Симетричні системи рівнянь. §5. Однорідні рівняння та системи Розв'язання однорідних та симетричних систем рівнянь
1.
Рівняння називаються симетричними рівняннями 3-го ступеняякщо вони мають вигляд
ах 3 + bx 2 + bх + a = 0.
Для того, щоб успішно вирішувати рівняння такого виду, корисно знати та вміти використовувати наступні найпростіші властивості зворотних рівнянь:
а)У будь-якого зворотного рівняння непарної міри завжди є корінь, рівний -1.
Справді, якщо згрупувати у лівій частині доданки так: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, тобто можливість винести загальний множник, тобто. (х + 1) (ах 2 + (b - а) x + а) = 0, тому,
х + 1 = 0 або ах 2 + (b – а)x + а = 0, перше рівняння і доводить твердження, яке нас цікавить.
б)У зворотного рівняння коріння, що дорівнює нулю, немає.
в)При розподілі многочлена непарного ступеня (х + 1) приватне є знову поворотним многочленом і це доводиться індукції.
Приклад.
х 3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.
Рішення.
У вихідного рівняння обов'язково є корінь х = -1, тому розділимо х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) за схемою Горнера:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.
Квадратне рівняння x 2 + х + 1 = 0 не має коріння.
Відповідь: -1.
2.
Рівняння називаються симетричними рівняннями 4-го ступеняякщо вони мають вигляд
ах 4+bx3+сх2+bх+a=0.
Алгоритм рішенняподібних рівнянь такий:
а)Розділити обидві частини вихідного рівняння на х 2 . Ця дія не призведе до втрати кореня, адже х = 0 розв'язком заданого рівняння не є.
б)За допомогою угруповання привести рівняння до виду:
а(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.
в)Введіть нову невідому: t = (x + 1/x).
Виконаємо перетворення: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Якщо виразити x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .
г)Вирішити в нових змінних отримане квадратне рівняння:
аt 2 + bt + c - 2a = 0.
д)Зробити зворотну підстановку.
приклад.
6х 4 - 5х 3 - 38x 2 - 5х + 6 = 0.
Рішення.
6х2 - 5х - 38 - 5/х + 6/х2 = 0.
6 (х 2 + 1 / х 2) - 5 (х + 1 / х) - 38 = 0.
Вводимо t: підстановка (x+1/x) = t. Заміна: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, маємо:
6t 2 - 5t - 50 = 0.
t = -5/2 або t = 10/3.
Повернемося до змінної х. Після зворотної заміни розв'яжемо два отримані рівняння:
1) x + 1/x = -5/2;
х 2 + 5/2 х +1 = 0;
х = -2 чи х = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
х 2 – 10/3 х + 1 = 0;
х = 3 чи х = 1/3.
Відповідь: -2; -1/2; 1/3; 3.
Способи розв'язання деяких видів рівнянь вищих ступенів
1. Рівняння, що мають вигляд (х + а) n + (х + b) n = c,вирішуються підстановкою t = x + (a + b)/2. Цей метод називається методом симетризації.
Прикладом такого рівняння може бути рівняння виду (х + а) 4 + (х + b) 4 = с.
приклад.
(х + 3) 4 + (х + 1) 4 = 272.
Рішення.
Робимо підстановку, про яку йшлося вище:
t = x + (3 + 1) / 2 = х + 2, після спрощення: х = t - 2.
(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.
Прибравши дужки за допомогою формул, отримаємо:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.
t 4 + 6t 2 - 135 = 0.
t2=9 або t2=-15.
Друге рівняння коріння не дає, а ось з першого маємо t = ±3.
Після зворотної заміни отримаємо, що x = -5 або x = 1.
Відповідь: -5; 1.
Для вирішення подібних рівнянь часто виявляється ефективним і метод розкладання на множники лівої частини рівняння
2. Рівняння виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = А де а + d = c + b.
Методика розв'язання подібних рівнянь полягає у частковому розкритті дужок, а потім введенні нової змінної.
приклад.
(х + 1) (х + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.
Рішення.
Обчислюємо: 1 + 4 = 2 + 3. Групуємо дужки за парами:
((х + 1) (x + 4)) ((х + 2) (x + 3)) = 24,
(Х 2 + 5х + 4) (Х 2 + 5х + 6) = 24.
Зробивши заміну х 2 + 5х + 4 = t, маємо рівняння
t(t + 2) = 24, воно є квадратним:
t 2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 чи t = 4.
Після виконання зворотної заміни легко знаходимо коріння вихідного рівняння.
Відповідь: -5; 0.
3. Рівняння виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = Ах 2 де аd = cb.
Метод вирішення полягає в частковому розкритті дужок, розподілі обох частин на х 2 та вирішенні сукупності квадратних рівнянь.
приклад.
(х + 12) (х + 2) (x + 3) (x + 8) = 4х2.
Рішення.
Перемноживши в лівій частині перші дві та останні дві дужки отримаємо:
(х 2 + 14х + 24) (х 2 + 11х + 24) = 4х2. Ділимо на х 2 ≠ 0.
(х + 14 + 24/х) (х + 11 + 24/х) = 4. Заміною (х + 24/х) = t приходимо до квадратного рівняння:
(t + 14) (t + 11) = 4;
t 2 + 25х + 150 = 0.
t = 10 чи t = 15.
Зробивши зворотну заміну х + 24/х = 10 або х + 24/х = 15, знаходимо коріння.
Відповідь: (-15±129)/2; -4; -6.
4.
Розв'язати рівняння (3х + 5) 4 + (х + 6) 3 = 4х2 + 1.
Рішення.
Дане рівняння відразу важко класифікувати та вибрати метод розв'язання. Тому спочатку перетворимо, використовуючи різницю квадратів і різницю кубів:
((3х + 5) 2 – 4х 2) + ((х + 6) 3 – 1) = 0. Потім, після винесення загального множника, прийдемо до простого рівняння:
(Х + 5) (Х 2 + 18Х + 48) = 0.
Відповідь: -5; -9±33.
Завдання.
Скласти многочлен третього ступеня, який має один корінь, рівний 4, має кратність 2 і корінь, рівний -2.
Рішення.
f(x)/((х – 4) 2 (х + 2)) = q(x) або f(x) = (х – 4) 2 (х + 2)q(x).
Помноживши перші дві дужки і привівши подібні доданки, отримаємо: f(x) = (х 3 – 6x 2 + 32)q(х).
х 3 – 6x 2 + 32 – багаточлен третього ступеня, отже, q(x) – деяке число з R(Тобто дійсне). Нехай q(x) є одиниця, тоді f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Відповідь: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Вивчаючи додаткову літературу щодо вирішення систем рівнянь, я зустрілася з новим видом систем – симетричною. І я поставила собі за мету:
Узагальнити наукові відомості на тему «Системи рівнянь».
Розібратися та навчитися вирішувати способом запровадження нових змінних;
3) Розглянути основні теорії, пов'язані з симетричними системами рівнянь
4) Навчитися розв'язувати симетричні системи рівнянь.
Історія розв'язання систем рівнянь.
Здавна застосовувалося виключення невідомих із лінійних рівнянь. У 17-18 ст. в. прийоми виключення розробляли Ферма, Ньютон, Лейбніц, Ейлер, Безу, Лагранж.
У сучасному записі система двох лінійних рівнянь із двома невідомими має вигляд: а1х + b1у = с1, а2х + b2х = с2 х = с1b1 – с2b; у = а1с2 - а2с1 Рішення цієї системи виражаються формулами.
а1b2 – а2b1 а1b2 – а2b1
Завдяки методу координат, створеному у 17 ст. Ферма та Декарт, стало можливим вирішувати системи рівнянь графічно.
У давньовавилонських текстах, написаних у 3-2 тисячоліттях до зв. е. , міститься чимало завдань, які вирішуються за допомогою складання систем рівнянь, в які вводять і рівняння другого ступеня.
Приклад №1:
Площі двох своїх квадратів я склав: 25. сторона другого квадрата дорівнює стороні першого та ще 5. Відповідна система рівнянь у відповідному записі має вигляд: х2 + у2 = 25, у = х = 5
Діофант, який не мав позначень для багатьох невідомих, докладав чимало зусиль для вибору невідомого таким чином, щоб звести рішення системи до вирішення одного рівняння.
Приклад №2:
«Знайти два натуральних числа, знаючи, що їхня сума дорівнює 20, а сума їх квадратів 208».
Завдання також вирішували складанням системи рівнянь, х + у = 20, але вирішував х2 + у2 = 208
Діофант, вибираючи як невідомий половину різниці шуканих чисел, тобто.
(х - у) = z, + (х + у) = 10
2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- не задовольняє умові задачі, тому якщо z = 2х = 12, а у = 8
Поняття системи рівнянь алгебри.
Багато завданнях буває потрібно знайти кілька невідомих величин, знаючи, що інші, утворені з допомогою величини (функції від невідомих) рівні одне одному чи якимось даним величинам. Розглянемо найпростіший приклад.
Прямокутна ділянка землі площею 2400 м2 обгороджена парканом завдовжки 200м. знайти довжину та ширину ділянки. Фактично «алгебраїчною моделлю» цього завдання є система із двох рівнянь та однієї нерівності.
Можливі обмеження-нерівності потрібно мати на увазі завжди. Коли ви вирішуєте завдання складання систем рівнянь. Але все ж таки головне – вирішити самі рівняння. Про методи, які застосовуються, я й розповім.
Почнемо з визначень.
Системою рівнянь називається набір із кількох (більше одного) рівнянь, з'єднаних фігурною дужкою.
Фігурна дужка означає, що всі рівняння системи повинні виконуватися одночасно, і показує, що потрібно знайти таку пару чисел (х; у), яка перетворює кожне рівняння на правильну рівність.
Рішенням системи називають таку пару чисел х і у, які при підстановці в цю систему звертають кожне її рівнянь у правильну числову рівність.
Вирішити систему рівнянь – це означає, знайти всі її розв'язання чи встановити, що їх немає.
Метод підстановки.
Спосіб підстановки полягає в тому, що в одному із рівнянь виражають одну змінну через іншу. Отримане вираз підставлять на інше рівняння, яке після цього звертається до рівняння з однією змінною, а потім вирішують його. Значення цієї змінної, що виходять, підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять другу змінну.
Алгоритм
1. Виразити через х з одного рівняння системи.
2. Підставити отриманий вираз замість у інше рівняння системи.
3. Вирішити отримане рівняння щодо х.
4. Підставити по черзі кожен із знайдених на третьому кроці коренів рівняння замість х у вираз у через х, отриманий на першому кроці.
5) Записати відповідь у вигляді пар значень (х; у).
Приклад №1 у = х - 1,
Підставимо до другого рівняння у = х – 1, отримаємо 5х + 2 (х – 1) = 16, звідки х = 2. підставимо отриманий вираз у перше рівняння: у = 2 – 1 = 1.
Відповідь: (2; 1).
Приклад №2:
8у - х = 4, 1) 2 (8у - 4) - 21у = 2
2х - 21у = 2 16у - 8 - 21у = 2
5у = 10 х = 8у - 4, у = -2
2х - 21у = 2
2) х = 8 * (-2) - 4 х = 8у - 4, х = -20
2 (8у - 4) - 21у = 2 х = 8у - 4, у = -2 х = -20, у = -2
Відповідь: (-20; -2).
Приклад №3: х2 + у +8 = ху, 1) х2 + 2х + 8 = х * 2х у - 2х = 0 х2 + 2х + 8 = 2х2
Х2 + 2х + 8 = 0 х2 + у + 8 = ху, х2 - 2х - 8 = 0 - Квадратне рівняння у = 2х х1 = -2 х2 = 4 х2 + 2х + 8 = х * 2х 2) у1 = 2 * (-2) у = 2х у1 = -4 у2 = 2 * 4 х1 = -2 у2 = 8 х2 = 4 у = 2х х1 = -2, х2 = 4 у1 = -4, у2 = 8
Отже (-2; -4); (4; 8) – рішення цієї системи.
Спосіб додавання.
Метод складання полягає в тому, що якщо дана система складається з рівнянь, які при отриманому додаванні утворюють рівняння з однією змінною, то вирішивши це рівняння, ми отримаємо значення однієї зі змінних. Значення другої змінної знаходять, як і способі підстановки.
Алгоритм розв'язання систем способом додавання.
1. Зрівняти модулі коефіцієнтів за одного з невідомих.
2. Складаючи або віднімаючи отримані рівняння, знайти одне невідоме.
3. Підставляючи знайдене значення одне з рівнянь вихідної системи, знайти друге невідоме.
Приклад №1. Розв'язати систему рівнянь способом додавання: х + у = 20, х – у = 10
Віднімемо з першого рівняння друге, отримаємо
Виразимо з другого виразу х = 20 - у
Підставимо у = 5 в цей вираз: х = 20 - 5 х = 15.
Відповідь: (15; 5).
Приклад №2:
Представимо у вигляді різниці рівняння запропонованої системи, отримаємо
7у = 21, звідки у = 3
Підставимо це значення у виражене з другого рівняння системи х = отримаємо х = 4.
Відповідь: (4; 3).
Приклад №3:
2х + 11у = 15,
10х - 11у = 9
Склавши дані рівняння, маємо:
2х + 10х = 15 + 9
12х = 24х = 2, підставивши це значення у друге рівняння, отримаємо:
10 * 2 - 11у = 9, звідки у = 1.
Рішенням цієї системи є пара: (2; 1).
Графічний спосіб розв'язання систем рівняння.
Алгоритм
1. Побудувати графіки кожного із рівнянь системи.
2. Наитії координати точки перетину побудованих прямих.
Випадок взаємного розташуванняпрямі на площині.
1. Якщо прямі перетинаються, тобто мають одну загальну точку, тоді система рівнянь має одне рішення.
2. Якщо прямі паралельні, тобто не мають спільних точок, то система рівнянь не має розв'язків.
3. Якщо прямі збігаються, тобто мають безліч точок, тоді система рівнянь має безліч рішень.
Приклад №1:
Розв'язати графічно систему рівнянь х – у = -1,
Виразимо з першого та другого рівняння у: у = 1 + х, у = 4 - 2х
Побудуємо графіки кожного із рівняння системи:
1) у = 1 + х - графіком функції є пряма х 0 1 (1; 2) у 1 2
2) у = 4 - 2х - графіком функції є пряма х 0 1 у 4 2
Відповідь: (1; 2).
Приклад № 2: у х + 2у = 6,
4у = 8 – 2х х у = , у = у = - графіком функції є пряма х 0 2 у 3 2 у = - графіком функції є пряма х 0 2 у 2 1
Відповідь: рішень немає.
Приклад № 3: у х - 2у = 2,
3х - 6у = 6 х - 2у = 2, х - 2у = 2 х у = - Графіком функції є пряма х 0 2 у -1 0
Відповідь: система має безліч рішень.
Метод запровадження нових змінних.
Метод введення нових змінних полягає в тому, що вводиться нова змінна тільки в одне рівняння або дві нових змінних відразу для обох рівнянь, далі рівняння або рівняння вирішуються щодо нових змінних, після чого залишається вирішити більше просту системурівнянь, з яких знаходимо шукане рішення.
Приклад №1:
Х + у = 5
Позначимо = z, тоді =.
Перше рівняння набуде вигляду z + = , воно рівносильне 6z – 13 + 6 = 0. Розв'язавши рівняння, що вийшло, маємо z = ; z =. Тоді = або = , тобто перше рівняння розпалося на два рівняння, отже, маємо дві системи:
Х + у = 5 х + у = 5
Вирішення цих систем є рішеннями даної системи.
Рішенням першої системи є пара: (2; 3), а другий-пари (3; 2).
Отже, рішеннями системи + = , х + у = 5
Є пари (2; 3); (3; 2)
Приклад №2:
Нехай = Х, а = У.
Х = , 5 * - 2У = 1
5Х - 2У = 1 2,5 (8 - 3У) - 2У = 1
20 - 7,5 - 2У = 1
Х = , -9,5У = -19
5 * - 2У = 1 У = 2
Зробимо зворотну заміну.
2 х = 1, у = 0,5
Відповідь: (1; 0,5).
Симетричні системи рівнянь.
Система з n невідомими називається симетричною, якщо вона не змінюється під час перестановки невідомих.
Симетрична система двох рівнянь із двома невідомими х і у вирішується підстановкою u = х + у, v = ху. Зауважимо, що вирази, що зустрічаються в симетричних системах виражаються через u і v. Наведемо кілька таких прикладів, що становлять безперечний інтерес для вирішення багатьох симетричних систем: х2 + у2 = (х + у) 2 - 2ху = u2 - 2v, х3 + у3 = (х + у) (х2 -ху + у2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, х2 + ху + у2 = u2 - 2v + v = u2 - v і т.д.
Симетрична система трьох рівнянь щодо невідомих х у z вирішуються підстановкою х + у + z = u, ху + уz + хz = w. Якщо знайдено u, v, w, складається кубічне рівняння t2 – ut2 + vt – w = 0, коріння якого t1, t2, t3 у різних перестановках є рішеннями вихідної системи. Найбільш часто зустрічаються вирази в таких системах виражаються через u, v, w наступним чином: х2 + у2 + z2 = u2 - 2v х3 + у3 + z3 = u3 - 3uv + 3w
Приклад № 1: х2 + ху + у2 = 13, х + у = 4
Нехай х + у = u, ху = v.
u2 – v = 13, u = 4
16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4
Зробимо зворотну заміну.
Відповідь: (1; 3); (3; 1).
Приклад № 2: х3 + у3 = 28, х + у = 4
Нехай х + у = u, ху = v.
u3 - 3uv = 28, u = 4
64 - 12 v = 28, u = 4
12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4
Зробимо зворотну заміну.
х + у = 4, ху = 3 х = 4 - у ху = 3 х = 4 - у,
(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1
Відповідь: (1; 3); (3; 1).
Приклад № 3: х + у + ху = 7, х2 + у2 + ху = 13
Нехай х=у=u, ху=v.
u + v = 7, u2 - v = 13 u2 - v = 13 u2 - 7 + u = 13 u2 + u = 20 v = 7 - u, u (u + 1) = 20 u2 - v = 13 u = 4 v = 7 - u, u = 4 v = 3, u = 4
Зробимо зворотну заміну.
х + у = 4, ху = 3 х = 4 - у ху = 3 х = 4 - у,
(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1
Відповідь: (1; 3); (3; 1).
Приклад № 4: х + у = 5, х3 + у3 = 65
Нехай х + у = u, ху = v.
u = 5, u3 - 3uv = 65 u3 - 3uv = 65 125 - 15v = 65
15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4
Зробимо зворотну заміну.
х + у = 5, ху = 4 х = 5 – у, ху = 4 х = 5 – у, у (5 – у) = 4 х = 5 – у у1 = 1, у2 = 4 х1 = 4, х2 = 1, у1 = 1, у2 = 4
Відповідь: (4; 1); (1; 4).
Приклад №5: х2 + ху + у2 = 49, х + у + ху = 23
Зробимо заміну невідомих, система набуде вигляду u2 + v = 49, u + v = 23
Склавши ці рівняння, отримаємо u2 + u - 72 = 0 з корінням u1 = 8, u2 = -9. Відповідно v1 = 15, v2 = 32. Залишається вирішити сукупність систем х + у = 8, х + у = -9, ху = 15 ху = 32
Система х + у = 8 має рішення х1 = 3, у1 = 5; х2 = 5, у2 = 3.
Система х + у = -9, дійсних рішень немає.
Відповідь: (3; 5), (5; 3).
Приклад №6. Розв'язати систему рівнянь.
2х2 - 3ху + 2у2 = 16, х + ху + у + 3 = 0
Використовуючи основні симетричні багаточлени u = y + x і v = ху, отримаємо наступну систему рівнянь
2u2 - 7v = 16, u + v = -3
Підставляючи з другого рівняння системи вираз v = -3 - u у перше рівняння, отримаємо наступне рівняння 2u2 + 7u + 5 = 0, корінням якого є u1 = -1 і u2 = -2,5; відповідно їм значення v1 = -2 і v2 = -0,5 виходить з v = -3 – u.
Тепер залишилося вирішити наступну сукупність систем х + у = -1, і х + у = -2,5, ху = -2 ху = -0,5
Рішення цієї сукупності систем, а значить вихідної системи (в силу їх еквівалентності), такі: (1; -2), (-2; 1), (;).
Приклад № 7:
3х2у - 2ху + 3ху2 = 78,
2х - 3ху + 2у + 8 = 0
За допомогою основних симетричних багаточленів система може бути записана в наступному вигляді
3uv - 2v = 78,
Виражаючи з другого рівняння u = і підставляючи його в перше рівняння, отримаємо 9v2 - 28v - 156 = 0. Коріння цього рівняння v1 = 6 і v2 = - дозволяють знайти відповідні значення u1 = 5, u2 = - з виразу u =.
Вирішимо тепер наступну сукупність систем х + у = 5, і х + у = -, ху = 6 ху = -.
х = 5 - у, і у = -х -, ху = 6 ху = -.
х = 5 - у, і у = -х -, у (5 - у) = 6 х (-х -) = -.
х = 5 - у, і у = -х - , у1 = 3, у2 = 2 х1 = , х2 = - х1 = 2, х2 = 3, і х1 = , х2 = - у1 = 3, у2 = 2 у1 = -, у2 =
Відповідь: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).
Висновок.
У процесі написання статті я познайомилася з різними видамисистем рівнянь алгебри. Узагальнила наукові відомості на тему «Системи рівнянь».
Розібралася та навчилася вирішувати способом запровадження нових змінних;
Розглянула основні теорії, пов'язані із симетричними системами рівнянь
Навчилася розв'язувати симетричні системи рівнянь.
Вступ
Симетрія ... є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагалася осягнути і створити порядок, красу та досконалість.
Поняття симетрії проходить крізь усю історію людства. Воно зустрічається вже біля джерел людського знання. Виникло воно у зв'язку з вивченням живого організму, саме людини, і використовувалося скульпторами ще V столітті до зв. е.
Слово "симетрія" грецьке. Воно означає «пропорційність», «пропорційність», однаковість розташування частин. Його широко використовують усі без винятку напрямки сучасної науки.
Про цю закономірність замислювалися багато великих людей. Наприклад, Л.Н.Толстой говорив: «Стоячи перед чорною дошкою і малюючи у ньому крейдою різні постаті, я раптом був уражений думкою: чому симетрія зрозуміла оку? Що таке симетрія? Це вроджене почуття. На чому ж воно засноване?
Справді, симетричність приємна для ока. Хто милувався симетричністю творінь природи: листям, квітами, птахами, тваринами; або творами людини: будівлями, технікою, - усім тим, що нас з дитинства оточує, тим, що прагне краси та гармонії.
Сімметрі́я (ін.-грец. συμμετρία - «пропорційність»), у широкому сенсі - незмінність при будь-яких перетвореннях. Так, наприклад, сферична симетрія тіла означає, що вид тіла не зміниться, якщо його обертати у просторі довільні кути(зберігаючи одну точку дома). Двостороння симетрія означає, що права і ліва сторона щодо будь-якої площини виглядають однаково.
З симетрією ми зустрічаємося скрізь – у природі, техніці, мистецтві, науці. Зазначимо, наприклад, симетрію, властиву метелику та кленовому листу, симетрію автомобіля та літака, симетрію у ритмічному побудові вірша та музичної фрази, симетрію орнаментів та бордюрів, симетрію атомної структури молекул та кристалів. Поняття симетрії проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Воно зустрічається вже біля джерел людського знання; його широко використовують усі без винятку напрямки сучасної науки. Принципи симетрії відіграють важливу роль у фізиці та математиці, хімії та біології, техніці та архітектурі, живопису та скульптурі, поезії та музиці. Закони природи, що керують невичерпною у своєму різноманітті картиною явищ, у свою чергу, підкоряються принципам симетрії.
Цілі:
Розглянути види та типи симетрій;
Проаналізувати як і де використовується симетрія;
Розглянути, як симетрія використовується в шкільному курсіалгебри
симетрія.
Слово «симетрія» має двояке тлумачення. В одному сенсі симетричне означає щось дуже пропорційне, збалансоване; симетрія показує той спосіб узгодження багатьох елементів, з допомогою якого об'єднуються в ціле. Другий зміст цього слова – рівновага. Ще Аристотель говорив про симетрію як такий стан, що характеризується співвідношенням крайнощів. З цього висловлювання випливає, що Аристотель, мабуть, був найближчим до відкриття однієї з фундаментальних закономірностей Природи - закономірності про її двоїстість.
Слід виділити аспекти, без яких симетрія неможлива:
1) об'єкт – носій симетрії; у ролі симетричних об'єктів можуть виступати речі, процеси, геометричні постаті, математичні висловлювання, живі організми тощо.
2) деякі ознаки – величини, властивості, відносини, процеси, явища – об'єкта, які при перетвореннях симетрії залишаються незмінними; їх називають інваріантними чи інваріантами.
3) зміни (об'єкта), які залишають об'єкт тотожним самому собі за інваріантними ознаками; такі зміни називаються перетвореннями симетрії;
4) властивість об'єкта перетворюватися за виділеними ознаками на себе після відповідних його змін.
Таким чином, симетрія виражає збереження чогось за якихось змін або збереження чогось незважаючи на зміну. Симетрія передбачає незмінність як самого об'єкта, а й будь-яких його властивостей стосовно перетворенням, виконаним над об'єктом. Незмінність тих чи інших об'єктів може спостерігатися по відношенню до різноманітних операцій - до поворотів, перенесення, взаємної заміни частин, відображень і т.д. У зв'язку з цим виділяють різні типисиметрії.
Асиметрія
Асиметрія – відсутність або порушення симетрії.
В архітектурі – симетрія та асиметрія – два протилежні методи закономірної організації просторової форми. Асиметричні композиції у процесі розвитку архітектури виникли як втілення складних поєднань життєвих процесів та умов навколишнього середовища.
Дисиметрія
Порушену, частково засмучену симетрію ми називаємо дисиметрією
.
Дисиметрія - явище, поширене у живої природі. Вона й у людини. Людина дисиметрична, незважаючи на те, що контури її тіла мають площину симетрії. Дисиметрія позначається на
кращому володінні однієї з рук, у несиметричному положенні серця та багатьох інших органів, у будові цих органів.
Дисиметрії людського тіла подібні і до відхилень від точної симетрії в архітектурі. Зазвичай вони викликаються практичною необхідністю, тим, що різноманіття функцій не вкладається у межі жорстких закономірностей симетрії. Іноді такі відхилення дають основу гострого емоційного ефекту.
^ Типи симетрій, що зустрічаються в математиці та в природничих науках:
Двостороння симетрія- симетрія дзеркального відображення, при якій об'єкт має одну площину симетрії, щодо якої дві половини його дзеркально симетричні. У тварин білатеральна симетрія проявляється у схожості або майже повній ідентичності лівої та правої половин тіла. При цьому завжди існують випадкові відхилення від симетрії (наприклад, відмінності в папілярних лініях, розгалуженні судин. Часто існують невеликі, але закономірні відмінності у зовнішній будові та більш суттєві відмінності між правою та лівою половиною тіла в розташуванні внутрішніх органів. Наприклад, серце у ссавців зазвичай розміщено несиметрично, зі зміщенням вліво.
У тварин поява білатеральної симетрії в еволюції пов'язана з повзанням по субстрату (по дну водойми), у зв'язку з чим з'являються спинна та черевна, а також права та ліва половина тіла. Загалом серед тварин білатеральна симетрія більш виражена у активно рухливих форм, ніж у сидячих. У рослин білатеральну симетрію має зазвичай не весь організм, а його окремі частини – листя або квітки. Білатерально-симетричні квітки ботаніки називають зигоморфними.
^ Симетрія n-го порядку- симетричність щодо поворотів на кут 360°/n навколо будь-якої осі. Описується гуртом Zn.
Аксіальна симетрія(Радіальна симетрія, променева симетрія) -форма симетрії, при якій тіло (або фігура) збігається саме з собою при обертанні об'єкта навколо певної точки або прямої. Часто ця точка збігається з центром симетрії об'єкта, тобто тією точкою, у якій
перетинається нескінченна кількість осей двосторонньої симетрії. Радіальну симетрію мають такі геометричні об'єкти, як коло, куля, циліндр або конус. Описується групою SO(2).
^ Сферична симетрія- симетричність щодо обертань у тривимірному просторі на довільні кути. Описується групою SO(3). Локальна сферична симетрія простору чи середовища називається також ізотропією.
^ Обертальна симетрія- термін, що означає симетрію об'єкта щодо всіх або деяких власних обертань m-мірного евклідового простору.
^ Симетрія у тварин та людини.
Симетрія є життєво важливою ознакою, що відображає особливості будови, способу життя та поведінки тварини. Симетричність форми потрібна рибі, щоб плисти; птах літати. Отже, симетрія в природі існує недарма: вона ще й корисна, або, інакше кажучи, доцільна. У біології центр симетрії мають: квіти, медуза, морські зірки тощо. д. Наявність форм симетрії простежується вже в найпростіших – одноклітинних (інфузорії, амеби). Тіло людини побудовано за принципом двосторонньої симетрії. Мозок поділений на дві половини. У повній відповідності до загальної симетрії тіла людини кожна півкуля є майже точним дзеркальним відображенням іншого. Управління основними рухами тіла людини та її сенсорними функціями рівномірно розподілено між двома півкулями мозку. Ліва півкуля контролює праву сторону мозку, а праву - ліву сторону. Проведені дослідження показали, що симетрична особа є більш привабливою. Також дослідники стверджують, що особа з ідеальними пропорціями є ознакою того, що організм його володаря добре підготовлений для боротьби з інфекціями. Звичайна застуда, астма та грип з високою ймовірністю відступають перед людьми, у яких ліва сторона точно схожа на праву. І в одязі людина теж, як правило, намагається підтримувати враження симетричності: правий рукав відповідає лівому, права штанина – лівий. Ґудзики на куртці та на сорочці сидять рівно посередині, а якщо й відступають від неї, то на симетричні відстані. І водночас людина намагається підкреслити, посилити різницю між лівим і правим. У середні віки чоловіки у свій час хизувалися в панталонах зі штанинами різних кольорів (наприклад, однієї червоної, а іншої чорної або білої). Але
подібна мода завжди недовговічна. Лише тактовні, скромні відхилення від симетрії залишаються довгі часи.
Симетрія у мистецтві
Симетрія в мистецтві взагалі і в образотворчому зокрема бере свій початок у реальній дійсності, яка рясніє симетрично влаштованими формами.
Для симетричної організації композиції характерна врівноваженість її частин за масами, за тоном, кольором і навіть формою. У разі одна частина майже дзеркально схожа на другу. У симетричних композиціях найчастіше є яскраво виражений центр. Як правило, він збігається із геометричним центром картинної площини. Якщо точка сходу зміщена від центру, одна з частин більш завантажена по масах або зображення будується по діагоналі, все це повідомляє динамічність композиції і певною мірою порушує ідеальну рівновагу.
Правилом симетрії користувалися ще скульптори Стародавню Грецію. Прикладом може бути композиція західного фронтону храму Зевса та Олімпії. В її основу покладено боротьбу лапіфів (греків) з кентаврами в присутності бога Аполлона. Рух поступово посилюється від країв до центру. Воно досягає граничної виразності у зображенні двох юнаків, які замахнулися на кентаврів. Наростаючий рух як би відразу обривається на підступах до фігури Аполлона, що спокійно і велично стоїть у центрі фронтону.
Уявлення про втрачені твори знаменитих художників V століття до зв. е. можна скласти по античному вазопису і помпейським фрескам, навіяним, як вважають дослідники, творами грецьких майстрів епохи класики.
Симетричні композиції спостерігалися й у грецьких майстрів IV-III століть до зв. е. Про це можна судити з копій фресок. У помпейських фресках головні фігури перебувають у центрі пірамідальної композиції, що відрізняється симетрією.
До правил симетрії нерідко вдавалися художники під час зображення урочистих багатолюдних зборів, парадів, засідань у великих залах тощо.
Велику увагу правилу симетрії приділяли художники раннього Відродження, що свідчить монументальний живопис (наприклад, фрески Джотто). У період Високого Відродження італійська композиція досягла зрілості. Наприклад, у картині «Свята Ганна з Марією та немовлям Христом» Леонардо да Вінчі компонує три постаті на загострений догори трикутник. У нижньому правому кутку він дає фігурку ягня, якого тримає маленький Христос. Все скомпоновано таким чином, що цей трикутник лише вгадується під об'ємно-просторовою групою фігур.
Симетричною композицією можна назвати і «Таємну вечерю» Леонардо да Вінчі. У цій фресці показано драматичний момент, коли
Христос повідомив своїх учнів: «Один із вас зрадить мене». Психологічна реакція апостолів на ці пророчі слова пов'язує персонажів із композиційним центром, у якому перебуває постать Христа. Враження цілісності від цієї доцентрової композиції посилюється ще й тим, що художник показав приміщення трапезної в перспективі з точкою сходження паралельних ліній у середині вікна, на тлі якого чітко малюється голова Христа. Таким чином, погляд глядача мимоволі прямує до центральної фігури картини.
Серед творів, що демонструють можливості симетрії, можна також назвати «Заручини Марії» Рафаеля, де знайшли найповніше вираження прийоми композиції, характерні для епохи Відродження.
Картина В. М. Васнєцова "Богатирі" також побудована на основі правила симетрії. Центром композиції є фігура Іллі Муромця. Ліворуч і праворуч, як у дзеркальному відображенні, розміщені Альоша Попович та Добриня Микитович. Фігури розташовані вздовж картинної площини, що спокійно сидять на конях. Симетрична будова композиції передає стан відносного спокою. Ліва і права фігури за масами неоднакові, що з ідейним задумом автора. Але обидві вони менш потужні порівняно з фігурою Муромця і загалом надають повної рівноваги композиції.
Стійкість композиції викликає у глядача почуття впевненості у непереможності богатирів, захисників російської землі. Мало того, у «Богатирях» передано стан напруженого спокою на межі переходу в дію. А це означає, що і симетрія несе у собі зародок динамічного руху у часі та просторі.
Симетрія в алгебрі.
Найпростіші симетричні вирази щодо коріння квадратного рівняння зустрічаються у теоремі Вієта. Це дозволяє використовувати їх при вирішенні деяких завдань, що належать до квадратних рівнянь. Розглянемо низку прикладів.
Приклад 1:
Квадратне рівняння 
має коріння та . Не вирішуючи цього рівняння, виразимо і суми , . Вираз симетричний щодо і . Виразимо їх через + і , а потім застосуємо теорему Вієта.
Раціональні рівняння та нерівності
I. Раціональні рівняння.
Лінійні рівняння.
Системи лінійних рівнянь.
Поворотні рівняння.
Формула Вієта для багаточленів вищих ступенів.
Системи рівнянь другого ступеня.
Метод введення нових невідомих при вирішенні рівнянь та систем рівнянь.
Однорідні рівняння.
Розв'язання симетричних систем рівнянь.
Рівняння та системи рівнянь із параметрами.
Графічний метод розв'язання систем нелінійних рівнянь.
Рівняння містять знак модуля.
Основні методи розв'язання раціональних рівнянь
ІІ. Раціональні нерівності.
Властивості рівносильних нерівностей.
Алгебраїчні нерівності.
Метод інтервалів.
Дробно-раціональні нерівності.
Нерівності, що містять невідоме під знаком абсолютної величини.
Нерівності із параметрами.
Системи раціональних нерівностей.
Графічне розв'язання нерівностей.
ІІІ. Перевірочний тест.
Раціональні рівняння
Функція виду
P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n ,
де n - натуральне, a 0, a 1, ..., a n - деякі дійсні числаназивається цілою раціональною функцією.
Рівняння виду P(x) = 0, де P(x) - ціла раціональна функція, називається цілим раціональним рівнянням.
Рівняння виду
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,
де P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) – цілі раціональні функції, називається раціональним рівнянням.
Рішення раціонального рівняння P(x) / Q(x) = 0, де P(x) та Q(x) - багаточлени (Q(x) 0), зводиться до вирішення рівняння P(x) = 0 та перевірки того, що коріння задовольняє умові Q (x) 0.
Лінійні рівняння.
Рівняння виду ax+b=0 де а і b - деякі постійні, називається лінійним рівнянням.
Якщо a0, лінійне рівняння має єдиний корінь: x = -b /a.
Якщо a = 0; b0, лінійне рівняння рішень не має.
Якщо a = 0; b=0, то, переписавши вихідне рівняння як ax = -b, легко бачити, що будь-яке x є рішенням лінійного рівняння.
Рівняння прямої має вигляд: y = ax + b.
Якщо пряма проходить через точку з координатами X 0 і Y 0 то ці координати задовольняють рівняння прямої, тобто Y 0 = aX 0 + b.
Приклад 1.1. Розв'язати рівняння
2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.
Рішення. Послідовно розкриємо дужки, наведемо такі члени і знайдемо x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
приклад 1.2.Розв'язати рівняння
2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.
Рішення. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Відповідь: .
Приклад 1.3. Розв'язати рівняння.
2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.
Рішення. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
- 4x + 9 = 9 - 4x,
4x + 4x = 9 - 9,
Відповідь: Будь-яке число.
Системи лінійних рівнянь.
Рівняння виду
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
де a 1, b 1, …, a n, b - деякі постійні, називається лінійним рівнянням з n невідомими x 1, x 2, …, x n.
Система рівнянь називається лінійною, якщо всі рівняння, що входять до системи, є лінійними. Якщо система з n невідомих, то можливі такі три випадки:
система немає рішень;
система має рівно одне рішення;
система має безліч рішень.
Приклад 2.4.розв'язати систему рівнянь
Рішення. Вирішити систему лінійних рівнянь можна способом підстановки, який полягає в тому, що будь-яке рівняння системи виражають одне невідоме через інші невідомі, а потім підставляють значення цього невідомого в інші рівняння.
З першого рівняння виражаємо: x= (8 – 3y) / 2. Підставляємо цей вираз у друге рівняння та отримуємо систему рівнянь
X = (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y = 7. З другого рівняння отримуємо y = 2. З урахуванням цього з першого рівняння x = 1. Відповідь: (1; 2). 2.5. Розв'язати систему рівнянь
Рішення. Система немає рішень, оскільки два рівняння системи що неспроможні задовольнятися одночасно (з першого рівняння x + y = 3, та якщо з другого x + y = 3,5).
Відповідь: Рішень немає.
Приклад 2.6. розв'язати систему рівнянь
Рішення. Система має безліч рішень, оскільки друге рівняння виходить з першого шляхом множення на 2 (тобто фактично є лише одне рівняння з двома невідомими).
Відповідь: Безкінечно багато рішень.
Приклад 2.7. розв'язати систему рівнянь
x + y - z = 2,
2x - y + 4z = 1,
Рішення. При вирішенні систем лінійних рівнянь зручно користуватися методом Гауса, який полягає у перетворенні системи до трикутного вигляду.
Помножуємо перше рівняння системи на – 2 і складаючи отриманий результат з другим рівнянням, отримуємо – 3y + 6z = – 3. Це рівняння можна переписати у вигляді y – 2z = 1. Складаючи перше рівняння з третім, отримуємо 7y = 7, або y = 1.
Таким чином, система набула трикутного вигляду
x + y - z = 2,
Підставляючи y = 1 у друге рівняння, знаходимо z = 0. Підставляючи y = 1 і z = 0 у перше рівняння, знаходимо x = 1. Відповідь: (1; 1; 0). Приклад 2.8. при яких значеннях параметра a система рівнянь
2x + ay = a + 2,
(a + 1) x + 2ay = 2a + 4
має багато рішень? Рішення. З першого рівняння виражаємо x:
x = - (a / 2) y + a / 2 +1.
Підставляючи цей вираз у друге рівняння, отримуємо
(a + 1) (- (a / 2) y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2) (3 – a).
Аналізуючи останнє рівняння, відзначимо, що з a = 3 воно має вигляд 0y = 0, тобто. воно задовольняється за будь-яких значень y. Відповідь: 3.
Квадратні рівняння та рівняння, що зводяться до них.
Рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де a, b та c - деякі числа (a0);
x – змінна, називається квадратним рівнянням.
Формула розв'язання квадратного рівняння.
Спочатку розділимо обидві частини рівняння ax 2 + bx + c = 0 на a – від цього його коріння не зміниться. Для вирішення рівняння, що вийшло
x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0
виділимо у лівій частині повний квадрат
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).
Для стислості позначимо вираз (b 2 – 4ac) через D. Тоді отримане тотожність набуде вигляду
Можливі три випадки:
якщо число D позитивне (D > 0), то цьому випадку можна витягти з D квадратний коріньта записати D у вигляді D = (D) 2 . Тоді
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , тому тотожність набуває вигляду
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .
За формулою різниці квадратів виводимо звідси:
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).
Теорема:Якщо виконується тотожність
ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),
то квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0 при X 1 X 2 має два корені X 1 і X 2 , а за X 1 = X 2 - лише один корінь X 1 .
У силу цієї теореми з виведеного вище тотожності слідує, що рівняння
x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0,
а тим самим і рівняння ax 2 + bx + c = 0, має два корені:
X 1 =(-b + D)/2a; X 2 = (-b - D) / 2a.
Отже x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
Зазвичай це коріння записують однією формулою:
де b 2 - 4ac = D.
якщо число D дорівнює нулю (D = 0), то тотожність
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
набуває вигляду x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .
Звідси випливає, що з D = 0 рівняння ax 2 + bx + c = 0 має корінь кратності 2: X 1 = – b / 2a
3) Якщо число D є негативним (D< 0), то – D >0, і тому вираз
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
є сумою двох доданків, одна з яких неотрицательно, інше позитивно. Така сума не може дорівнювати нулю, тому рівняння
x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0
не має дійсних коренів. Не має їх і рівняння ax2+bx+c=0.
Таким чином, для вирішення квадратного рівняння слід обчислити дискримінант
D = b 2 - 4ac.
Якщо D = 0, квадратне рівняння має єдине рішення:
Якщо D > 0, то квадратне рівняння має два корені:
X 1 =(-b + D)/(2a); X 2 = (-b - D) / (2a).
Якщо D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Якщо один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то квадратне рівняння можна вирішувати, не обчислюючи дискримінанта:
b = 0; c 0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b/a.
Коріння квадратного рівняння загального виду ax 2 + bx + c = 0 знаходиться за формулою
Квадратне рівняння, у якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називається наведеним. Зазвичай наведене квадратне рівняння позначають так:
x 2 + px + q = 0.
Теорема Вієта.
Ми вивели тотожність
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x - x1) (x - x2),
де X 1 і X 2 – корені квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0. Розкриємо дужки у правій частині цього тотожності.
x 2 + (b / a) x + (c / a) = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .
Звідси випливає, що X 1 + X 2 = - b/a та X 1 X 2 = c/a. Ми довели наступну теорему, вперше встановлену французьким математиком Ф. Вієтом (1540 – 1603):
Теорема 1 (Вієта). Сума коренів квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при X, взятому з протилежним знаком і поділеному на коефіцієнт при X 2; добуток коріння цього рівняння дорівнює вільному члену, поділеному на коефіцієнт при X 2 .
Теорема 2 (зворотний). Якщо виконуються рівність
X 1 + X 2 = - b / a і X 1 X 2 = c / a,
числа X 1 і X 2 є корінням квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0.
Зауваження. Формули X 1 + X 2 = – b / a та X 1 X 2 = c / a залишаються вірними і у випадку, коли рівняння ax 2 + bx + c = 0 має один корінь X 1 кратності 2, якщо покласти у зазначених формулах X 2 = X1. Тому прийнято вважати, що при D = 0 рівняння ax 2 + bx +c = 0 має два співпадаючі один з одним корені.
При вирішенні завдань, пов'язаних з теоремою Вієта, корисно використовувати співвідношення
(1 / X 1) + (1 / X 2) = (X 1 + X 2) / X 1 X 2;
X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =
= (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).
Приклад 3.9.Розв'язати рівняння 2x2 + 5x – 1 = 0.
Рішення. D = 25 - 42 (-1) = 33> 0;
X 1 = (-5 + 33)/4; X 2 = (-5-33)/4.
Відповідь: X 1 = (-5 + 33)/4; X 2 = (-5-33)/4.
Приклад 3.10.Розв'язати рівняння x 3 – 5x2 + 6x = 0
Рішення. Розкладемо ліву частину рівняння на множники x(x 2 – 5x + 6) = 0,
звідси x = 0 чи x 2 – 5x + 6 = 0.
Вирішуючи квадратне рівняння, отримуємо X 1 = 2, X 2 = 3.
Відповідь: 0; 2; 3.
Приклад 3.11.
x 3 - 3x + 2 = 0. Рішення. Перепишемо рівняння, записавши –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, а тепер групуємо x(x2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1)(x( x + 1) - 2) = 0, x - 1 = 0, x 1 = 1, x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Відповідь: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Приклад 3.12. Розв'язати рівняння7
(x - 1) (x - 3) (x - 4)
(2x - 7) (x + 2) (x - 6) Рішення. Знайдемо область допустимих значень x:X + 2 0; x – 6 0; 2x – 7 0 або x – 2; x 6; x 3,5.Наводимо рівняння до виду (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12), розкриваємо дужки.7x 3 – 49x 2 + 84x – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 – 93x 2 + 190x = 0,x(11x 2 – 93x + 190) = 0,x 1 93x + 190 = 0, 93(8649 – 8360) 93 17 x 2,3 = = ,
Тобто. x 1 = 5; x 2 = 38/11.
Знайдені значення задовольняють ОДЗ.
Відповідь: x1=0; x 2 = 5; x 3 = 38/11.
Приклад 3.13.Розв'язати рівняння x 6 – 5x 3 + 4 = 0
Рішення. Позначимо y = x 3 тоді вихідне рівняння набуває вигляду
y 2 – 5y + 4 = 0, розв'язавши яке отримуємо Y 1 = 1; Y2 = 4.
Таким чином, вихідне рівняння еквівалентне сукупності
рівнянь: x 3 = 1 або x 3 = 4, тобто X 1 = 1 або X 2 = 3 4
Відповідь: 1; 3 4.
Приклад 3.14.Розв'язати рівняння (x 3 – 27) / (x – 3) = 27
Рішення. Розкладемо чисельник на множники (за формулою різниці кубів):
ДоповідьНауковий керівник: Кулабухов Сергій Юрійович, кандидат фізико-математичних наук, педагог додаткової освітиМОУ ДОД ДТДіМ, м. Ростов-на-Дону.
