Презентація схема схема бернуллі. Курсова робота: Повторні та незалежні випробування. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності. I. Організаційний момент

⁰

Формула Бернуллі

Бєляєва Т.Ю. ДБПОУ КК «АМТ» м. Армавір Викладач математики

Один із засновників теорії ймовірностей та математичного аналізу

Іноземний член Паризької Академії наук (1699) та Берлінської академії наук (1701)

Старший брат Йоганна Бернуллі (найвідоміший представник сімейства Бернуллі)

Якоб Бернуллі (1654 – 1705)

швейцарський математик

Нехай проводиться п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність того, що відбудеться подія А, дорівнює р , А отже, ймовірність того, що воно не станеться, дорівнює q = 1 - p .

Потрібно знайти ймовірність того, що при п послідовних випробуваннях подія А відбудеться рівно т разів.

Шукану ймовірність позначимо р п ( т ) .

Очевидно, що

р 1 (1) = p, р 1 (0) = q

р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1

При двох випробуваннях:

можливі 4 результати:

р 2 (2) = р 2; р 2 (1) = 2р · q; р 2 (0) = q 2

р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1

При трьох випробуваннях:

можливі 8 результатів:

Отримуємо:

р 3 (2) = 3р 2 · q

р 3 (1) = 3pq 2

р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Завдання 1.

Монету кидають 8 разів. Яка ймовірність, що чотири рази випаде «герб»?

Завдання 2.

В урні 20 куль: 15 білих та 5 чорних. Вийняли поспіль 5 куль, причому кожна вийнята куля поверталася в урну перед вилученням наступної кулі. Знайти ймовірність того, що з п'яти вийнятих куль буде 2 білі.

Формули для знаходження ймовірності того, що в п випробуваннях подія настане :

а) менше т разів

р п (0) + … + р п (т-1)

б) більше т разів

р п (т+1) + … + р п (п)

в) не більше т разів

р п (0) + … + р п (т)

г) не менше т разів

р п (т) + … + р п (п)

Завдання 3.

Імовірність виготовлення на верстаті-автоматі нестандартної деталі дорівнює 0,02. Визначити ймовірність того, що серед удачу взятих шести деталей виявляться понад 4 стандартні.

Подія А - « більше 4-х стандартних деталей» (5 або 6) означає

« не більше 1-ї бракованої деталі» (0 або 1)

Нехай проводиться п незалежних випробувань. При кожному такому випробуванні подія А може статися чи не статися. Відома можливість появи події А.

Потрібно знайти таке число μ (0, 1, …, n), для якого ймовірність Р n (μ) буде найбільшою.

Завдання 4.

Частка виробів вищого гатунку цьому підприємстві становить 31%. Чому дорівнює найімовірніше число виробів вищого гатунку у разі відбору партії з 75 виробів?

За умовою: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Завдання 6.

Дві стрілки стріляють по мішені. Імовірність промаху за одного пострілу для першого стрілка дорівнює 0,2, а другого – 0,4. Визначити найбільш ймовірне число залпів, при яких не буде жодного попадання в ціль, якщо стрілки зроблять 25 залпів.

За умовою: n = 25, p = 0,2 · 0,4 = 0,08, q = 0,92

Слайд 2

Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k Якщо ймовірність p настання події Α у кожному випробуванні постійна, то ймовірність Pn(k) того, що подія A настане k разів у n незалежних випробуваннях, дорівнює: Т Формулювання теореми Формула Бернуллі - формула теорії ймовірностей, що дозволяє знаходити ймовірність появи події A при незалежних випробуваннях. Формула Бернуллі дозволяє позбавитися від великої кількостіобчислень - складання та множення ймовірностей - за досить великої кількості випробувань.

Слайд 3

Історична довідкаЯКОБ БЕРНУЛЛІ (1654–1705) Дата народження: 27 грудня 1654 р. Місце народження: Базель Дата смерті: 16 серпня 1705 р. Місце смерті: Базель Громадянство: Швейцарія Наукова сфера: Математик Місце роботи: Базельський університет Наук. кер.: ЛейбніцЯкоб Бернуллі (нім. Jakob Bernoulli, 27 грудня 1654, Базель, - 16 серпня 1705, там же) - швейцарський математик, брат Йоганна Бернуллі; професор математики Базельського університету (з 1687). Якобу Бернуллі належать значні досягнення в теорії рядів, диференціальному обчисленні варіаційного обчислення, теорії ймовірностей та теорії чисел, де його ім'ям названо числа з деякими певними властивостями. Якобу Бернуллі належать також роботи з фізики, арифметики, алгебри та геометрії.

Слайд 4

Приклад використання формули Бернуллі Щодня акції корпорації АВС піднімаються в ціні або падають у ціні на один пункт із ймовірностями відповідно 0,75 та 0,25. Знайти ймовірність, що акції після шести днів повернуться до своєї початкової ціни. Прийняти умову, що зміни ціни акції вгору та вниз – незалежні події. РІШЕННЯ: Для того, щоб акції повернулися за 6 днів до своєї первісної ціни, потрібно, щоб за цей час вони тричі піднялися в ціні і три рази опустилися в ціні. ймовірність розраховується за формулою Бернуллі P6(3) =C36(3/4)3(1/4)3=0,13

Слайд 5

Перевір себе В урні 20 білих та 10 чорних куль. Вийняли поспіль 4 кулі, причому кожну вийняту кулю повертають в урну перед вилученням наступного і кулі в урні перемішують. Яка ймовірність того, що з чотирьох вийнятих куль виявиться дві білі? ВІДПОВІДЬ: РІШЕННЯ: ВІДПОВІДЬ: ВІДПОВІДЬ: РІШЕННЯ: РІШЕННЯ: Аудитор виявляє фінансові порушення у фірми, що перевіряється, з ймовірністю 0,9. Знайти ймовірність того, що серед чотирьох фірм-порушників буде виявлено більше половини. Гральний кубик кидається 3 рази. Якою є ймовірність того, що в цій серії випробувань 6 очок з'являться рівно 2 рази? 0,01389 8/27 0,9477

Слайд 6

Перевір себе Монета кидається 6 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде не більше ніж 2 рази. ВІДПОВІДЬ: РІШЕННЯ: ВІДПОВІДЬ: РІШЕННЯ: Нехай схожість насіння пшениці становить 90%. Чому дорівнює ймовірність того, що з 7 посіяних насіння зійдуть 5? 0,124 0,344

Слайд 7

Імовірність вилучення білої кулі p=20/30=2/3 вважатимуться однієї й тієї ж переважають у всіх випробуваннях; 1-p=1/3 Використовуючи формулу Бернуллі, отримуємо P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/ 27 НАЗАД РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ 1

Слайд 8

НАЗАД РІШЕННЯ ЗАВДАННЯ 2 Подія у тому, що з 4 фірм-порушників буде виявлено три чи чотири, тобто. P(A)=P4(3)+P4(4) P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94 = 0,93 (0,4+0,9)=0,9477

МОУ «Рудногірська середня загальноосвітня школа»

Розробка уроку з теорії ймовірностей

в 10 класі

по темі

« Незалежні повторні випробування.

Теорема Бернуллі »

Вчитель математики

МОУ «Рудногірська сош»

Чибишева І.А.

«…Випадковість головним чином

залежить від нашого знання…»

Якоб Бернуллі

Тема «»

Клас:10

Цілі уроку:

Навчальні:

Розвиваючі:

Виховні:

Завдання:

Тип уроку:комбінований.

Методи навчання:бесіда, письмові вправи.

Обладнання:комп'ютер, мультимедіа-проектор. презентація, роздатковий матеріал

План уроку:

Організаційний етап -2 хв.

Актуалізація опорних знань – 3 хв.

Етап вивчення нового матеріалу – 10 хв.

Етап узагальнення та систематизації знань -20 хв

Домашня робота -3 хв

Підбиття підсумку уроку-2 хв

Рефлексія -5 хв.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

ІІ. Актуалізація знань

Згадаймо основні поняття та формули комбінаторики.

1. Що називається факторіалом числа n? (Це добуток перших натуральних n чисел від 1 до n.)
2. Скільки способами можна розставити4 різні книги на полиці? (3! = 3 · 2 · 1. Це число перестановок з 3 елементів.)
3. Скільки можна розподілити I, II, III місця між 7 учасниками змагання? (7 · 6 · 5 = 210. Це число розміщень з 7 елементів по 3.)
4. Скільки способами можна скласти графік чергування 3 учнів з 5? ( це число поєднань з 5 елементів по 3 і 10).

5. Що ми називаємо ймовірністю випадкової події?

6. Сформулюйте класичне визначення ймовірності.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

При практичному застосуванні теорії ймовірностей та математичної статистики часто доводиться зустрічатися із завданнями, в яких той самий досвід повторюється неодноразово. В результаті кожного досвіду може з'явитися чи не з'явитися подія A, причому нас цікавить не результат кожного досвіду, а загальне числопояви події A у серії дослідів. Наприклад, зовсім недавно у Кореї пройшов чемпіонат світу з біатлону. Спортсмени робили ряд пострілів по мішеням, і нас, як правило, цікавив не результат кожного окремого пострілу, а загальна кількість влучень. При цьому результати попередніх дослідів не позначалися на наступних. Така стандартна схемачасто зустрічається і в самій теорії ймовірностей. Вона називається схемою незалежних випробувань або схемою Бернуллі . Швейцарський математик XVII ст. Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину ймовірнісну задачу-схему (робота "Мистецтво припущень" опублікована в 1713 році).

Історична довідка (повідомлення про життя вченого до уроку готує один із учнів):

Якоб Бернуллі (27.12.1654, Базель, - 16.8.1705, там же) - професор математики Базельського університету (1687) був вихідцем з Голландії .....

Перевірка домашнього завдання:
1 група: Вам вдома треба було вирахувати ймовірність випадання 1 на гральному кубику.
2 група: Вам вдома треба було вирахувати можливість випадання «орла» при киданні монети. (Учні називають результати, робиться висновок про причини різних відповідей, і висновок про те, що чим більше випробувань, тим краще можна побачити, чого прагне результат)
Говорячи про частоті та ймовірності деякої випадкової події А, ми маємо на увазі наявність певних умов, які можна неодноразово відтворювати. Цей комплекс умов ми називаємо випадковим досвідом чи випадковим експериментом. Зазначимо, що результат одного досвіду не залежить від попереднього. Кілька дослідів називаються незалежнимиякщо ймовірність результату кожного з дослідів не залежить від того, які результати мали інші досліди. Наприклад, кілька послідовних кидань монети – це незалежні досліди. Декілька послідовних виймань куль з мішка – незалежні досліди за умови, що вийнята куля щоразу повертається в мішок. Інакше – це залежні досліди. Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину імовірнісну схему.

Схема Бернуллі.

Розглядають незалежні повторення того самого випробування з двома можливими наслідками, які умовно називають «успіх» і «невдача». Потрібно знайти ймовірність того, що при n таких повтореннях станеться рівно до «успіхів».

Вчителю слід підкреслити ще раз три умови, яким має задовольняти схема Бернуллі:

1) у кожного випробування має бути два результати, званих «успіх» та «невдача»;

2) у кожному досвіді ймовірність події А має бути незмінною;

3) результати дослідів мають бути незалежними.

1 V . Закріплення.

1. Усна робота (Можливо організувати групову роботу). Відповіді обговорюються у групах та один представник озвучує.

Поясніть, чому такі питання укладаються у схему Бернуллі. Вкажіть, у чому «успіх» і до чого рівні nі k.

а) Яка ймовірність того, що при 123 киданнях монети «решка» випаде рівно 45 разів?

б) У чорній скриньці знаходяться 10 білих, 3 червоних та 7 синіх куль. Кулі виймаються, записується їхній колір і повертаються назад. Яка ймовірність того, що всі з 20 вилучених куль будуть синіми?
в) Яка ймовірність того, що при ста киданнях монети «орел» з'явиться 73 рази?
г) Двадцять разів поспіль кинули пару гральних кубиків. Яка ймовірність того, що сума очок жодного разу не дорівнювала десяти?
д) З колоди в 36 карт витягли три карти, записали результат і повернули їх у колоду, потім карти перемішали. Так повторювалося чотири рази. Яка ймовірність того, що кожного разу серед витягнутих карт була жінка пік?

ВЧИТЕЛЬ:Для отримання чисельних значень таких завдань необхідно заздалегідь знати ймовірність «успіхів» і «невдач». Позначивши можливість «успіху» p, а можливість «невдач» q, де q = 1- p, Бернуллі довів чудову теорему

2. Самостійна робота(Можливо організувати групову роботу). Учням пропонується 7 завдань на розв'язання. У дужках вказано кількість балів за завдання. Хлопці обговорюють рішення у групах. Установка: оцінка «5»-17-22 бали, «4»-12-16 балів, «3»-6-11 балів.

1). Яка ймовірність цього. що при десяти кидках гральної кістки 3 очки випадуть рівно 2 рази? (2 бали)

2). Яка ймовірність того, що при 9 киданнях монети «орел» випаде рівно 4 рази? (2 бали)

3). Остап Бендер грає 8 партій проти членів шахового клубу. Остап грає погано, тому ймовірність виграшу у кожній партії дорівнює 0,01. Знайдіть ймовірність, що Остап виграє хоча б одну партію. (3 бали)

4). Імовірність влучення у мету одним пострілом дорівнює 0,125. Яка ймовірність того, що з 12 пострілів не буде жодного влучення? (3 бали)

5). У частині А ЄДІ з математики у 2005 році було 10 завдань із вибором відповіді. До кожного з них пропонувалося 4 варіанти відповідей, з яких лише одна вірна. Для отримання позитивної позначки на іспиті необхідно відповісти щонайменше на 6 завдань. Яка ймовірність того, що недбалий учень здасть іспит? (4 бали)

6). Кидаємо гральну кістку. Яка ймовірність того, що кинувши кістку 8 разів, ми викинемо шістку не менше 4 разів, але не більше 6 разів? (4 бали)

7). За один постріл стрілок вражає мету з ймовірністю 0,1. Знайти ймовірність того, що при п'яти пострілах він хоча б раз потрапить у ціль. (4 бали)

ВІДПОВІДІ: 1) 0,29; 2) 0,246; 3)0,077; 4)0,2 5) 0,016; 6) 0,034; 7) 0,4095;

Якщо є час, роботу можна обговорити, якщо ні, то зібрати зошити на перевірку.

V.Домашня робота:

1). Імовірність події А дорівнює 0,3. Яка ймовірність того, що в серії з шести випробувань подія А настане хоча б один раз? (4 бали)

2). Сашкові задали 10 однакових за складністю завдань. Імовірність того, що він вирішить завдання, дорівнює 0,75. Знайдіть ймовірність того, що Сашко вирішить: а) всі завдання;

б) щонайменше 8 завдань; в) щонайменше 6 завдань.

3. Серію випробувань Бернуллі проводять двічі. Вперше ймовірність успіху дорівнює ½, вдруге ймовірність успіху 1/3. У якому разі очікуваний розкид величини S більше, якщо S число успіхів, що настали?

ВІДПОВІДІ: 1). 0,882; 2) а) 0,056; б) 0,526; в) 0,922.

Індивідуально: презентація матеріалу на тему «Закон великих чисел», доповідь на тему «Родина Бернуллі».

V1. Підбиття підсумків.

Які ключові слова уроку можна виділити? Поясніть їхнє значення.

Який ключовий факт сьогодні вивчено?

Що спільного і в чому відмінність статистики та ймовірності?

V11. Рефлексія.На етапі рефлексії учням пропонується скласти синквейн та у поетичній формі висловити своє ставлення до вивченого матеріалу.

СИНКВЕЙН – прийом технології розвитку критичного мислення, на стадії рефлексії.

Це коротке літературний твір, Що характеризує предмет (тему), що складається з п'яти рядків, що пишеться за певним планом Слово «сінквейн» походить від французького слова «п'ять».

ПРАВИЛА НАПИСУ СІНКВЕЙНУ

1 рядок – одне слово – назва вірша, тема, зазвичай іменник.

2 рядок – два слова (прикметники чи причастя). Опис теми, слова можна поєднувати спілками та прийменниками.

3 рядок – три слова (дієслова). Дії, які стосуються теми.

4 рядок - чотири слова - речення. Фраза, що показує ставлення автора до теми у 1-й рядку.

5 рядок - одне слово - асоціація, синонім, який повторює суть теми в 1-му рядку, зазвичай іменник.

Література

В.А.Буличев, Є.А.Бунімович. Вивчення теорії ймовірностей та статистики в шкільному курсіматематики. "Математика в школі". № 4. 2003 стор. 59. Віленкін Н. Я. Комбінаторика. - М.: Наука, 1969.

В.М. Студинецька та ін. «У світі закономірних випадковостей». Волгоград: Вчитель, 2007.

Гмурман В. Є. Посібник з вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики. - М.: вища школа, 1975.

Гмурман В. Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. - М.: Вища школа, 1977.

Гнеденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. - М.: Наука, 1988.

Ел. підручник Реферати та твори

Самоаналіз уроку

Курс:основи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Клас: 10-й, фізико-математичний напрямок.

Тема урока:Незалежні повторні випробування. Теорема Бернуллі

Цілі уроку:

Навчальні:

Ознайомлення учнів зі схемою Бернуллі та відпрацювання її застосування під час вирішення завдань.

Розвиваючі:

Формування в учнів єдиної наукової картини світу та елементів наукового світогляду шляхом дослідження міжпредметних зв'язків теорії ймовірностей та різних наук;

Формування імовірнісно-статистичного мислення учнів;

Виховні:

Розвиток самостійності та навичок самоконтролю.

Мотивація учнів до вивчення тем теорії ймовірностей.

Завдання:

закріпити знання та вміння вирішувати комбінаторні завдання;
формувати навички застосування схеми Бернуллі під час вирішення завдань,
формувати навички розв'язання задач за формулою Бернуллі,
розвивати основні розумові операції учнів: уміння порівнювати, аналізувати.

Тип уроку:комбінований.

Цей матеріал має практичне застосування, оскільки дозволяєвирішувати завдання, у яких той самий досвід повторюється неодноразово. У результаті кожного досвіду може з'явитися чи не з'явитися подія A, причому нас цікавить не результат кожного досвіду, а загальна кількість події A у серії дослідів. На даному уроці хлопці дізналися формулу для вирішення таких завдань, навчилися визначати задачі, які підходять під схему Бернуллі та вирішуються за його теоремою. Раціонально розподілено час всіх етапах уроку. Темп уроку відповідав рівню розвитку та підготовленості учнів.

Урок був задуманий мною як діалог між учителем та учнями, оскільки клас досить сильний. Урок сприяв формуванню основних світоглядних ідей, імовірнісно-статистичного мислення, вміння виділяти міжпредметні зв'язки. Хлопці працювали у групах, що дозволяє розвивати їхню пізнавальну та комунікативну компетентність. Для того, щоб у групах працювали всі, відповідно до своїх можливостей та здібностей, щоб не втрачався інтерес до дисципліни, що викладається, завдання запропоновані різнорівневого характеру Учні на уроці проявляли активність, самостійно приходили до висновку. Зміст уроку сприяло розвитку інтересу до вчення, що свідчить рефлексивний етап уроку. Презентація допомогла зробити урок цікавішим, заощадити час для конспектування нового та систематизації матеріалу.

Приклад синквейну:

1. Теорема Бернуллі
Нова, цікава.
Познайомились, зрозуміли, зацікавились.
Дозволяє знаходити ймовірність

В реальності.

2. О, випробування,

Незалежні повторні

Розберемо, зрозуміємо та обчислимо

І допоможе нам у цьому, звісно,

Теорема Бернуллі

Цілі, поставлені на уроці, досягнуті.

Придністровський державний університет ім.Т.Г.Шевченка

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНИХ МЕТОДІВ

КУРСОВА РОБОТА

на тему: "Повторні та незалежні випробування. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності"

Виконав:

студент 303 групи

Рудницький Олександр

Петрович

Перевірив: зав. кафедрою

філософії

Граневський В.В.

Тираспіль, 2009

1. Введення

2. Формула Бернуллі

3. Локальна формула Муавра-Лапласа

4. Формула Пуассона

5. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності

Список літератури

Програми

1. Вступ

При практичному застосуванні теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із завданнями, в яких те саме випробування повторюється неодноразово. В результаті кожного випробування може з'явитися або не з'явитися деяка подія А, причому нас не цікавить результат кожного окремого випробування, а загальна кількість події А в результаті серії дослідів. Наприклад, якщо проводиться група пострілів за однією і тією ж метою, нас, як правило, не цікавить результат кожного пострілу, а загальна кількість попадань. У подібних завданнях потрібно вміти визначати ймовірність будь-якого заданого числа події в результаті серії дослідів. Такі завдання будуть розглянуті. Вони вирішуються дуже просто у разі, коли випробування є незалежними.

Визначення.Випробування називаються незалежними, якщо ймовірність того чи іншого результату кожного випробування не залежить від того, які результати мали інші випробування.

Наприклад, кілька кидань монети є незалежними випробуваннями.

2. Формула Бернуллі

Нехай зроблено два випробування (n = 2). В результаті можливий наступ однієї з наступних подій:

Відповідні ймовірності даних подій такі: .

Або - настання події лише в одному випробуванні.

Імовірність настання події двічі.

Імовірність настання події лише один раз.

Імовірність настання події нуль разів.

Нехай тепер n=3. Тоді можливий наступ одного з наступних варіантів подій:

Відповідні ймовірності рівні.

Очевидно, що отримані результати при n=2 та n=3 є елементами

Тепер припустимо, зроблено n випробувань. Подія А може наступити n разів, 0 разів, n-1 разів і т.д. Напишемо подію, що полягає у настанні події А m разів

Необхідно знайти число випробувань, у яких подія А настане m разів. Для цього треба знайти число комбінацій із n елементів, у яких А повторюється m разів, а n-m разів.

Імовірність настання події А.

Остання формула називається формулою Бернуллі і є спільним членом розкладання :

З формули (1) видно, що її зручно використовувати, коли кількість випробувань не надто велика.

Приклади

№1 . Впадає монета 7 разів. Знайти ймовірність настання орла тричі.

Рішення.

№2. Кожен день акції корпорації АВС піднімаються в ціні або падають у ціні на один пункт із ймовірностями відповідно 0,75 та 0,25. Знайти ймовірність, що акції після шести днів повернуться до своєї початкової ціни. Прийняти умову, що зміни ціни акції вгору та вниз – незалежні події.

Рішення.Для того, щоб акції повернулися за 6 днів до своєї початкової ціни, потрібно, щоб за цей час вони тричі піднялися в ціні і три рази в ціні. Шукана ймовірність розраховується за формулою Бернуллі

№3. Мотори багатомоторного літака виходять з ладу під час польоту незалежно один від одного з ймовірністю р. Багатомоторний літак продовжує летіти, якщо працює щонайменше половина його моторів. За яких значень р двомоторний літак надійніший за чотиримоторний літак?

Рішення.Двомоторний літак терпить аварію, якщо відмовляють обидва його мотори. Це відбувається з ймовірністю р2. Чотирьохмоторний літак терпить аварію, якщо виходять з ладу всі 4 мотори, а це відбувається з ймовірністю р4, або виходять з ладу три мотори з 4-х. Імовірність останньої події обчислюється за формулою Бернуллі: . Щоб двомоторний літак був надійнішим, ніж чотиримоторний, потрібно, щоб виконувалася нерівність

р2<р4+4p3(1–p)

Ця нерівність зводиться до нерівності (3р-1) (р-1)<0. Второй сомножитель в левой части этого неравенства всегда отрицателен (по условию задачи). Следовательно, величина 3р–1 должна быть положительной, откуда следует, что должно выполняться условие р>1/3. Слід зазначити, що якби можливість виходу з ладу мотора літака перевищувала одну третину, сама ідея використання авіації для пасажирських перевезень була б дуже сумнівною.

№4. Бригада з десяти людей іде обідати. Є дві однакові їдальні, і кожен член бригади незалежно один від одного йде обідати в будь-яку з цих їдалень. Якщо одну зі їдалень випадково прийде більше відвідувачів, ніж у ній є місць, виникає черга. Яка найменша кількість місць має бути в кожній зі їдалень, щоб ймовірність виникнення черги була меншою за 0,15?

Рішення.Вирішення завдання доведеться шукати перебором можливих варіантів. Спочатку зауважимо, що якщо у кожній їдальні по 10 місць, то виникнення черги неможливе. Якщо у кожній їдальні по 9 місць, то черга виникне лише у випадку, якщо всі 10 відвідувачів потраплять до однієї їдальні. З умови завдання випливає, кожен член бригади вибирає цю їдальню з ймовірністю 1/2. Отже, всі зберуться в одній їдальні з ймовірністю 2(1/2)10=1/512. Це число набагато менше, ніж 0,15 і слід провести розрахунок для восьмимісних їдалень. Якщо в кожній їдальні по 8 місць, то черга виникне, якщо всі члени бригади прийдуть в одну їдальню, ймовірність цієї події вже обчислена, або 9 осіб підуть в одну їдальню, а 1 людина вибере іншу їдальню. Імовірність цієї події розраховується за допомогою формули Бернуллі. Таким чином, якщо в їдальнях по 8 місць, то черга виникає з ймовірністю 11/512, що поки що менше, ніж 0,15. Нехай тепер у кожній із їдалень по 7 місць. Крім двох розглянутих варіантів, у цьому випадку черга виникне, якщо в одну зі їдалень прийде 8 осіб, а в іншу 2 особи. Це може статися з ймовірністю. Отже, у разі черга виникає з ймовірністю 56/512=0,109375<0,15. Действуя аналогичным образом, вычисляем, что если в каждой столовой 6 мест, то очередь возникает с вероятностью 56/512+120/512=176/512=0,34375. Отсюда получаем, что наименьшее число мест в каждой столовой должно равняться семи.

№5. В урні 20 білих та 10 чорних куль. Вийняли 4 кулі, причому кожну вийняту кулю повертають в урну перед вилученням наступного і кулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що з чотирьох вийнятих куль виявиться 2 білі.

Рішення.Подія А– дістали білу кулю. Тоді ймовірності

За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює

№6. Визначити ймовірність того, що у сім'ї, яка має 5 дітей, буде не більше трьох дівчаток. Імовірності народження хлопчика та дівчинки передбачаються однаковими.

Рішення.Імовірність народження дівчинки

Знайдемо ймовірність того, що в сім'ї немає дівчаток, народилася одна, дві чи три дівчинки:

Отже, шукана ймовірність

№7. Серед деталей, які обробляє робітник, буває в середньому 4% нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед взятих на випробування 30 деталей дві будуть нестандартними.

Рішення.Тут досвід полягає у перевірці кожної із 30 деталей на якість. Подія А - "поява нестандартної деталі", його ймовірність, тоді. Звідси за формулою Бернуллі знаходимо

№8. При кожному окремому пострілі зі зброї ймовірність ураження мети дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 20 пострілів число вдалих буде не менше ніж 16 і не більше 19.

Рішення.Обчислюємо за формулою Бернуллі:

№9. Незалежні випробування продовжуються до тих пір, поки подія Ане станеться kразів. Знайти ймовірність того, що потрібно nвипробувань (n і k), якщо у кожному їх .

Рішення.Подія У- рівно nвипробувань до k-го появи події А- Є твір двох наступних подій:

D – у n-ом випробуванні Асталося;

С – у перших (n–1) -ом випробуваннях Аз'явилося (к-1)разів.

Теорема множення та формула Бернуллі дають необхідну ймовірність:

№10. З акумуляторів n за рік зберігання k виходить з ладу. Навмання вибирають m акумуляторів. Визначити ймовірність того, що серед них є справні. n=100, k=7, m=5, l=3.

Рішення:Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 7/100 = 0,07 (імовірність того, що акумулятор вийде з ладу), n = 5 (кількість випробувань), k = 5-3 = 2 (кількість "успіхів", несправних акумуляторів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що в n випробуваннях подія відбудеться разів).

Отримуємо

№11. Пристрій, що складається з п'яти незалежно працюючих елементів, включається за час Т. Імовірність відмови кожного з них за цей час дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що відмовлять: а) три елементи; б) не менше чотирьох елементів; в) хоча б один елемент.

Рішення:Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 0,2 (імовірність того, що елемент відмовить), n = 5 (кількість випробувань, тобто число елементів), k (кількість "успіхів", які відмовили елементів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що для n елементів відмова станеться в k елементах): . Отримуємо а) - ймовірність того, що відмовлять рівно три елементи з п'яти. б) - ймовірність того, що відмовлять не менше чотирьох елементів із п'яти (тобто або чотири, або п'ять). в) - ймовірність того, що відмовить хоча б один елемент (знайшли через ймовірність протилежної події - жоден елемент не відмовить).

№12. Скільки слід зіграти партій у шахи з ймовірністю перемоги в одній партії, що дорівнює 1/3, щоб найімовірніше число перемог дорівнювало 5?

Рішення:Найімовірніше число перемог k визначається з формули Тут p = 1/3 (імовірність перемоги), q = 2/3 (імовірність програшу), n - невідоме число партій. Підставляючи дані значення, отримуємо:

Отримуємо, що n = 15, 16 чи 17.

3. Локальна формула Муавра-Лапласа

Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях n досить важко, оскільки формула вимагає виконання над величезними числами. Природно, виникає питання: чи не можна обчислити ймовірність, що цікавить нас, не вдаючись до формули Бернуллі.

У 1730 р. інший спосіб розв'язання при p=1/2 знайшов Муавр; в 1783 Лаплас узагальнив формулу Муавра для довільного p, відмінного від 0 і 1.

Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події не надто близька до нуля чи одиниці. Тому теорему, про яку йдеться, називають теоремою Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра Лапласа.Якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія А з'явиться в n випробуваннях рівно k разів, приблизно дорівнює (тим точніше, ніж більше n) значення функції

Є таблиці, в яких розміщені значення функції

відповідні позитивним значенням аргументу x (див. додаток 1). Для негативних значень аргументу користуються тими самими таблицями, оскільки функція парна, тобто. .

Отже, ймовірність того, що подія A з'явиться в n незалежних випробуваннях рівно k разів, приблизно дорівнює

№13. Знайти ймовірність того, що подія А настане рівно 80 разів у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,2.

Рішення.За умовою n = 400; k=80; p=0,2; q=0,8. Скористаємося формулою Лапласа:

Шукана ймовірність

№14. Імовірність ураження мішені стрільцем при одному пострілі p=0,75.

Визначити можливість, що з 10 пострілах стрілок вразить мета 8 раз.

Рішення.За умовою n = 10; k=8; p=0,75; q=0,25.

Скористаємося формулою Лапласа:

Обчислимо визначуване даними завдання значення x:

За таблицею додатка1 знаходимо

Шукана ймовірність

№15. Знайти ймовірність того, що подія А настане рівно 70 разів у 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,25.

Рішення.За умовою n = 243; k=70; p=0,25; q=0,75. Скористаємося формулою Лапласа:

Знайдемо значення x:

За таблицею додатка1 знаходимо

Шукана ймовірність

№16. Знайти ймовірність того, що подія А настане 1400 разів у 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події у кожному випробуванні дорівнює 0,6.

Рішення.За умовою n = 2400; k = 1400; p=0,6; q=0,4. Як і в попередньому прикладі, скористаємося формулою Лапласа:

Обчислимо x:

За таблицею додатка1 знаходимо

Шукана ймовірність

4. Формула Пуассона

Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події є досить близькою до 0 або 1.

Доведення.

Таким чином отримали формулу:

Приклади

№17. Імовірність виготовлення непридатної деталі дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що серед 10 000 деталей лише 2 деталі будуть непридатними.

Рішення. n=10000; k=2; p = 0,0002.

Шукана ймовірність

№18. Імовірність виготовлення бракованої деталі дорівнює 0,0004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей лише 5 деталей будуть браковані.

Рішення. n=1000; k=5; p = 0,0004.

Шукана ймовірність

№19. Імовірність виграшу лотереї дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що із 5000 спроб виграти вдасться 3 рази.

Рішення. n=5000; k=3; p = 0,0001.

Шукана ймовірність

5. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності

Теорема.Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p, абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від ймовірності появи події не перевищить позитивного числа, приблизно дорівнює подвоєної функції Лапласа при :

Доведення.Вважатимемо, що виробляється n незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А постійна і дорівнює p. Поставимо собі завдання знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти від постійної ймовірності p за абсолютною величиною не перевищує заданого числа . Іншими словами, знайдемо ймовірність здійснення нерівності

Замінимо нерівність (*) йому рівносильними:

Помножуючи ці нерівності на позитивний множник, отримаємо нерівності, рівносильні вихідному:

Тоді ймовірність знайдемо так:

Значення функції знаходиться за таблицею (див. додаток 2).

Приклади

№20. Імовірність те, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від ймовірності p = 0,1 абсолютної величини не більше, ніж на 0,03.

Рішення. n=400; p=0,1; q=0,9; =0,03. Потрібно знайти можливість. Користуючись формулою

По таблиці приложения2 знаходимо. Отже, . Отже, ймовірність, що шукається, дорівнює 0,9544.

№21. Імовірність те, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти, скільки деталей треба відібрати, щоб з ймовірністю, що дорівнює 0,9544, можна було стверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей (серед відібраних) відхилиться від постійної ймовірності p абсолютної величини не більше ніж на 0,03.

Рішення.За умовою p=0,1; q=0,9; =0,03; . Потрібно знайти n. Скористаємося формулою

В силу умови

Отже,

За таблицею додатка 2 знаходимо. Для відшукання числа n отримуємо рівняння. Звідси шукана кількість деталей n=400.

№22. Імовірність появи події у кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти, яке відхилення відносної частоти появи події від його ймовірності очікується з ймовірністю 0,9128 при 5000 випробуваннях.

Рішення.Скористаємося тією ж формулою, з якої випливає:

Література

1. Гмурман Є.В. "Теорія ймовірностей та математична статистика", Москва, "Вища школа"2003.

2. Гмурман Є.В. "Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики", Москва "Вища школа"2004.

3. Гнєденко Б.В. "Курс теорії ймовірностей", Москва, "Наука"1988.

4. Колемаєв В.А., Калініна В.М., Соловйов В.І., Малихін В.І., Курочкін А.П. "Теорія ймовірностей у прикладах та завданнях", Москва, 2001.

5. Вентцель Є.С. "Теорія ймовірностей", Москва, "Вища школа"1998.

Програми

Додаток 1

Таблиця значень функції

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1.7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0648	0833	0818	0804
1.8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1.9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2.1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2.2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2.3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2.5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2.6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2.9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0043
3,0	0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028.	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0622	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Додаток 2

Таблиця значень функції

x		x		x		x
	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422	0,97	0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486	0.99	0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517	1,00	0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549	1,01	0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611	1,03	0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673	1,05	0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734	1,07	0,3577
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764	1,08	0,3599
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794	1.09	0,3621
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1.10	0,3643
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852	3665	0,3665
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	3686	0,3686
0,17	0,0675	0,49	01879	0,81	0,2910	1,13	0,3708.
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,14	0,3729
0,19	0,0753	0,51	0,1950	0,83	0,2967	1,15	0,3749
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,16	0,3770
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023	1,17	0,3790
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,18	0,3810
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078	1,19	0,3830
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,20	0,3849
0,25	0,0987	0,57	0,2157	0,89	0,3133	1.21	0,3869
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,22	0/3883
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186	1,23	0,3907
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1.24	0,3925
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238	1,25	0,3944
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289

x		x		x		x
1,26	0,3962	1,59	0,4441	1,92	0,4726	2,50	0,4938
1,27	0,3980	1,60	0,4452	1,93	0,4732	2,52	0,4941
1,28	0,3997	1,61	0,4463	1,94	0,4738	2,54	0,4945
1,29	0.4015	1,62	0,4474	1,95	0,4744	2,56	0,4948
1,30	0,4032	1,63	0.4484	1.96	0,4750	2,58	0,4951
1,31	0,4049	1,64	0,4495	1,97	0,4756	2,60	0,4953
1,32	0.4066	1,65	0,4505	1,98	0,4761	2,62	0,4956
1,33	0,4082	1,66	0,4515	1,99	0,4767	2,64	0,4959
1,34	0.4099	1,67	0.4525	2.00	0,4772	2,66	0,4961
1.3S	0.4115	1,68	0,4535	2,02	0,4783	2,68	0,4963
1,36	0.4131	1,69	0,4545	2,04	0,4793	2,70	0,4965
1,37	0.4147	1,70	0,4554	2,06	0,4803	2,72	0,4967
1,38	0.4162	1.71	0,4564	2,08	0,4812	2,74	0,4969
1,39	0.4177	1,72	0,4573	2,10	0,4821	2,76	0,4971
1.40	0,4192	1,73	0,4582	2,12	0,4830	2,78	0,4973
1.41	0,4207	1.74	0,4591	2,14	0,4838	2,80	0,4974
1.42	0.4222	1,75	0.4599	2,16	0,4846	2,82	0,4976
1.43	0.4236	1,76	0,4608	2,18	0,4854	2,84	0,4977
1.44	0,4251	1.77	0,4616	2,20	0,4861	2,86	0,4979
1,45	0.4265	1,78	0.4625	2,22	0,4868	2,88	0,4980
1.46	0,4279	1,79	0,4633	2,24	0,4875	2,90	0,4981
1.47	0,4292	1,80	0,4641	2,26	0,4881	2,92	0,4982
1,48	0,4306	1.81	0,4649	2,28	0,4887	2,94	0,4984
1,49	0.4319	1,82	0,4656	2,30	0,4893	2,96	0,4985
1.50	0,4332	1,83	0,4664	2,32	0,4898	2.98	0,4986
1,51	0,4345	1,84	0,4671	2,34	0,4904	3,00	0,49865
1.52	0,4357	1,85	0,4678	2,36	0,4909	3,20	0,49931
1.53	0,4370	1,86	0,4686	2,38	0,4913	3.40	0,49966
1.54	0,4382	1,87	0,4693	2,40	0,4918	3,60	0,49984
1,55	0,4394	1.88	0,4699	2,42	0,4922	3,80	0,49992
1.S6	0,4406	1.89	0,4706	2,44	0,4927	4,00	0,49996
1,57	0,4418	1,90	0,4713	2,46	0,4931	4,50	0,49999
1,58	0,4429	1,91	0,4719	2,48	0,4934	5,00	0,49999

Розділи: Математика

Цілі:

формування імовірнісно-статистичного мислення учнів;
мотивація учнів до вивчення тем теорії ймовірностей;
ознайомлення із застосуванням формули Бернуллі під час вирішення завдань.

Завдання:

закріпити знання та вміння вирішувати комбінаторні завдання;
формувати навички застосування схеми Бернуллі під час вирішення завдань,
формувати навички розв'язання задач за формулою Бернуллі,
розвивати основні розумові операції учнів: уміння порівнювати, аналізувати.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Форми роботи:фронтальна, індивідуальна, групова.

Обладнання:комп'ютер, презентації.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація знань

Згадаймо основні поняття та формули комбінаторики.

1. Що називається факторіалом числа n? (Це добуток перших натуральних n чисел від 1 до n.)
2. Скільки способами можна розставити 4 різні книги на полиці? (3! = 3 · 2 · 1. Це число перестановок з 3 елементів.)
3. Скільки можна розподілити I, II, III місця між 7 учасниками змагання? (7 · 6 · 5 = 210. Це число розміщень з 7 елементів по 3.)
4. Скільки способами можна скласти графік чергування 3 учнів з 5?