Розмноження багаточлена на одночленне пояснення. Множення багаточлена на одночлен - Гіпермаркет знань. ІІ. Етап підготовки учнів до активного та усвідомленого засвоєння нового матеріалу

У відеоуроці, що представляється, ми докладно розглянемо питання множення многочлена на яке-небудь вираз, що відповідає визначенню «моном», або одночлен. Мономом може бути будь-яке вільне числове значення, представлене натуральним числом(будь-якої міри, з будь-яким знаком) або ж якась змінна (з подібними атрибутами). При цьому варто пам'ятати, що багаточлен є набір алгебраїчних елементів, званих членами полінома. Іноді деякі члени можуть бути наведені з подібністю та скорочені. Настійно рекомендується проводити процедуру приведення подібних доданків після операції множення. Кінцевою відповіддю в такому разі буде стандартизована форма полінома.

Як випливає з нашого відео, процес множення одночлена на багаточлен можна розглядати з двох позицій: лінійної алгебри та геометрії. Розглянемо операцію множення многочлена з боку - це сприяє універсальності застосування правил, особливо у разі комплексних завдань.

В розумінні алгебри, множення полінома на одночлен відповідає стандартному правилу множення на суму: кожен елемент суми повинен бути помножений на задане значення, а отримане значення алгебраїчно складено. Варто розуміти, що будь-який багаточлен – це розгорнута сума алгебри. Після множення кожного члена полінома на певне значення ми отримаємо нову суму алгебри, яку прийнято приводити до стандартного вигляду, якщо це можливо, звичайно.

Розглянемо множення многочлена у разі:

3а * (2а 2 + 3с - 3)

Легко зрозуміти, що вираз (2а 2 + 3с - 3) є многочленом, а 3а - вільним множником. Для вирішення цього виразу достатньо перемножити кожен із трьох членів полінома на 3а:

При цьому варто пам'ятати, що знак є важливим атрибутом змінної праворуч і його не можна втратити. Знак "+", як правило, не записується, якщо з нього починається вираз. При множенні чисельно-літерних виразів усі коефіцієнти при змінних елементарно перемножуються. Однакові змінні підвищують рівень. Різні змінні залишаються незмінними, і записуються щодо одного елементі: а*с = ас. Знання цих найпростіших правил додавання сприяє коректному, і швидкому вирішенню будь-яких подібних вправ.

Ми отримали три значення, які є, по суті, членами підсумкового багаточлена, що є відповіддю на приклад. Необхідно лише алгебраїчно скласти дані значення:

6а 3 + 9ас + (- 9а) = 6а 3 + 9ас - 9а

Дужки розкриваємо, зберігаючи знаки, оскільки це алгебраїчне додавання, і між мономами за визначенням стоїть знак плюс. Підсумковий стандартний вид многочлена є коректною відповіддю на приклад.

Геометричний вид множення многочлена на одночлен є процес знаходження площі прямокутника. Припустимо, у нас є якийсь прямокутник зі сторонами а та с. Фігура розбита двома відрізками на три прямокутники різної площі, так, що сторона є для всіх загальною, або однаковою. А сторони а1, а2 та а3 у сумі дають початкову а. Як відомо з аксіоматичного визначення площі прямокутника, знаходження цього параметра необхідно перемножити сторони: S = а*с. Або ж, S = (а1 + а2 + а3) * с. Проведемо множення многочлена (освіченого сторонами менших прямокутників) на одночлен - головну сторону фігури, і отримаємо вираз для S: а1 * с + а2 * с + а3 * с. Але якщо уважно придивитися, можна помітити, що цей многочлен є сумою площ трьох менших прямокутників, які й становлять початкову фігуру. Адже першого прямокутника S = а1с (по аксіомі) тощо. Алгебраїчність вірність міркувань при складанні многочлена підтверджується розрахунками лінійної алгебри. А геометрично – правилами складання площ у єдиній найпростішій постаті.

Під час проведення маніпуляцій з множенням многочлена на одночлен слід пам'ятати, що з цьому ступеня монома і полінома (загальна) складаються - а отримане значення є ступенем нового многочлена (ответа).

Усі перелічені правила разом із основами алгебраїчного складання використовуються у прикладах найпростішого спрощення виразів, де проводиться приведення подібних доданків і множення елементів спрощення всього многочлена.

На одночлен? Як при розмноженні правильно розставити знаки?

Правило.

Щоб помножити багаточлен на , треба кожен член багаточлена помножити на одночлен і отримані результати скласти.

Зручно одночлен записувати перед дужками.

Щоб правильно розставити знаки при множенні, краще скористатися правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак плюс або знак мінус.

Множення багаточлена на одночлен можна зобразити за допомогою схеми.

Одночлен множимо на кожен член багаточлена, що стоїть у дужках (фонтанчиком).

Якщо перед дужками стоїть знак «+», знаки у дужках не змінюються:

Якщо перед дужками стоїть знак "-", кожен знак у дужках змінюється на протилежний:

Розглянемо, як помножити багаточлен на одночлен на конкретних прикладах.

приклади.

Виконати множення багаточлена на одночлен:

Рішення:

Помножуємо одночлен на кожен член багаточлена, що стоїть у дужках. Оскільки перед дужками стоїть знак «плюс», знаки у дужках не змінюються:

окремо перемножуємо числа, окремо з однаковими підставами:

Одночлен множимо за кожен член многочлена. Тому що перед дужками стоїть множник, знак кожного доданка, що стоїть у дужках, міняємо на протилежний:

Зазвичай пишуть коротше, множення ступенів і чисел (за винятком звичайних дробів та змішаних чисел) виконують усно.

Якщо коефіцієнти - звичайні дроби, то множимо їх за правилом множення звичайних дробів: чисельник - на чисельник, знаменник - на знаменник, і відразу ж записуючи їх під одну дробову межу. Якщо коефіцієнти – змішані числа, переводимо їх у неправильні дроби:

Увага!

Не скорочуємо дроби, доки записали всі дії остаточно. Як показує практика, якщо відразу ж починати зі скорочення дробів, то до решти доданків справа не доходить – про них просто забувають.

§ 1 Розмноження багаточлена на одночлен

Коли йдеться про множення многочленів, ми можемо мати справу з операціями двох видів: множення многочлена на одночлен і множення многочлена на многочлен. У цьому занятті ми дізнаємося, як помножити многочлен на одночлен.

Основним правилом, яке використовують при множенні багаточлена на одночлен є розподільна властивість множення. Згадаймо:

Щоб суму помножити на число, можна кожен доданок помножити на це число та отримані твори скласти.

Ця властивість множення поширюється і на дію віднімання. У буквеному записі розподільна властивість множення виглядає так:

(а + b) ∙ с = ​​ас + bc

(а - b) ∙ с = ​​ас - bc

Розглянемо приклад: багаточлен (5аb – 3а2) помножити на одночлен 2b.

Введемо нові змінні і позначимо 5аb - літерою х, 3а2 - літерою у, 2b - літерою с. Тоді наш приклад набуде вигляду:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (х - у) ∙с

Відповідно до розподільчого закону це одно хс - ус. Тепер повернемося до первісного значення нових змінних. Отримаємо:

5аb∙2b - 3а2∙2b

Тепер наведемо багаточлен, що вийшов, до стандартного вигляду. Отримаємо вираз:

Таким чином, можна сформулювати правило:

Щоб помножити многочлен на одночлен, треба кожен член многочлена помножити цей одночлен і отримані твори скласти.

Це правило діє і при множенні одночлена на многочлен.

§ 2 Приклади на тему уроку

При множенні многочленів практично уникнення плутанини з визначенням одержуваних знаків рекомендують спочатку визначати й одразу записувати знак твори, а потім знаходити і записувати добуток чисел і змінних. Ось як це має вигляд конкретних прикладів.

Приклад 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).

Тут одночлен - 5аb треба помножити на два одночлени, що складають багаточлен, 4а2b і - 2а. Перший твір буде зі знаком «-», а другий – зі знаком «+». Тому рішення виглядатиме так:

(4а2b - 2а) ∙ (-5аb) = - 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b

Приклад 2. -ху(2х - 3у +5).

Тут доведеться виконати три дії множення, причому знак першого твору буде «-», знак другого «+», знак третього «-». Рішення виглядає так:

Ху(2х - 3у + 5) = -ху∙2х + ху∙3у - ху∙5 = -2х2у + 3ху2 - 5ху.

Список використаної литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 1, Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. – 10 – е вид., перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 2, Задачник для загальноосвітніх установ/[А.Г. Мордкович та ін.]; за редакцією А.Г. Мордковича – 10-те видання, перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Є.Є. Тульчинська, Алгебра 7 клас. Бліц опитування: посібник для учнів загальноосвітніх установ, 4-е видання, виправлене та доповнене, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичні перевірочні роботив новій формідля учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостійні роботидля учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича – 6-те видання, стереотипне, Москва, «Мнемозина», 2010

I.Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен кожен член многочлена і отримані твори скласти.

приклад 1.Помножити одночлен на багаточлен: 2a · (4a 2 -0,5ab +5a 3).

Рішення.Одночлен 2абудемо множити на кожен одночлен багаточлена:

2a·(4a 2 -0,5ab+5a 3)=2a∙4a 2 +2a∙(-0,5ab)+2a∙5a 3=8a 3 -a 2 b+10a 4 .Запишемо отриманий багаточлен у стандартному вигляді:

10a 4 +8a 3 -a 2 b.

приклад 2.Помножити багаточлен на одночлен: (3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3).

Рішення.Кожен доданок, що стоїть у дужках, множимо на одночлен (-0,4 x 3).

(3xyz 5 -4,5x 2 y+6xy 3 +2,5y 2 z)∙(-0,4x 3)=

3xyz 5 ∙(-0,4x 3) -4,5x 2 y∙(-0,4x 3)+6xy 3 ∙(-0,4x 3)+2,5y 2 z∙(-0,4x 3)=

=-1,2 x 4 yz 5 +1,8 x 5 y-2,4 x 4 y 3 -x 3 y 2 z.

ІІ.Подання многочлена як твори двох чи кількох многочленів називається розкладанням многочлена на множники.

ІІІ.Винесення загального множника за дужки – найпростіший спосіброзкладання багаточлена на множники.

приклад 3.Розкласти на множники багаточленів: 5a 3 +25ab-30a 2 .

Рішення.Винесемо загальний множник усіх членів багаточлена за дужки. Це одночлен 5а, тому що на 5аділиться кожен із членів даного многочлена. Отже, 5ами запишемо перед дужками, а в дужках запишемо приватні від поділу кожного одночлена на 5а.

5a 3 +25ab-30a 2 =5a · (a 2 +5b-6a). Перевіряємо себе: якщо ми помножимо 5ана багаточлен у дужках a 2 +5b-6a,то отримаємо цей багаточлен 5a 3 +25ab-30a 2.

приклад 4.Винесіть загальний множник за дужки: (x+2y) 2 -4·(x+2y).

Рішення.(x+2y) 2 -4·(x+2y)= (x+2y)(x+2y-4).

Спільним множником тут був двочлен (Х +2у).Ми винесли його за дужки, а в дужках записали приватні від поділу цих членів (x+2y) 2і -4 · (x + 2y) на їхній спільний дільник

(Х +2у).В результаті ми представили цей багаточлен у вигляді твору двох багаточленів (x+2y)і (x+2y-4), іншими словами, ми розклали багаточлен (x+2y) 2 -4·(x+2y)на множники. Відповідь: (x+2y)(x+2y-4).

IV.Щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та записати отримані твори у вигляді суми одночленів. При необхідності навести подібні доданки.

Приклад 5.Виконати множення багаточленів: (4x2-6xy+9y2)(2x+3y).

Рішення.За правилом ми повинні кожен член першого багаточлена (4x2-6xy+9y2) помножити на кожен член другого багаточлена (2x+3y). Щоб не заплутатися, робіть завжди так: спочатку множте кожен член першого багаточлена на 2х, потім знову кожний член першого багаточлена множте на 3у.

(4x 2 -6xy+9y 2)( 2x +3y)=4x 2 ∙ 2x-6xy∙ 2x+9y 2 ∙ 2x+4x 2 ∙ 3y-6xy∙ 3y+9y 2 ∙ 3y=

8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .

Подібні доданки -12x 2 y та 12x 2 y, а також 18xy 2 і -18xy 2 виявилися протилежними, їх суми дорівнюють нулю.

Відповідь: 8x 3 +27y 3 .

Сторінка 1 з 1 1

Клас: 7

Ціль:

1. Забезпечити засвоєння початкових знань на тему «Умноження одночлена на многочлен»;
2. Розвивати аналітико-синтезуюче мислення;
3. Виховувати мотиви вчення та позитивного ставлення до знань.

Згуртування колективу класу.

Завдання:

1. Ознайомитись з алгоритмом множення одночлена на багаточлен;
2. Відпрацьовувати практичне застосуванняалгоритму.

Устаткування: картки із завданнями, комп'ютер, інтерактивний проектор.

Тип уроку: комбінований.

Хід уроку

I. Організаційний момент:

Здрастуйте хлопці, сідайте.

Сьогодні ми продовжуємо вивчення розділу «Многочлени» та тема нашого уроку «Умноження одночлена на багаточлен». Відкрийте зошити та запишіть число та тему уроку «Умноження одночлена на багаточлен».

Завдання нашого уроку вивести правило множення одночлена на багаточлен і вчитися застосовувати його практично. Знання, отримані сьогодні, необхідні вам протягом вивчення всього курсу алгебри.

У вас на столах лежать бланки в які ми заноситимемо ваші бали, набрані протягом усього уроку, і за підсумками буде виставлена ​​оцінка. Бали ми зображатимемо у вигляді смайликів. ( Додаток 1)

ІІ. Етап підготовки учнів до активного та усвідомленого засвоєння нового матеріалу.

При вивченні нової теми нам знадобляться знання, які ви отримали на попередніх уроках.

Учнів виконують завдання за картками на тему «Ступінь та її властивості». (5-7 хвилин)

Фронтальна робота:

1) Дано два одночлени: 12p 3 і 4p 3

а) суму;
б) різницю;
в) твір;
д) приватне;
е) квадрат кожного одночлена.

2) Назвіть члени багаточлена та визначте ступінь багаточлена:

а)5 ab – 7a 2 + 2b – 2,6
б)6 xy 5 + x 2 y - 2

3) Нам сьогодні знадобиться розподільна властивість множення.

Давайте сформулюємо цю властивість та запис у літерному вигляді.

ІІІ. Етап засвоєння нових знань.

Ми з вами повторили правило множення одночлена на одночлен, розподільну властивість множення. А тепер давайте ускладнимо завдання.

Поділіться на 4 групи. У кожної групи на картках 4 вирази. Спробуйте відновити недостатню ланку в ланцюгу і пояснити свою точку зору.

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = ………………….……= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a – 7) = …………………...…..= 10a 4 + 15a 3 – 35a 2
• 3y(9y 3 – 4y 2 – 6) = ………………………. =27y 4 – 12y 3 – 18y
• 6b 4 (6b 2 + 4b – 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 – 30b 4

(Один представник від кожної групи виходить до екрану, записує недостатню частину виразу і пояснює свою точку зору.)

Спробуйте сформулювати правило (алгоритм) множення багаточлена на одночлен.

Який вираз виходить у результаті виконання цих дій?

Щоб перевірити себе, відкрийте підручник і прочитайте правило (1 людина читає вголос).

Чи збігаються наші висновки з правилом у підручнику? Запишіть правило множення одночлена на багаточлен у зошит.

IV. Закріплення:

1. Фізкультхвилинка:

Хлопці, сядьте зручніше, заплющити очі, розслабтеся, зараз ми відпочиваємо, м'язи розслаблені, ми вивчаємо тему «Умноження одночлена на многочлен».

І так ми пам'ятаємо правило і повторюємо за мною: щоб помножити одночлен на багаточлен потрібно одночлен помножити на кожен член і записати суму отриманих виразів. Розплющуємо очі.

2. Робота за підручником № 614 біля дошки та у зошитах;

а) 2х (х 2 - 7х - 3) = 2х 3 - 14х 2 - 6х
б) -4в 2 (5в 2 - 3в - 2) = -20в 4 + 12в 3 + 8в 2
в) (3а 3 – а 2 + а)(- 5а 3) = -15а 6 + 5а 5 – 5а 4
г) (у 2 – 2,4у + 6)1,5у = 1,5у 3 – 3,6у 2 + 9у
д) -0,5 х 2 (-2х 2 - 3х + 4) = х 4 + 1,5 х 3 - 2х 2
е) (-3у 2 + 0,6у)(- 1,5у 3) = 4,5у 5 - 0,9у 4

(Під час виконання номера аналізуються найбільш типові помилки)

3. Змагання з варіантів (розшифрування піктограми). (Додаток 2)

1 варіант:		2 варіант:
1) -3х2 (-х 3 + х - 5) 2) 14 x(3 xy 2 – x 2 y + 5) 3) -0,2 m 2 n(10 mn 2 – 11 m 3 – 6) 4) (3a 3 – a 2 + 0,1a)(-5a 2) 5) 1/2 з(6 з 3 d – 10c 2 d 2) 6) 1,4p 3 (3q - pq + 5p) 7) 10x 2 y(5,4xy – 7,8y – 0,4) 8) 3 аb(a 2 – 2ab + b 2)		1) 3а 4 х(а 2 – 2ах + х 3 - 1) 2) -11a(2a 2 b – a 3 + 5b 2) 3) -0,5 х 2 y(хy 3 – 3х+ y 2) 4) (6b 4 - b 2 + 0,01) (-7b 3) 5) 1/3m 2 (9m 3 n 2 – 15mn) 6) 1,6c 4 (2c 2d – cd + 5d) 7) 10p 4 (0,7pq - 6,1q - 3,6) 8) 5xy(x 2 – 3xy + x 3)

Завдання представлені на індивідуальних картках та на екрані. Кожен учень виконує своє завдання, знаходить літеру та записує її на екрані навпроти того виразу, який він перетворював. Якщо отримано правильну відповідь, то вийде слово: молодці! розумники 7а