмінні і виймаються на удачу. Тим більше, всі 20 подій Ek і є безліччю результатів нашого досвіду, отже, n = 20. З них 12 сприяють події B, що цікавить нас, отже, m = 12. Отже

Це означає, що з ймовірністю 0,6 (60%) ми витягнемо білу кулю.

У Теорії існує таке поняття, як незалежність подій. Кожен з нас має інтуїтивне уявлення про незалежність подій. Так, наприклад, ми розуміємо, що якщо кинути дві монети, то те, що випало на одній монеті, не залежить від того, що випало на іншій. Але т.к. Теорія – математична наука, треба дати точне визначення незалежності подій.

визначення: Дві події А та В називаються незалежними, якщо виконується рівність:

Два мисливці незалежно один від одного одночасно стріляють у зайця. Заєць буде вбито, якщо потрапили обоє. Які шанси зайця вижити, якщо перший мисливець потрапляє з ймовірністю 0,8, а другий з ймовірністю 0,75?

Розглянемо дві події: А = «у зайця потрапив 1-й мисливець» і В = «у зайця потрапив 2-й мисливець». Нас цікавить подія

(Тобто сталося і подія A і подія). В силу незалежності подій, маємо:

Це означає, що у 6 випадках із 10 зайця пристрелять.

Відомо, що на кожних 10 квитків припадає один виграшний. Якою є ймовірність виграшу, якщо є 50 квитків?

За відомою нам формулою легко вирахувати, що ймовірність виграшу одного квитка 0,1; ймовірність того, що він не виграє 0,9. Виграші та програші квитків один від одного незалежні. Імовірність того, що не виграє перший білет 0,9. Імовірність того, що не виграє другий, теж 0,9. Тоді ймовірність того, що не виграє ні перша, ні друга, за визначенням незалежних подій

Так само показується, ймовірність того, що не виграють перші 3 квитки, становить 0,93; а ймовірність того, що не виграють усі 50 квитків = 0,950; тобто. приблизно 0,005. Відповідно, ймовірність виграшу бодай одного квитка 0,995 (99,5%).

Принцип додавання Принцип додавання 1: Якщо об'єкт a можна отримати n способами, об'єкт b можна отримати m способами і ці способи різні, то об'єкт «a або b» можна отримати n+m. Принцип додавання 2: Якщо об'єкт a можна отримати n способами, об'єкт b можна отримати m способами, об'єкт «a або b» можна отримати n+m-k способами, де k – це кількість повторюваних способів.

Число розміщень Теорема 1 Число всіх розміщень з n елементів k обчислюється за формулою Доказ. Кожне розміщення можна отримати з допомогою k действий: 1) вибір першого елемента n методами; 2) вибір другого елемента (n-1) способами; і т. д. k) вибір k-го елемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. За правилом множення число всіх розміщень буде n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорему доведено.

Поєднання Визначення 1 Поєднанням з n елементів k називається всяка сукупність попарно різних k елементів, вибраних будь-яким способом з даних n елементів. Тобто k-поєднання - це k-елементне підмножина n елементної множини. приклад. Дано безліч. Складемо 2 поєднання:

Відносна частота Визначення: Відносною частотою називається відношення числа випробувань, в яких подія з'явилася до загального числа фактично проведених випробувань - відносна частота події А або статистична ймовірність, m-число появи події, n - загальна кількість випробувань. Відмінність ймовірності від відносної частоти: ймовірність обчислюють до досвіду, а відносну частоту після досвіду.

Визначення. 1.Подія, яка в результаті досвіду обов'язково станеться називається достовірною. 2.Подія, яка в результаті досвіду ніколи не настане називається неможливим. 3. Якщо одночасно одна подія тягне за собою іншу і навпаки, такі події називаються рівносильними.

4. Події називаються несумісними, якщо наступ одного з них виключає будь-якого іншого. 5. Події називаються рівноможливими, якщо в результаті випробування за умовами симетрії жодна з цих подій не є більш можливим.