Складання та віднімання дробів завдання. Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Знаходження числа за його дробом

Цілі уроку:

1. Сприяти розвитку навичок порівняння дробів,
2. Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками,
3. Закріпити знання знаходження найменшого загального кратного чисел.

Сьогодні на уроці ми продовжуємо роботу на тему “Складання та віднімання дробів з різними знаменниками”.

Це у нас уже другий урок теми, перед вами стоятиме ціль:

Якщо на першому уроці ми з вами займалися дробами, у яких знаменники взаємно прості або кратні один одному числа, то сьогодні наше завдання ускладнюється, для деяких випадків доведеться знаходити спільний знаменник розкладання знаменників на прості множники за правилом знаходження НОК.

Наприкінці уроку ви повинні добре знати правило:

як складають дроби з різними знаменниками і вміти застосовувати це правило під час вирішення завдань.

Через 3 уроки відбудеться контрольна робота, в якій будуть завдання, що перевіряють, як ви засвоїли тему. На контрольній роботібудуть 2 завдання на нашу тему: третє завдання – виконання додавання та віднімання дробів з різними знаменниками та четверте завдання: розв'язання задачі на застосування правила. Тож сьогодні ми з вами відпрацьовуємо завдання на стандарт.

1. а) Попрацюємо усно.

42	48	6
36	54	12
30	24	18

Уважно подивіться на цей прямокутник і намагайтеся запам'ятати розташування чисел, може, помітите якусь закономірність.

А тепер постарайтеся відновити ці числа у чернетці.

Хто які цифри запам'ятав?

Як можна було добре запам'ятати розташування цих чисел?

(Числа, кратні 6, розташовані в порядку зростання за годинниковою стрілкою, починаючи з верхнього правого прямокутника)

Повторимо порівняння дробів з різними знаменниками та з рівними чисельниками.

Порівняйте такі дроби: ; .

Розташуйте їх у порядку зростання.

б) Уважно подивіться на наступний ряд чисел:

16, 10, 8, , 2007, 1961.

Скільки всього чисел написано?

Скільки парних чисел? Назвіть їх.

Назвіть третю цифру.

Друге число – з кінця.

Тризначне число.

Число, кратне 5.

Кратне 10

Кратне 3.

Кратне 9.Чим відоме число 1961?

Яке число відрізняється від інших, тобто не вписується до ряду чисел?

Цей дріб правильний чи неправильний?

Скоротима чи нескоротна?

Скоротіть цей дріб.

2. Перевірка домашньої роботи.

Як порівнюють два дроби з різними знаменниками?

Як складають дроби із різними знаменниками?

Як виконують віднімання дробів із різними знаменниками?

Чи є питання щодо домашній роботі? Перевірка по рядах учителем.

3. Робота з правиломза підручником після неточних відповідей учнів.

У математиці не можна пропускати жодного слова у деяких правилах. Загальний знаменник і найменший спільний знаменник який завжди збігаються.

Послухайте притчу про одного мера.

Коли ще не було електрики, мер одного міста любив увечері гуляти міськими вулицями. Якось він зіткнувся з одним городянином, у нього на лобі вискочила шишка. наступного дня він видав указ: "У темний час доби надвір виходити з ліхтарем". А ввечері на нього налетів той самий городянин. Мер зажадав у нього ліхтаря.

Ось, – сказав перехожий.

А де свічка? - Запитав мер.

А в указі не написано, що у ліхтарі має бути свічка, – відповів той.

Мер видав другий указ: "У темний час доби надвір виходити з ліхтарем зі свічкою".

Третього дня історія повторилася.

Мер уже вийшов із себе.

Думаєте, що відповів мерові перехожий?

У наказі не написано, що свічка ліхтаря має бути запалена.

Меру довелося видати указ втретє, тільки після цього перехожий дав йому спокій.

Наше завдання – добре знати правило та вміти його застосовувати. Ще раз повторюю, ми працюємо над стандартом.

4. Виконання вправ.

Розв'яжіть на прикладі на дошці за бажанням.

Ви вирішили приклади, де знаменники взаємно прості числа і коли більший знаменник короткий.

На цьому уроці вирішуватимемо складніші завдання на додавання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Запишіть завдання:

Якщо учень вирішить так, як ми з вами вирішили, то він добре знає, як знаходять НОК двох чисел і вміє виділяти з неправильного дробу цілу частину, знає, що знаменники не взаємно прості числа.

Якщо ж учень знайде спільний знаменник, помноживши знаменники, він показує незнання знаходження НОК, тобто правила: як складають дроби з різними знаменниками. Тому, насамперед, якщо знаменники не взаємно прості числа і кратні одне одному, треба знайти НОК знаменників.

На дошці записані №№, які мають вирішити у класі: 309 д – і, 328, 340 (повторення)

д) ; виконують на дошці,

е) ; повторили скорочення дробу, на контрольній роботі це завдання є, воно перевіряє засвоєння стандарту.

ж) (самостійно)

з) ; знаходимо НОК(21,15) = 3 * 7 * 5 = 105.

6. Завдання № 327 вирішіть самостійно.

7. Повторення раніше вивченого матеріалу. №340.

Скоротити дроби:

Скорочення дробів на контрольній роботі також є, це завдання на стандарт.

8. Підсумок уроку.

а) Як складають та віднімають дроби з різними знаменниками?
б) Виставлення позначок.
в) Завдання додому: п.11,

Зміст уроку

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

1. Додавання дробів з однаковими знаменниками;
2. Складання дробів із різними знаменниками.

Спочатку вивчимо складання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни.

Наприклад, складемо дроби і . Складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

приклад 2.Скласти дроби та .

У відповіді вийшов неправильний дріб. Якщо настає кінець завдання, то неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбутися неправильного дробу, потрібно виділити у ньому цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко – два розділити на два буде один:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

Приклад 3. Скласти дроби та .

Знову ж таки складаємо чисельники, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

Приклад 4.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите у додаванні дробів з однаковими знаменниками немає нічого складного. Досить розуміти такі правила:

1. Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити без зміни;

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося складати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів мають бути однаковими. Але однаковими вони не завжди.

Наприклад, дроби і скласти можна, оскільки вони мають однакові знаменники.

А ось дроби і одразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби слід приводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо лише один із них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другим дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу і отримують другий додатковий множник.

Потім чисельники та знаменники дробів множаться на додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо.

Приклад 1. Складемо дроби та

Насамперед знаходимо найменше загальне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 2. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 та 3) = 6

Тепер повертаємось до дробів та . Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу та отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу та отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж таки робимо невелику косу лінію над другим дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готове до складання. Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники:

Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми дійшли того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад до кінця:

Отже, приклад завершується. Додати виходить.

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца і ще одна шоста піца:

Приведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити малюнком. Привівши дроби до загального знаменника, ми отримали дроби і . Ці два дроби зображатимуться тими ж шматками піци. Відмінність буде лише в тому, що цього разу вони будуть поділені на однакові частки (наведені до однакового знаменника).

Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки із шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки із шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків із шести). Цей дріб неправильний, тому ми виділили в ньому цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу та ще одну шосту піци).

Зазначимо, що ми з вами розписали цей приклад дуже докладно. В навчальних закладахне прийнято писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників та додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на чисельники та знаменники. Перебуваючи у школі, цей приклад нам довелося б записати так:

Але є й зворотний бік медалі. Якщо перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають виникати питання роду «А звідки от та цифра?», «Чому дроби раптом перетворюються зовсім на інші дроби? «.

Щоб легше було складати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

1. Знайти НОК знаменників дробів;
2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу;
3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники;
4. Скласти дроби, які мають однакові знаменники;
5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити її цілу частину;

приклад 2.Знайти значення виразу .

Скористаємося інструкцією, яка наведена вище.

Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів

Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 та 4

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу та отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другим дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 12, а знаменник третього дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третім дробом:

Крок 3. Помножити чисельники та знаменники дробів на свої додаткові множники

Помножуємо чисельники та знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби, у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися на дроби, які мають однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. Складаємо:

Додавання не помістилося на одному рядку, тому ми перенесли вираз, що залишився, на наступний рядок. Це допускається у математиці. Коли вираз не міститься на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка та на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження виразу, який був на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то виділити в ньому цілу частину

У нас у відповіді вийшов неправильний дріб. Ми маємо виділити в неї цілу частину. Виділяємо:

Отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками
2. Віднімання дробів із різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти з одного дробу інший, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб вирішити цей приклад, треба від числа чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

приклад 2.Знайти значення виразу.

Знову ж таки з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка поділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

Приклад 3.Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується так само, як і попередні. З чисельника першого дробу треба відняти чисельники інших дробів:

Як бачите у відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Досить розуміти такі правила:

1. Щоб відняти з одного дробу інший, потрібно з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
2. Якщо у відповіді вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити в ньому цілу частину.

Віднімання дробів із різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дроб , оскільки ці дроби мають однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дроб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дроби слід приводити до однакового (загального) знаменника.

Загальний знаменник знаходять за тим самим принципом, яким ми користувалися при складанні дробів із різними знаменниками. Насамперед знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу та отримують перший додатковий множник, який записується над першим дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу та отримують другий додатковий множник, який записується над другим дробом.

Потім дроби множаться на додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються до дробів, у яких однакові знаменники. А як вирахувати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1.Знайти значення виразу:

Ці дроби мають різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу — число 4. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 та 4) = 12

Тепер повертаємось до дробів та

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. І тому розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першим дробом:

Аналогічно чинимо і з другим дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другим дробом:

Тепер у нас все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми дійшли того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові знаменники. А як вирахувати такі дроби ми вже знаємо. Давайте дорішаємо цей приклад до кінця:

Отримали відповідь

Спробуємо зобразити рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це докладна версія рішення. Перебуваючи у школі, нам довелося б вирішити цей приклад коротше. Виглядало б таке рішення в такий спосіб:

Приведення дробів і до спільного знаменника також може бути зображено малюнком. Привівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дроби та . Ці дроби зображатимуться тими ж шматочками піци, але цього разу вони будуть розділені на однакові частки (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків із дванадцяти), а другий малюнок — дріб (три шматочки із дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочки ми отримуємо п'ять шматочків із дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

приклад 2.Знайти значення виразу

Ці дроби мають різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше загальне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. І тому розділимо НОК на знаменник кожної дроби.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другим дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третього дробу. Розділимо НОК на знаменник третього дробу. НОК це число 30, а знаменник третього дробу - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третім дробом:

Тепер все готове для віднімання. Залишилося помножити дроби на додаткові множники:

Ми дійшли того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися на дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як вирахувати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішуємо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:

У відповіді вийшов правильний дріб, і ніби нас все влаштовує, але він занадто громіздкий і некрасивий. Треба зробити її простіше. Що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.

Щоб скоротити дріб, потрібно розділити його чисельник і знаменник на (НД) чисел 20 і 30.

Отже, знаходимо НОД чисел 20 та 30:

Тепер повертаємось до нашого прикладу і ділимо чисельник та знаменник дробу на знайдений НОД, тобто на 10

Отримали відповідь

Розмноження дробу на число

Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник цього дробу помножити на це число, а знаменник залишити без змін.

Приклад 1. Помножити дріб на число 1 .

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

З законів множення знаємо, що й множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір як і раніше буде рівним. Знову ж таки спрацьовує правило перемноження цілого числа і дробу:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є одна ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Вираз можна розуміти як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

Якщо ж поміняти множимое і множник місцями, отримаємо вираз . Воно теж дорівнюватиме 2. Цей вираз можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Число, яке множиться на дріб, і знаменник дробу дозволяється , якщо вони мають спільний дільник, більший за одиницю.

Наприклад, вираз можна обчислити двома способами.

Перший спосіб. Помножити число 4 на чисельник дробу, а знаменник дробу залишити без змін:

Другий спосіб. Чотирку, що множиться, і четвірку, що знаходиться в знаменнику дробу, можна скоротити. Скоротити ці четвірки можна на 4, оскільки найбільший спільний дільник для двох четвірок є сама четвірка:

Вийшов той самий результат 3. Після скорочення четвірок, їх місці утворюються нові числа: дві одиниці. Але перемноження одиниці з трійкою, і далі поділ на одиницю нічого не змінює. Тому рішення можна записати коротше:

Скорочення може бути виконано навіть тоді, коли ми вирішили скористатися першим способом, але на етапі перемноження числа 4 і 3 вирішили скористатися скороченням:

А ось вираз можна обчислити тільки першим способом - помножити 7 на знаменник дробу, а знаменник залишити без змін:

Пов'язано це з тим, що число 7 і знаменник дробу не мають спільного дільника, більшого за одиницю, і відповідно не скорочуються.

Деякі учні помилково скорочують число, що множиться, і чисельник дробу. Робити це не можна. Наприклад, наступний запис не є правильним:

Скорочення дробу передбачає, що і чисельник та знаменникбуде поділено на одне й те саме число. У ситуації з виразом розподіл виконано лише в чисельнику, оскільки записати це все одно, що записати. Бачимо, що розподіл виконано лише в чисельнику, а в знаменнику ніякого поділу не відбувається.

Розмноження дробів

Щоб перемножити дроби, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильний дріб, потрібно виділити в ньому цілу частину.

приклад 1.Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити цей дріб. Дроб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення набуде наступного вигляду:

Вираз можна розуміти як взяття піци від половини піци. Допустимо, у нас є половина піци:

Як узяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піца. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци та взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, йдеться про один і той же розмір піци. Тому значення виразу дорівнює

Приклад 2. Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов неправильний дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Приклад 3.Знайти значення виразу

Помножуємо чисельник першого дробу на чисельник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшов правильний дріб, але буде добре, якщо його скоротити. Щоб скоротити цей дріб, потрібно чисельник і знаменник даного дробу розділити на найбільший спільний дільник (НД) чисел 105 і 450.

Отже, знайдемо НОД чисел 105 та 450:

Тепер ділимо чисельник та знаменник нашої відповіді на НОД, яку ми зараз знайшли, тобто на 15

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна як . Від цього п'ятірка свого значення не змінить, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо, одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою математики. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотнім доa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.

Давайте підставимо на це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотнім до 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5 дає одиницю? Виявляється, можна. Представимо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цей дріб на себе, тільки поміняємо місцями чисельник і знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернутий:

Що вийде внаслідок цього? Якщо ми продовжимо вирішувати цей приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до 5, є число , оскільки при множенні 5 виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також будь-якого іншого цілого числа.

Знайти зворотне число можна також для будь-якого іншого дробу. Для цього достатньо перевернути її.

Розподіл дробу на число

Допустимо, у нас є половина піци:

Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?

Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівні шматочки, кожен з яких складає піци. Значить кожному дістанеться піци.

У реальному навчальному процесі потрібно не так багато завдань на додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками - тут буде достатньо завдань із підручника. Більше уваги ми приділимо завданням, під час вирішення яких вся величина приймається за одиницю. Причому спочатку представляти її краще як 2/2, 3/3 тощо. величини.

163 . Дівчинка прочитала 2/5, потім ще 1/5 книги. Яку частину книги вона прочитала?

164 . Туристи пройшли 1/7, потім ще 3/7 всього маршруту. Яку частину маршруту їм лишилося пройти?

165 . Два трактористи скосили 5/9 луки, причому перший тракторист скосив 2/9 луки. Яку частину луки скошив другий тракторист?

166 . Перший тракторист зорав 2/7 поля, другий – 3/7 поля. Разом вони зорали 10 га. Визначте площу поля.

167 . Розв'яжіть задачі 150 (а–в), використовуючи віднімання дробів.

168 . Розв'яжіть задачі 154 (1–2), використовуючи віднімання дробів.

169 . 1) На гілці сиділи горобці. Коли третина горобців полетіла, їх залишилося 6. Скільки горобців було на гілці спочатку?

2) Хтось витратив 3/4 своїх грошей і в нього залишилося 200 нар.Скільки грошей він мав?

3) Першого дня туристи пройшли 2/5 наміченого маршруту, а другого дня залишилися 15 км. Яка довжина маршруту?

4) У Васі у колекції 200 марок. За останній рікчисло марок у колекції збільшилося на 1/4. Скільки марок було у колекції рік тому?

170 . До обіду токар виконав 2/8 завдання, після обіду – 3/8 завдання, після чого йому залишилося обточити 24 деталі. Скільки деталей він мав обточити?

171 . З « Арифметики » Л.М. Толстого. Чоловік і дружина брали гроші з однієї скрині, і нічого не лишилося. Чоловік взяв 7/10 всіх грошей, а дружина 690 нар.Скільки було всіх грошей?

172 . Розв'яжіть двома способами завдання з єгипетських папірусів.

1) Кількість та його четверта частина дають разом 15. Знайти
кількість.

2) Число та його половина складають 9. Знайти число.

173 . Складіть задачу, аналогічну єгипетським завданням, і розв'яжіть її двома способами.

Починаючи з наступного завдання в рішеннях зустрічаються додавання та віднімання дробів з різними знаменниками. Якщо цей матеріал у 5 класі не вивчався, то завдання, пов'язані з дробами, що залишилися, слід відкласти до 6 класу.

174 . а) Кожної години перша труба наповнює 1/2 басейну, а друга - 1/3 басейну. Яку частину басейну наповнюють обидві труби за 1 год спільної роботи?

б) Перша бригада може виконати на день 1/12 завдання, а друга - 1/8 завдання. Яку частину завдання виконають дві бригади за день спільної роботи?

в) Легкова машина за годину проїжджає 1/10 відстані між містами, а вантажна – 1/12 цієї відстані. На яку частину цієї відстані наближаються за 1 годмашини під час руху назустріч один одному?

175 . а) Два трактористи за 1 день спільної роботи зорали 2/3 поля. Перший тракторист зорав 1/2 поля. Яку частину поля зорав другий тракторист?

б) Дві машини, що їдуть назустріч один одному, наблизилися за 1 годна 1/3 відстані між двома містами. Перша машина проїхала 1/8 цієї відстані. Яку частину всієї відстані проїхала друга машина?

в) Через дві труби за кожну годину наповнюється 1/3 басейну. Через першу трубу за 1 годнаповнюється 1/10 басейну. Яка частина басейну наповнюється за 1 годчерез другу трубу?

176 . З бочки вилили спочатку 1/2 води, що знаходилася в ній, потім 1/3, 1/15 і 1/10. Яку частину води вилили?

177 Я відпив півчашки чорної кави і долив її молоком. Потім я відпив 1/3 чашки та долив її молоком. Потім я відпив 1/6 чашки і долив її молоком. Зрештою, я допив вміст чашки до кінця. Чого я випив більше: кави чи молока?

178 . Старовинні завдання. 1) Два пішоходи вийшли одночасно назустріч один одному з двох сіл. Перший може пройти відстань між двома селами за 8 год, а другий за 6 год.На яку частину відстані вони наближаються год?

2) Для будівництва купальні найняті три теслі; перший зробив у день 2/33 усієї роботи, другий 1/11, третій 7/55. Яку частину всієї роботи зробили всі вони щодня?

3) Для листування твору найняті 4 переписувача; перший міг би один переписати твір у 24 дні, другий у 36 днів, третій у 20 і четвертий у 18 днів. Яку частину твору вони перепишуть в один день, якщо працюватимуть разом?

179 . 1) Машиністка передрукувала третину рукопису, потім ще 10 сторінок. В результаті вона передрукувала половину всього рукопису. Скільки сторінок у рукописі?

2) Старовинне завдання. Перехожий, що наздогнав іншого, запитав: « Як далеко до села, яке у нас попереду? » Відповів інший перехожий: « Відстань від того села, від якого ти йдеш, дорівнює третій частині всієї відстані між селами, а якщо ще пройдеш 2 версти, тоді будеш рівно посередині між селами » . Скільки верст залишилося ще йти першому перехожому?

180 . Завдання Адама Різе (XVI ст.).Троє виграли певну суму. Перед першого довелося 1 / 4 цієї суми, частку другого 1 / 7 , a частку третього 17 флоринів. Наскільки великий весь виграш?

Розв'язання задач із задачника Віленкін, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 5 клас на тему:

§ 5. Звичайні дроби:
26. Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

1005 З помідорів масою 5/16 кг та огірків масою 9/16 кг зробили салат. Яка маса салату?
РІШЕННЯ

1006 Маса верстата дорівнює 73/100 т, а маса упаковки 23/100 т. Знайдіть масу верстата разом з упаковкою.
РІШЕННЯ

1007 Першого дня картопля посадили на 2/7 ділянки, а другого дня на 3/7 ділянки. Яку частину ділянки було засаджено картоплею за ці два дні?
РІШЕННЯ

1008 Одна бригада отримала 7/10 т цвяхів, а друга на 3/10 т менше. Скільки цвяхів одержала друга бригада?
РІШЕННЯ

1009 За два дні засіяли 10/11 поля. Першого дня засіяли 4/11 поля. Яку частину поля засіяли другого дня?
РІШЕННЯ

1010 Цистерна на 3/5 наповнена бензином, 1/5 цистерни перелили у бочку. Яка частина цистерни залишилася наповненою бензином?
РІШЕННЯ

1012 Знайдіть значення виразу
РІШЕННЯ

1013 З 11 теплиць овочівничого господарства 4 засаджені помідорами, а 2 огірками. Яка частина теплиць зайнята огірками та помідорами? Розв'яжіть задачу двома способами.
РІШЕННЯ

1014 р. Для посадки лісу виділили ділянку площею 300 га. Ялина висадили на 3/10 ділянки, а сосну на 4/10 ділянки. Скільки гектарів зайнято ялиною та сосною разом?
РІШЕННЯ

1015 року Бригада вирішила виготовити 175 виробів понад план. Першого дня вона виготовила 9/25 цієї кількості, другого дня 13/25 цієї кількості. Скільки виробів виготовила бригада за ці два дні? Скільки виробів їй лишилося виготовити?
РІШЕННЯ

1016 Картоплею засаджено 11/17 поля овочівничого господарства. Огірками засіяно на 1/17 поля більше, ніж морквою, та на 8/17 поля менше, ніж картоплею. Яка частина поля засіяна огірками та яка морквою? Яка частина поля зайнята картоплею, огірками та морквою разом?
РІШЕННЯ

1019 У наметі було 2 ц 70 кг фруктів. Яблука складали 5/9 всіх фруктів, а груші 1/9 фруктів. На скільки маса яблук більша за масу груш? Розв'яжіть задачу двома способами.
РІШЕННЯ

1020 Першого дня турист пройшов 5/14 всього шляху, а другого дня 7/14. Відомо, що за ці два дні турист пройшов 36 км. Скільки кілометрів складає весь шлях туриста?
РІШЕННЯ

1021 Перше оповідання займало 5/13 книги, а друге оповідання 2/13 книги. Відомо, що перше оповідання займало на 12 сторінок більше, ніж друге. Скільки сторінок у всій книзі?
РІШЕННЯ

1022 Скориставшись рівністю 4/25 + 12/25= 16/25 знайдіть значення виразу та розв'яжіть рівняння
РІШЕННЯ

1024 На екскурсію вирушають 260 людей. Скільки потрібно замовити автобусів, якщо у кожному автобусі має бути не більше ніж 30 пасажирів?
РІШЕННЯ

1025 Накресліть відрізок. Потім накресліть відрізок, довжина якого дорівнює
РІШЕННЯ

1026 Знайдіть координати точок A, B, C, D, E, M, К (рис. 128) та порівняйте ці координати з 1.
РІШЕННЯ

1027 Обчисліть периметр та площу трикутника ABC (рис. 129)
РІШЕННЯ

1030 Знайдіть усі значення x, при яких дріб x/15 буде правильним, а дріб 8/x неправильним.
РІШЕННЯ

1031 Назвіть 3 правильні дроби, чисельник яких більший, ніж 100. Назвіть 3 неправильні дроби, знаменник яких більший за 200.
РІШЕННЯ

1033 Довжина прямокутного паралелепіпеда 8 м, ширина 6 м і висота 12 м. Знайдіть суму площ найбільшої та найменшої граней цього паралелепіпеда.
РІШЕННЯ

1034 Для виготовлення 750 м віскозної тканини потрібно 10 кг целюлози. З 1 м3 деревини можна отримати 200 кг целюлози. Скільки метрів віскозної тканини можна отримати із 20 м3 деревини?
РІШЕННЯ

1035 Кодовий замок має шість кнопок. Щоб його відкрити, потрібно натиснути кнопки певної послідовності набрати код. Скільки є варіантів коду для цього замку?
РІШЕННЯ

1036 Розв'яжіть рівняння: а) (x - 111) · 59 = 11918; б) 975 (x - 615) = 12675; в) (30 901 - a): 605 = 51; г) 39765: (b - 893) = 1205.
РІШЕННЯ

1037 Розв'яжіть задачу: 1) З 30 висадженого насіння зійшло 23. Яка частина висадженого насіння зійшла? 2) На ставку плавали 40 лебедів. З них 30 були білими. Яку частину всіх лебедів складали білі лебеді?
РІШЕННЯ

1038 Знайдіть значення виразу: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24 078 + 30 785); 2) (43 512-43 006) · 805 - (48 987 + 297 305)
РІШЕННЯ

1039 За першу годину було розчищено від снігу 5/17 усієї дороги, а за другу годину 9/17 усієї дороги. Яку частину дороги було розчищено від снігу за ці дві години? На яку частину дороги було розчищено менше першої години, ніж другої?
РІШЕННЯ

1040 На сукні для першої ляльки було витрачено 6/25 м тканини, а на сукні для другої ляльки 9/25 тканини. Скільки тканини було витрачено на обидві сукні? На скільки більше тканини було витрачено на сукні другої ляльки, ніж на сукні першої ляльки?

Щоб висловити частину в частках цілого, частину потрібно розділити на ціле.

Завдання 1.У класі 30 учнів відсутні четверо. Яка частина учнів відсутня?

Рішення:

Відповідь:у класі відсутня учнів.

Знаходження дробу від числа

Для вирішення завдань, у яких потрібно знайти частину цілого, справедливо наступне правило:

Якщо частина цілого виражена дробом, те щоб знайти цю частину, можна поділити на знаменник дробу і результат помножити на її чисельник.

Завдання 1.Було 600 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей витратили?

Рішення:щоб знайти від 600 рублів, треба цю суму розділити на 4 частини, тим самим ми дізнаємось, скільки грошей становить одна четверта частина:

600: 4 = 150 (р.)

Відповідь:витратили 150 рублів.

Завдання 2.Було 1000 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей було витрачено?

Рішення:з умови завдання ми знаємо, що 1000 рублів складається з п'яти рівних частин. Спочатку знайдемо скільки рублів становить одна п'ята частина від 1000, а потім дізнаємось скільки рублів складають дві п'ятих:

1) 1000: 5 = 200 (р.) – одна п'ята частина.

2) 200 · 2 = 400 (р.) – дві п'яті частини.

Ці дві дії можна поєднати: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).

Відповідь:було витрачено 400 рублів.

Другий спосіб знаходження частини цілого:

Щоб знайти частину цілого, можна помножити ціле на дріб, що виражає цю частину цілого.

Завдання 3.За статутом кооперативу, для правомочності звітних зборів у ньому має бути щонайменше членів організації. У кооперативі 120 членів. За якого складу може відбутися звітне зібрання?

Рішення:

Відповідь:Звітні збори можуть відбутися за наявності 80 членів організації.

Знаходження числа за його дробом

Для вирішення завдань, у яких потрібно знайти ціле в його частині, справедливо таке правило:

Якщо частина шуканого цілого виражена дробом, те щоб знайти це ціле, можна розділити на чисельник дробу і результат помножити на його знаменник.

Завдання 1.Витратили 50 рублів, це становило від первісної суми. Знайдіть початкову суму.

Рішення:з опису завдання бачимо, що 50 рублів у 6 разів менше початкової суми, т. е. первісна сума у ​​6 разів більше, ніж 50 рублів. Щоб знайти цю суму, треба 50 помножити на 6:

50 · 6 = 300 (р.)

Відповідь:первісна сума – 300 рублів.

Завдання 2.Витратили 600 рублів, це становило від первісної суми грошей. Знайдіть початкову суму.

Рішення:будемо вважати, що число, що шукається, складається з трьох третіх часток. За умовою дві третини числа дорівнюють 600 рублів. Спочатку знайдемо одну третину від первісної суми, а потім скільки рублів становлять три треті (первинна сума):

1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)

Відповідь:первісна сума – 900 рублів.

Другий спосіб знаходження цілого з його частини:

Щоб знайти ціле за величиною частину, що виражає його, можна розділити цю величину на дріб, що виражає цю частину.

Завдання 3.Відрізок AB, рівний 42 см, становить довжину відрізка CD. Знайти довжину відрізка CD.

Рішення:

Відповідь:довжина відрізка CD 70 див.

Завдання 4.До магазину привезли кавуни. До обіду магазин продав, після обіду – привезених кавунів, і залишилося продати 80 кавунів. Скільки всього кавунів привезли до магазину?

Рішення:спочатку дізнаємося, яку частину від привезених кавунів становить число 80. Для цього приймемо за одиницю загальну кількість привезених кавунів і віднімемо з неї кількість кавунів, яку вдалося реалізувати (продати):

Отже, ми дізналися, що 80 кавунів становить від загальної кількості привезених кавунів. Тепер дізнаємось скільки кавунів від загальної кількості становить , а потім скільки кавунів складають (кількість привезених кавунів):

2) 80: 4 · 15 = 300 (кавунів)

Відповідь:Загалом у магазин привезли 300 кавунів.