Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?

Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:

1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступені, наприклад, , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ці функції розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вони там присутні.

2) До загального члена ряду входить факторіал. Що таке факторіал?





…


…

! При використанні ознаки Даламбер нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко.

Разом із ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – треба використовувати ознаку Даламбер.

Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щосьз розглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.

Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
в при ознака не дає відповіді. Потрібно використати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбер намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.

Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

Приклад:
Рішення:Ми, що у загальному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера.

Використовуємо ознаку Даламбера:


сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
в при ознака не дає відповіді. Потрібно використати іншу ознаку.

! Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність низки, то ознака Даламбера теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера не дає відповіді, то ознака Коші цілком може спрацювати. Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.

!!! Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальна ознака Коші зазвичай використовує у випадках, коли загальний член ряду ПОВНІСТТЮперебуває у ступеня, залежить від «ен». Або коли корінь «добре» витягується із загального члена низки. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.

Приклад:Дослідити ряд на збіжність

Рішення:Ми бачимо, що загальний член ряду повністю знаходиться під ступенем, що залежить від , отже, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Для того, щоб застосовувати інтегральна ознакаКоші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралапершого роду.

Сформулюю своїми словами (для простоти розуміння).

Інтегральна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Цей ряд сходиться чи розходиться разом із відповідним невласним інтегралом.

! !! Основною причиною використання інтегральної ознаки КошіІ той факт, що в загальному члені ряду є деяка функція та її похідна.

Приклад:Дослідити ряд на збіжність

Рішення:З теми Похіднави напевно запам'ятали найпростішу табличну річ: , і в нас якраз такий канонічний випадок.

Як використовувати інтегральну ознаку? Спочатку беремо значок інтеграла і переписуємо з лічильника ряду верхній і нижній межі: . Потім під інтегралом переписуємо «начинку» ряду з літерою «ікс»: .

Тепер потрібно вирахувати невласний інтеграл. При цьому можливі два випадки:

1) Якщо з'ясується, що інтеграл сходиться, то сходитиметься і наш ряд.

2) Якщо з'ясується, що інтеграл розходиться, наш ряд теж буде розходитися.

Використовуємо інтегральну ознаку:

Підінтегральна функція безперервна на

Таким чином, досліджуваний ряд розходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.

Приклад:Дослідити збіжність ряду

Рішення:насамперед, перевіряємо необхідна ознака збіжності ряду. Це не формальність, а чудовий шанс розправитися з прикладом «малою кров'ю».

Числова послідовністьвищого порядку зростання, ніж , тому , тобто необхідну ознаку збіжності виконано, і ряд може, як сходитися, і розходитися.

Таким чином, потрібно використовувати будь-яку ознаку. Але який? Гранична ознака порівнянняявно не підходить, оскільки в загальний член ряду затесався логарифм, ознаки Даламбера та Кошітакож не призводять до результату. Якби у нас був, то сяк-так можна було б вивернутись через інтегральна ознака.

«Огляд місця події» наводить на думку про ряд, що розходиться (випадок узагальненого гармонійного ряду), але знову ж таки виникає питання, як врахувати логарифм у чисельнику?

Залишається найперша ознака порівняння, заснований на нерівностях, яка часто не береться до уваги і припадає пилом на дальній полиці. Розпишемо ряд докладніше:

Нагадую, що – необмежено зростаюча числова послідовність:

І, починаючи з номера, буде виконана нерівність:

тобто, члени ряду будуть ще більшевідповідних членів розбіжного ряду.

Зрештою, ряду нічого не залишається, як теж розходитися.

Схожість чи розбіжність числового ряду залежить від його «нескінченного хвоста» (залишку). У нашому випадку ми можемо не брати до уваги той факт, що нерівність неправильна для перших двох номерів – це не впливає на зроблений висновок.

Чистове оформлення прикладу має виглядати приблизно так:

Порівняємо даний рядз розбіжним поруч.
Для всіх номерів, починаючи з , виконано нерівність , отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд розходиться.

Знакочередні ряди. Ознака Лейбниця. Приклади розв'язків.

Що таке ряд, що знак чергою?Це зрозуміло чи майже зрозуміло вже із самої назви. Відразу найпростіший приклад.

Розглянемо ряд і розпишемо його докладніше:

Знак черга забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне – знак «мінус»

У практичних прикладах знак чергування членів низки може забезпечувати як множник , а й його рідні брати: , , , …. Наприклад:

Підводним каменем є «обманки»: , , і т.п. – такі множники не забезпечують зміну знаку. Цілком зрозуміло, що з будь-якому натуральному : , , .

Як досліджувати знак черговий ряд на збіжність?Використовувати ознаку Лейбніца.

Ознака Лейбниця: Якщо в ряді, що чергується, виконуються дві умови: 1) члени ряду монотонно убувають за абсолютною величиною . 2) межа загального члена за модулем дорівнює нулю , то ряд сходить, і модуль суми цього ряду не перевищує модуля першого члена.

Коротка довідкапро модуль:

Що означає «за модулем»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, "з'їдає" знак "мінус". Повернемося до ряду . Подумки зітремо гумкою всі знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступнийчлен ряду меншеніж попередній.

Тепер трохи про монотонність.

Члени ряду суворо монотонноспадають за модулем, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду за модулемМЕНШЕ, ніж попередній: . Для ряду виконана строга монотонність зменшення, її можна розписати докладно:

А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду за модулемменше, ніж попередній: .

Члени ряду нестрого монотонноспадають за модулем, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду за модулем НЕ БІЛЬШЕ попереднього: . Розглянемо ряд із факторіалом: Тут має місце нестрога монотонність, так як перші два члени ряду однакові за модулем. Тобто кожен наступний член ряду за модулемне більше попереднього: .

У разі теореми Лейбніца має виконуватися монотонність зменшення (неважливо, строга чи нестрога). У цьому члени низки можуть навіть деякий час зростати за модулем, але «хвіст» ряду обов'язково має бути монотонно спадним.

Приклад:Дослідити ряд на збіжність

Рішення:У загальний член ряду входить множник , а значить, потрібно використовувати ознаку

1) Перевірка низки на монотонне зменшення.

1<2<3<…, т.е. n+1>n –перша умова не виконується

2) - Друга умова теж не виконана.

Висновок: ряд розходиться.

Визначення:Якщо ряд збігається за ознакою Лейбніца і ряд, складений із модулів: теж сходиться, то кажуть, що ряд сходиться абсолютно.

Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца, а ряд, складений із модулів: розходиться, то кажуть, що ряд сходиться умовно.

Якщо ряд, складений із модулів сходиться, то сходиться і цей ряд.

Тому знак черговою схожий ряд необхідно досліджувати на абсолютну або умовну збіжність.

Приклад:

Рішення:Використовуємо ознаку Лейбніца:

1) Кожен наступний член ряду за модулем менше, ніж попередній: – перша умова виконана.

2) – друга умова також виконана.

Висновок: ряд сходиться.

Перевіримо на умовну чи абсолютну збіжність.

Складемо ряд із модулів – знову просто прибираємо множник, який забезпечує знак чергування:
- Розходиться (гармонійний ряд).

Таким чином, наш ряд не є абсолютно схожим.
Досліджуваний ряд сходиться умовно.

Приклад:Дослідити ряд на умовну чи абсолютну збіжність

Рішення:Використовуємо ознаку Лейбніца:
1) Спробуємо записати кілька перших членів низки:


…?!

2)

Справа в тому, що не існує стандартних звичайних прийомів для вирішення таких меж. Куди прагне така межа? До нуля, до нескінченності? Тут важливо, ЩО на нескінченності росте швидше– чисельник чи знаменник.

Якщо чисельник при зростає швидше за факторіал, то . Якщо, на нескінченності факторіал зростає швидше за чисельника, то він, навпаки – «утягне» межу на нуль: . А може бути ця межа дорівнює якомусь відмінному від нуля числу? або . Замість можна підставити якийсь багаточлен тисячного ступеня, це знову ж таки не змінить ситуацію – рано чи пізно факторіал все одно «пережене» і такий страшний багаточлен. Факторіал вищого порядку зростання.

– Факторіал росте швидше, ніж добуток будь-якої кількостіпоказових та статечних послідовностей(Наш випадок).

– Будь-якапоказова послідовність зростає швидше, ніж будь-яка статечна послідовність, наприклад: , . Показова послідовність вищого порядку зростанняніж будь-яка статечна послідовність. Аналогічно факторіалу, показова послідовність «перетягує» добуток будь-якої кількості статечних послідовностей або багаточленів: .

– А чи є щось «сильніше» за факторіал? Є! Ступінно-показова послідовність («ен» у ступені «ен») зростає швидше за факторіал. Насправді зустрічається рідко, але інформація зайвої нічого очікувати.

Кінець довідки

Таким чином, другий пункт дослідження можна записати так:
2) , Оскільки більш високого порядку зростання, ніж .
Члени ряду спадають за модулем, починаючи з деякого номера, при цьому, кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, таким чином, спад монотонно.

Висновок: ряд сходиться

Ось тут якраз той цікавий випадок, коли члени ряду спочатку ростуть за модулем, через що у нас склалася помилкова первісна думка про межу. Але, починаючи з деякого номера "ен", факторіал обганяє чисельник, і «хвіст» низки стає монотонно спадним, що є важливою до виконання умови теореми Лейбніца. Чому саме і це «ен», дізнатися досить складно.

Досліджуємо ряд на абсолютну чи умовну збіжність:

А тут уже працює ознака Даламбер:

Використовуємо ознаку Даламбера:

Таким чином, ряд сходиться.

Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

Розібраний приклад можна вирішити іншим способом (використовуємо достатню ознаку збіжності ряду, що чергується).

Достатня ознака збіжності знак черги ряду:Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду, сходиться, то сходиться і даний ряд.

Другий спосіб:

Дослідити ряд на умовну чи абсолютну збіжність

Рішення : Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність:

Використовуємо ознаку Даламбера:

Таким чином, ряд сходиться.
Виходячи з достатньої ознаки збіжності знак чередующегося ряду, сходиться і сам ряд.

Висновок: Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.

Для обчислення суми ряду із заданою точністюбудемо використовувати наступну теорему:

Нехай ряд, що чергає, задовольняє умовам ознаки Лейбніца та нехай – його nчасткова сума. Тоді ряд сходиться і похибка при наближеному обчисленні суми Sпо абсолютній величині не перевищує модуля першого відкинутого члена:

Функціональні лави. Ступінні ряди.
Область збіжності низки.

Для успішного освоєння теми потрібно добре розумітися на звичайних числових рядах.

Ознаки збіжності рядів.
Ознака Даламбера. Ознаки Коші

Працюйте, працюйте - а розуміння прийде потім
Ж.Л. Даламбер

Усіх вітаю з початком навчального року! Сьогодні 1 вересня, і я вирішив на честь свята познайомити читачів з тим, що ви давно з нетерпінням чекали та прагнули дізнатися – ознаками збіжності числових позитивних рядів. Свято Перше вересня та мої вітання завжди актуальні, нічого страшного, якщо насправді за вікном літо, ви ж зараз утретє перездаєте іспит навчайтесь, якщо зайшли на цю сторінку!

Для тих, хто тільки починає вивчати ряди, рекомендую для початку ознайомитись зі статтею Числові ряди для чайників. Власне, цей віз є продовженням бенкету. Отже, сьогодні на уроці ми розглянемо приклади та рішення за темами:

Однією з найпоширеніших ознак порівняння, що зустрічається у практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але також дуже популярні. Як завжди, постараюся викласти матеріал просто, доступно та зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання певною мірою трафаретні.

Ознака збіжності Даламбера

Жан Лерон Даламбер - знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався баллістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно і про числові лави не забув, недаремно потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.

Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?

Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати самий ходовий гранична ознака порівняння. Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли у загальному члені низки:

1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.
4) Багаточленів та коріння, зрозуміло, може бути і більше.

Основні передумови для застосування ознаки Даламбера такі:

1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в мірі, наприклад, , , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вона там присутня.

2) До загального члена ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність та її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:





…


…

! При використанні ознаки Даламбер нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.

3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки – див. Приклад 6.

Разом із ступенями або (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – треба використовувати ознаку Даламбер.

Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щосьз розглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.

Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
в при ознака не дає відповіді. Потрібно використати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.

У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.

А зараз довгоочікувані приклади.

Приклад 1

Ми, що у загальному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижчі.

Використовуємо ознаку Даламбера:


сходиться.
(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того щоб отримати наступний член ряду потрібно ЗАМІСТЬ підставити: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу. За певного досвіду вирішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком у тому, що, за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.

У розглянутому прикладі у загальному члені низки ми зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть проблеми з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.

Приклад 2

Візьмемо схожий ряд та досліджуємо його на збіжність

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

Використовуємо ознаку Даламбера:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Складаємо відношення.

(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. А для тих, хто не знайомий з біном Ньютона, це завдання виявиться ще складнішим. Проаналізуємо старші ступені: якщо ми зверху розкриємо дужки , Отримаємо старший ступінь . Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що при почленному розподілі чисельника і знаменника на нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени і – одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.

Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері № 1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки якось несолідно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб розв'язання Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3-го і більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод на зразок Прикладу 2.

Приклад 3

Дослідити ряд на збіжність

Розглянемо типові приклади з факторіалами:

Приклад 4

Дослідити ряд на збіжність

До загального члена ряду входить і ступінь, і факторіал. Ясно, як день, що тут треба використати ознаку Даламбера. Вирішуємо.

Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду: . Щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити – див. початок уроку або статтю про числові послідовності.
(4) Зменшуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.

Приклад 5

Дослідити ряд на збіжність

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

Приклад 6

Дослідити ряд на збіжність

Іноді зустрічаються ряди, які у своїй начинці містять ланцюг множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як дослідити ряд із «ланцюжком» множників? Використовувати ознаку Даламбера. Але спочатку для розуміння того, що відбувається, розпишемо ряд докладно:

З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник у знаменнику, тому якщо загальний член ряду , то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматично припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що

Зразковий рішення може виглядати так:

Використовуємо ознаку Даламбера:

Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Огюстен Луї Коші – ще знаменитіший французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище висічено на першому поверсі Ейфелевої вежі.

Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.

Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
в при ознака не дає відповіді. Потрібно використати іншу ознаку. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність низки, то ознака Даламбер теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера не дає відповіді, то ознака Коші цілком може спрацювати. Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.

Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальний ознака Коші зазвичай використовує у випадках, коли корінь «добре» витягується із загального члена ряду. Як правило, цей перець перебуває в ступені, яка залежить від. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.

Приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Ми бачимо, що дріб повністю знаходиться під ступенем, що залежить від «ен», а отже, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.

(1) Оформляємо загальний член низки під корінь.

(2) Переписуємо те саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довго: звести в куб, звести в куб, потім розділити чисельник і знаменник на «ен» у кубі. Але в даному випадку є ефективніше рішення: цей прийом можна використовувати прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на (старший ступінь багаточленів).

(5) Виконуємо почленное поділ, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(6) Доводимо відповідь до пуття, помічаємо, що й робимо висновок про те, що ряд розходиться.

А ось простіший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

І ще кілька типових прикладів.

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку

Приклад 9

Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:


Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.

(1) Поміщаємо загальний член ряду під корінь.

(2) Переписуємо те саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що .
(4) Отримано невизначеність виду, і тут теж можна виконувати розподіл прямо під ступенем. Але з однією умовою:коефіцієнти при старших ступенях багаточленів мають бути різними. У нас вони різні (5 та 6), і тому можна (і потрібно) розділити обидва поверхи на . Якщо ж ці коефіцієнти однаковінаприклад (1 і 1): , то такий фокус не проходить і потрібно використовувати друга чудова межа. Якщо пам'ятаєте, ці тонкощі розглядалися в останньому пункті статті Методи розв'язання меж.

(5) Власне виконуємо почленное поділ і вказуємо, які доданки в нас прагнуть нуля.
(6) Невизначеність усунена, у нас залишилася найпростіша межа: . Чому в нескінченно великийступеня прагне нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви у справедливості межі , то я не полінюсь, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:

Прямо таки нескінченно спадна геометрична прогресіяна пальцях =)
! Ніколи не використовуйте цей прийом як доказ! Бо якщо щось очевидне, це ще не означає, що це правильно.

(7) Вказуємо, як і робимо висновок у тому, що ряд сходиться.

Приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення.

Іноді на вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад: . Тут у показнику ступеня ні «ен», лише константа. Тут необхідно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть багаточлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати має або необхідну ознаку збіжності низки або граничну ознаку порівняння.

Інтегральна ознака Коші

Або просто інтегральна ознака. Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральну ознаку Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралапершого роду.

У підручниках з математичного аналізу інтегральна ознака Кошідано математично суворо, але надто вже поморочено, тому я сформулюю ознаку не надто суворо, але зрозуміло:

Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує невласний інтеграл, то ряд сходиться чи розходиться разом із цим інтегралом.

І одразу приклади для пояснення:

Приклад 11

Дослідити ряд на збіжність

Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.

Основною причиною використання інтегральної ознаки Кошіє те що, що у загальному члені низки містяться множники, схожі деяку функцію та її похідну. З теми

У цій статті зібрана та структурована інформація, необхідна для вирішення практично будь-якого прикладу на тему числові ряди, від знаходження суми ряду до дослідження його на збіжність.

Огляд статті.

Почнемо з визначень знакопозитивного, знакозмінного ряду та поняття збіжності. Далі розглянемо стандартні ряди, такі як гармонійний ряд, узагальнено гармонічний ряд, згадаємо формулу для знаходження суми нескінченно спадаючою геометричної прогресії. Після цього перейдемо до властивостей рядів, що сходяться, зупинимося на необхідній умові збіжності ряду і озвучимо достатні ознаки збіжності ряду. Теорію розводитимемо рішенням характерних прикладів з докладними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Основні визначення та поняття.

Нехай ми маємо числову послідовність, де .

Наведемо приклад числової послідовності: .

Числовий ряд– це сума членів числової послідовності виду .

Як приклад числового ряду можна навести суму нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником q = -0.5: .

Називають загальним членом числового рядуабо k-им членом ряду.

Для попереднього прикладу загальний член числового ряду має вигляд.

Часткова сума числового ряду- Це сума виду, де n - деяке натуральне число. називають також n-ою частковою сумою числового ряду.

Наприклад, четверта часткова сума ряду є .

Часткові суми утворюють нескінченну послідовність часткових сум числового ряду.

Для нашого ряду n-а часткова сума знаходиться за формулою суми перших n членів геометричної прогресії , тобто матимемо наступну послідовність часткових сум: .

Числовий ряд називається схожимякщо існує кінцева межа послідовності часткових сум. Якщо межа послідовності часткових сум числового ряду не існує або нескінченна, то ряд називається розбіжним.

Сумою схожого числового рядуназивається межа послідовності його часткових сум, тобто, .

У нашому прикладі , отже, ряд сходиться, причому його сума дорівнює шістнадцяти третім: .

Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: . n-а часткова сума визначається виразом , А межа часткових сум нескінченна: .

Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду . У цьому випадку n-а часткова сума може бути обчислена як . Межа часткових сум нескінченна .

Сума виду називається гармонійним числовим рядом.

Сума виду , де s - деяке дійсне число, називається узагальнено гармонійним числовим рядом.

Наведених визначень достатньо для обґрунтування таких тверджень, що дуже часто використовуються, рекомендуємо їх запам'ятати.

Гармонічний ряд є розбіжним.

Доведемо розбіжність гармонійного ряду.

Припустимо, що ряд сходиться. Тоді існує кінцева межа його часткових сум. У цьому випадку можна записати і що призводить до рівності .

З іншого боку,


Не викликають сумніви такі нерівності. Таким чином, . Отримана нерівність вказує нам на те, що рівність може бути досягнуто, що суперечить нашому припущенню про збіжності гармонійного ряду.

Висновок: гармонійний ряд розходиться.

СУМА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ ВИДУ ІЗ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ q Є СХОДЯЧИМ ЧИСЛОВИМ РЯДОМ, ЯКЩО , І РОЗІГЛЯЮЧИМСЯ РЯДОМ ПРИ .

Доведемо це.

Ми знаємо, що сума перших n членів геометричної прогресії перебуває за формулою .

При справедливо


що свідчить про збіжність числового ряду.

При q = 1 маємо числовий ряд . Його часткові суми перебувають як , а межа часткових сум нескінченна , що свідчить про розбіжність низки у разі.

Якщо q = -1 , то числовий ряд набуде вигляду . Часткові суми приймають значення для непарних n, і для парних n. З цього можна дійти невтішного висновку, що межа часткових сум немає і ряд розходиться.

При справедливо


що свідчить про розбіжність числового ряду.

УЗАГАЛЬНО ГАРМОНІЧНИЙ РЯД СХОДИТЬСЯ ПРИ s > 1 І ВИДІЛЯЄТЬСЯ ПРИ .

Доказ.

Для s = 1 отримаємо гармонійний ряд , а ми встановили його розбіжність.

При s справедлива нерівність для всіх натуральних k . У силу розбіжності гармонійного ряду можна стверджувати, що послідовність його часткових сум необмежена (оскільки немає кінцевої межі). Тоді послідовність часткових сум числового ряду тим більше необмежена (кожен член цього ряду більший за відповідний член гармонійного ряду), отже, узагальнено гармонійний ряд розходиться при s .

Залишилося довести збіжність ряду при s>1.

Запишемо різницю:



Очевидно, що тоді


Розпишемо отриману нерівність для n = 2, 4, 8, 16, …



Використовуючи ці результати, з вихідним числом можна провести такі дії:



Вираз є сумою геометричної прогресії, знаменник якої дорівнює . Оскільки ми розглядаємо випадок при s > 1, то. Тому
. Таким чином, послідовність часткових сум узагальнено гармонійного ряду при s > 1 є зростаючою і в той же час обмеженою зверху значенням, отже вона має межу, що вказує на збіжність ряду . Доказ завершено.

Числовий ряд називається знакопозитивнимякщо всі його члени позитивні, тобто, .

Числовий ряд називається знакочереднимякщо знаки його сусідніх членів різні. Знакочередний числовий ряд можна записати у вигляді або , де .

Числовий ряд називається знакозмінним, якщо він містить безліч як позитивних, так і негативних членів.

Знакочередующийся числовий ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

Ряди

є знакопозитивним, знакочередним і знакозмінним відповідно.

Для знакозмінного ряду існує поняття абсолютної та умовної збіжності.

абсолютно схожим, якщо сходиться ряд з абсолютних величин його членів, тобто, сходиться позитивний числовий ряд .

Наприклад, числові ряди і абсолютно сходяться, тому що сходиться ряд , що є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії.

Знакозмінний ряд називається умовно схожимякщо ряд розходиться, а ряд сходить.

Як приклад умовно схожого числового ряду можна навести ряд . Числовий ряд , Складений з абсолютних величин членів вихідного ряду, що розходиться, так як є гармонічним. У той же час вихідний ряд є схожим, що легко встановлюється за допомогою . Таким чином, числовий знак чередующийся ряд умовно схожий.

Властивості схожих числових рядів.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду.

Рішення.

Запишемо ряд в іншому вигляді . Числовий ряд збігається, так як узагальнено гармонійний ряд є схожим при s > 1, а в силу другого властивості лікових рядів, що сходяться, буде збігатися і ряд з числовим коефіцієнтом .

приклад.

Чи сходиться чисельний ряд.

Рішення.

Перетворимо вихідний ряд: . Таким чином, ми отримали суму двох числових рядів і , причому кожен із них сходиться (дивіться попередній приклад). Отже, через третю властивість схожих числових рядів, сходиться і вихідний ряд.

приклад.

Доведіть збіжність числового ряду та обчисліть його суму.

Рішення.

Даний числовий ряд можна у вигляді різниці двох рядів:

Кожен із цих рядів є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, отже, є схожим. Третя властивість рядів, що сходяться, дозволяє стверджувати, що вихідний числовий ряд збігається. Обчислимо його суму.

Перший член ряду є одиниця, а знаменник відповідної геометричної прогресії дорівнює 0.5, отже .

Першим членом ряду є 3 , а знаменник відповідної нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 1/3 , тому .

Скористаємося отриманими результатами для знаходження суми вихідного числового ряду:

Необхідна умова збіжності низки.

Якщо числовий ряд сходиться, то межа його k-ого члена дорівнює нулю: .

При дослідженні будь-якого числового ряду на збіжність насамперед слід перевіряти виконання необхідної умови збіжності. Невиконання цієї умови свідчить про розбіжність числового низки, тобто, якщо , то ряд розходиться.

З іншого боку, треба розуміти, що ця умова не є достатньою. Тобто виконання рівності не говорить про збіжність числового ряду. Наприклад, для гармонійного низки необхідна умова збіжності виконується , а ряд розходиться.

приклад.

Дослідити числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності числового ряду:

Межа n-ого члена числового ряду не дорівнює нулю, отже, ряд розходиться.

Достатні ознаки збіжності позитивного ряду.

При використанні достатніх ознак для дослідження числових рядів на збіжність постійно доводиться стикатися з , так що рекомендуємо звертатися до цього розділу при труднощі.

Необхідна та достатня умова збіжності знакопозитивного числового ряду.

Для збіжності знакопозитивного числового ряду необхідно і достатньо, щоб послідовність його часткових сум була обмежена.

Почнемо з ознак порівняння рядів. Їх суть полягає в порівнянні досліджуваного числового ряду з поруч, збіжність чи розбіжність якого відома.

Перший, другий та третій ознаки порівняння.

Перша ознака порівняння рядів.

Нехай і - два знакопозитивних числових ряду і виконується нерівність для всіх k = 1, 2, 3, ... Тоді зі збіжності ряду випливає збіжність , та якщо з розбіжності ряду слід розбіжність .

Перший ознака порівняння використовується дуже часто і є дуже потужним інструментом дослідження числових рядів на збіжність. Основну проблему представляє підбір відповідного ряду для порівняння. Ряд порівняння зазвичай (але завжди) вибирається отже показник ступеня його k-ого члена дорівнює різниці показників ступеня чисельника і знаменника k-ого члена досліджуваного числового ряду. Наприклад, нехай , різницю показників ступеня чисельника і знаменника дорівнює 2 – 3 = -1 , тому, порівняння вибираємо ряд із k-ым членом , тобто, гармонійний ряд. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Встановити збіжність чи розбіжність ряду.

Рішення.

Оскільки межа загального члена низки дорівнює нулю , то необхідну умову збіжності ряду виконано.

Неважко помітити, що справедлива нерівність для всіх натуральних . Ми знаємо, що гармонійний ряд розходиться, отже, за першою ознакою порівняння, вихідний ряд також є розбіжним.

приклад.

Досліджуйте числовий ряд на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності числового ряду виконується, оскільки . Очевидне виконання нерівності для будь-якого натурального значення k. Ряд сходиться, оскільки узагальнено гармонійний ряд є схожим на s > 1 . Таким чином, перша ознака порівняння рядів дозволяє констатувати збіжність вихідного числового ряду.

приклад.

Визначте збіжність чи розбіжність числового ряду.

Рішення.

, Отже, необхідну умову збіжності числового ряду виконано. Який ряд вибрати для порівняння? Напрошується числовий ряд, а щоб визначитися з s, уважно досліджуємо числову послідовність. Члени числової послідовності зростають до безкінечності. Таким чином, починаючи з деякого номера N (а саме, з N = 1619), члени цієї послідовності будуть більшими за 2 . Починаючи з цього номера N, справедлива нерівність. Числовий ряд збігається в силу першої якості рядів, що сходяться, так як виходить з ряду, що сходить, відкиданням перших N - 1 члена. Таким чином, за першою ознакою порівняння схожим є ряд , а через першу властивість схожих числових рядів сходиться і ряд .

Друга ознака порівняння.

Нехай і – знакопозитивні числові ряди. Якщо, то зі збіжності ряду випливає збіжність. Якщо, то з розбіжності числового ряду випливає розбіжність.

Наслідок.

Якщо і , то зі збіжності одного ряду випливає збіжність іншого, та якщо з розбіжності випливає розбіжність.

Досліджуємо ряд на збіжність за допомогою другої ознаки порівняння. Як ряд візьмемо ряд . Знайдемо межу відношення k-их членів числових рядів:

Таким чином, за другою ознакою порівняння зі збіжності числового ряду слід збіжність вихідного ряду.

приклад.

Дослідити на збіжність числовий ряд.

Рішення.

Перевіримо необхідну умову збіжності ряду . Умова виконана. Для застосування другої ознаки порівняння візьмемо гармонійний ряд. Знайдемо межу відношення k-их членів:

Отже, з розбіжності гармонійного ряду випливає розбіжність вихідного ряду за другою ознакою порівняння.

Для інформації наведемо третю ознаку порівняння рядів.

Третя ознака порівняння.

Нехай і – знакопозитивні числові ряди. Якщо з деякого номера N виконується умова, то зі збіжності ряду випливає збіжність, та якщо з розбіжності ряду слід розбіжність.

Ознака Даламбера.

Зауваження.

Ознака Даламбера справедлива, якщо межа нескінченна, тобто якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо , то ознака Даламбера дає інформацію про збіжності чи розбіжності низки і потрібно додаткове дослідження.

приклад.

Досліджуйте числовий ряд на збіжність за ознакою Даламбер.

Рішення.

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності числового ряду, межу обчислимо за :

Умова виконана.

Скористаємося ознакою Даламбера:

Таким чином, ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші.

Нехай - значний числовий ряд. Якщо , то числовий ряд сходить, якщо , то ряд розходиться.

Зауваження.

Радикальна ознака Коші справедлива, якщо межа нескінченна, тобто якщо , то ряд сходиться, якщо , то ряд розходиться.

Якщо , то радикальна ознака Коші не дає інформацію про збіжність або розбіжність ряду і потрібне додаткове дослідження.

Зазвичай досить легко розглянути випадки, коли краще використовувати радикальний ознака Коші. Характерним є випадок, коли загальний член числового ряду є показово статечним виразом. Розглянемо кілька прикладів.

приклад.

Дослідити позитивний числовий ряд на збіжність за допомогою радикальної ознаки Коші.

Рішення.

. За радикальною ознакою Коші отримуємо .

Отже, низка сходиться.

приклад.

Чи сходиться чисельний ряд .

Рішення.

Скористаємося радикальною ознакою Коші , Отже, числовий ряд сходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Нехай - значний числовий ряд. Складемо функцію безперервного аргументу y = f (x), аналогічну функції. Нехай функція y = f(x) позитивна, безперервна і спадна на інтервалі , де ). Тоді у разі збіжності невласного інтеграласходиться досліджуваний числовий ряд. Якщо ж невласний інтеграл розходиться, то вихідний ряд також розходиться.

При перевірці зменшення функції y = f(x) на інтервалі може знадобитися теорія з розділу .

приклад.

Досліджуйте числовий ряд із позитивними членами на збіжність.

Рішення.

Необхідна умова збіжності ряду виконано, оскільки . Розглянемо функцію. Вона позитивна, безперервна і спадна на інтервалі. Безперервність і позитивність цієї функції не викликає сумніву, а на спаданні зупинимося трохи докладніше. Знайдемо похідну:
. Вона негативна на проміжку, отже, функція зменшується на цьому інтервалі.

Перед початком роботи з цією темою раджу подивитися розділ із термінологією для числових рядів. Особливо варто звернути увагу на поняття загального члена низки. Якщо у вас є сумніви щодо правильності вибору ознаки збіжності, раджу глянути тему "Вибір ознаки збіжності числових рядів".

Ознака Д"Аламбера (або ознака Даламбера) використовується для дослідження збіжності рядів, загальний член яких строго більше за нуль, тобто $u_n > 0$. Такі ряди називають суворо позитивними. У стандартних прикладах ознака Д"Аламбер використовують у граничній формі.

Ознака Д"Аламбера (у граничній формі)

Якщо ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ суворо позитивний і $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L, $ $ то при $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (і за $L=\infty$) ряд розходиться.

Формулювання досить просте, але залишається відкритим наступне питання: що буде, якщо $ L = 1 $? Відповіді на це питанняознака Д"Аламбера дати неспроможна. Якщо $L=1$, то ряд може як сходитися, і розходитися.

Найчастіше в стандартних прикладах ознака "Аламбера" застосовується, якщо у вираженні загального члена ряду присутні багаточлен від $n$ (багаточлен може бути і під коренем) і ступінь виду $a^n$ або $n!$. Наприклад, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (див. приклад №1) або $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} візитна картка"Ознаки Д"Аламбера.

Що означає вираз "n!"? показати/сховати

Запис "n!" (читається "ен факторіал") позначає твір усіх натуральних чиселвід 1 до n, тобто.

$$n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

За визначенням вважається, що $0!=1!=1$. Наприклад знайдемо 5!:

$ $ 5! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 120. $$

Крім того, нерідко ознака Д"Аламбера використовують для з'ясування збіжності ряду, загальний член якого містить добуток такої структури: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1))(2\ cdot 5cdot 8cdotldotscdot(3n-1))$.

Приклад №1

Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ на збіжність.

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Оскільки за $n≥ 1$ маємо $3n+7 > 0$, $5^n>0$ і $2n^3-1 > 0$, то $u_n > 0$. Отже, наш ряд є дуже позитивним.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right) )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left) (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ left(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 ) = 5. $$

Оскільки $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, то відповідно до заданого ряду розходиться.

Чесно кажучи, ознака Д"Аламбера - не єдиний варіант у даній ситуації. Можна використовувати, наприклад, радикальний ознака Коші. Однак застосування радикальної ознаки Коші вимагатиме знання (або доказу) додаткових формул. Тому використання ознаки Д"Аламбера в даній ситуації зручніше.

Відповідь: ряд розходиться.

Приклад №2

Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Загальний член низки містить многочлен під корінням, тобто. $\sqrt(4n+5)$, і факторіал $(3n-2)!$. Наявність факторіалу у стандартному прикладі – майже стовідсоткова гарантія застосування ознаки Д”Аламбера.

Щоб застосувати цю ознаку, нам доведеться знайти межу відношення $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Щоб записати $u_(n+1)$, потрібно у формулу $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Оскільки $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, то формулу для $u_(n+1)$ можна записати по- іншому:

$$u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Цей запис зручний для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею. Якщо рівність з факторіалами вимагає пояснень, прошу розкрити примітку нижче.

Як ми отримали рівність $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? показати/сховати

Запис $(3n+1)!$ означає добуток усіх натуральних чисел від 1 до $3n+1$. Тобто. цей виразможна записати так:

$$ (3n+1)!=1cdot 2cdotldotscdot(3n+1). $$

Безпосередньо перед числом $3n+1$ стоїть число, на одиницю менше, тобто. число $3n+1-1=3n$. А безпосередньо перед числом $3n$ коштує $3n-1$. Ну а безпосередньо перед числом $3n-1$ маємо число $3n-1-1=3n-2$. Перепишемо формулу для $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Що являє собою твір $1cdot2cdotldotscdot(3n-2)$? Цей твір дорівнює $(3n-2)!$. Отже, вираз для $(3n+1)!$ можна переписати у такій формі:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Цей запис зручний для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею.

Обчислимо значення $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Оскільки $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно