3 у різних ступенях. Ступінні чи показові рівняння. Властивості геометричної прогресії

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб знати всіх нових відео уроків.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме він відбувається n раз, цей вираз ми можемо записати як a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n m = an + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n - m

Ступінні або показові рівняння – це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У цьому прикладі число 6 є підставою воно завжди стоїть унизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частина були рівні, потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, щоб вирішити таке рівняння, ми забрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня та вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій та правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути та прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х +8 = (32) х +8 = 3 2х +16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що в лівій та правій стороні основи однакові та рівні трійці, значить ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося наступний приклад:

2 2х+4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = an + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо в рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Всі рівняння ділимо на 6:

Уявимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх та прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t +27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

y (x) = e x, похідна якої дорівнює самій функції.

Експоненту позначають так, або.

Число e

Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно дорівнює
е ≈ 2,718281828459045...

Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, друга чудова межа:
.

Також число e можна у вигляді ряду:
.

Графік експоненти

Графік експоненти, y = e x.

На графіці представлена ​​експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.

Формули

Основні формули такі ж, як і для показової функціїз підставою ступеня е.

;
;
;

Вираз показової функції з довільною основою ступеня a через експоненту:
.

Приватні значення

Нехай y (x) = e x. Тоді
.

Властивості експоненти

Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1 .

Область визначення, безліч значень

Експонента y (x) = e xвизначена всім x .
Її область визначення:
- ∞ < x + ∞ .
Її безліч значень:
0 < y < + ∞ .

Екстремуми, зростання, спадання

Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.

Зворотна функція

Зворотним для експонентів є натуральний логарифм.
;
.

Похідна експоненти

Похідна еу ступені хдорівнює еу ступені х :
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Інтеграл

Комплексні числа

Дії з комплексними числами здійснюються за допомогою формули Ейлера:
,
де є уявна одиниця:
.

Вирази через гіперболічні функції

; ;
.

Вирази через тригонометричні функції

; ;
;
.

Розкладання в статечний ряд

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Ступінною називається функція виду y = x n (читається як y дорівнює х у ступені n), де n - деяке задане число. Приватними випадками статечних функційє функції виду y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x та багато інших. Розповімо докладніше про кожну з них.

Лінійна функція y=x1 (y=x)

Графік пряма лінія, що проходить через точку (0; 0) з точки 45 градусів до позитивного напрямку осі Ох.

Графік наведено нижче.

Основні властивості лінійної функції:

• Функція зростаюча і визначена на всій числовій осі.
• Не має максимального та мінімального значень.

Квадратична функція y=x2

Графіком квадратичної функції парабола.

Основні властивості квадратичної функції:

• 1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0
• 2. Мінімальне значення квадратична функція досягає у своїй вершині. Ymin при x=0; Слід також зазначити, що максимального значення функція не існує.
• 3. Функція зменшується на проміжку (-∞;0] і зростає на проміжку )