Наводиться висновок формул обчислення інтегралів від найпростіших, елементарних, дробів чотирьох типів. Більш складні інтеграли від дробів четвертого типу обчислюються за допомогою формули приведення. Розглянуто приклад інтегрування дробу четвертого типу.

Зміст

Див. також: Таблиця невизначених інтегралів
Методи обчислення невизначених інтегралів

Як відомо, будь-яку раціональну функцію від деякої змінної x можна розкласти на багаточлен та найпростіші, елементарні дроби. Є чотири типи найпростіших дробів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Тут a, A, B, b, c - дійсні числа. Рівняння x 2 + bx + c = 0не має дійсних коренів.

Інтегрування дробів перших двох типів

Інтегрування перших двох дробів виконується за допомогою наступних формул з таблиці інтегралів:
,
, n ≠ - 1 .

1. Інтегрування дробу першого типу

Дроб першого типу підстановкою t = x - a приводиться до табличного інтегралу:
.

2. Інтегрування дробу другого типу

Дроб другого типу приводиться до табличного інтегралу тією ж підстановкою t = x - a :

.

3. Інтегрування дробу третього типу

Розглянемо інтеграл від дробу третього типу:
.
Обчислюватимемо його в два прийоми.

3.1. Крок 1. Виділимо в чисельнику похідну знаменника

Виділимо в чисельнику дробу похідну від знаменника. Позначимо: u = x 2 + bx + c. Диференціюємо: u′ = 2 x + b
;
.
.
.
Тоді

Але
,
Ми опустили знак модуля, оскільки .
.

Тоді:

де
.

3.2. Крок 2. Обчислюємо інтеграл з A = 0, B = 1
,
Тепер обчислюємо інтеграл, що залишився:
Наводимо знаменник дробу до суми квадратів: 2 + bx + c = 0де.

Ми вважаємо, що рівняння x
,
.
.

не має коріння. Тому.
.

Зробимо підстановку

,
Тепер обчислюємо інтеграл, що залишився:

Отже,

Тим самим ми знайшли інтеграл від дробу третього типу:
.
4. Інтегрування дробу четвертого типу

І нарешті, розглянемо інтеграл від дробу четвертого типу:
.

Обчислюємо його у три прийоми.
.

4.1) Виділяємо в чисельнику похідну знаменника:
,
4.2) Обчислюємо інтеграл
.

4.3) Обчислюємо інтеграли

використовуючи формулу приведення: 2 + bx + c. Диференціюємо: u′ = 2 x + b
.

.
.
.

4.1. Крок 1. Виділення в чисельнику похідної знаменника
.

4.2. Крок 2. Обчислення інтегралу з n = 1

Обчислюємо інтеграл
.
Його обчислення викладено у .

4.3. Крок 3. Висновок формули наведення

Тепер розглянемо інтеграл
.

Наводимо квадратний тричлен до суми квадратів:
.
Тут.
Робимо підстановку.
.
.

Виконуємо перетворення та інтегруємо вроздріб.




.

Помножимо на 2(n - 1):
.
Повертаємося до x та I n .
,
;
;
.

Отже, для In ми отримали формулу приведення:
.
Послідовно застосовуючи цю формулу, ми зведемо інтеграл I n до I 1 .

приклад

Обчислити інтеграл

1. Виділимо в чисельнику похідну знаменника.
;
;


.
Тут
.

2. Обчислюємо інтеграл від найпростішого дробу.

.

3. Застосовуємо формулу наведення:

для інтегралу.
У нашому випадку b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. 2 Виписуємо цю формулу для n = 3 :
;
.
та n =

.

4.1. Крок 1. Виділення в чисельнику похідної знаменника

.
Звідси
.

Знаходимо коефіцієнт при .

Див. також: Нагадаємо, щодробово-раціональними

називають функції виду $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ у загальному випадку є ставленням двох багаточленів %%P_n(x)%% і %%Q_m(x)% %. Якщо %%m > n \geq 0%%, то раціональний дріб називаютьправильною

, інакше - неправильною. Використовуючи правило розподілу многочленів , неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена %%P_(n - m)%% ступеня %%n - m%% і деякого правильного дробу, тобто. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ де ступінь %%l%% багаточлена %%P_l(x)%% менше ступеня %%n%% багаточлена %%Q_n(x)%%.

Таким чином, невизначений інтеграл від раціональної функції можна уявити сумою невизначених інтегралів від багаточлена та від правильного раціонального дробу.

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до:

1. найпростішим раціональним дробам
2. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
3. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,

%%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

де %%k > 1%% — ціле та %%p^2 - 4q

Обчислення невизначених інтегралів від дробів перших двох типів

Обчислення невизначених інтегралів від дробів перших двох типів не викликає труднощів: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm (d) (x - a)) (x - a) = A \ ln | x - a | + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$

Дроб третього типу спочатку перетворимо, виділивши повний квадрат у знаменнику: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2/4), $$ так як %% p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, яке позначимо як %%a^2%%. Замінивши також %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, перетворимо знаменник і запишемо інтеграл від дробу третього типу у формі $$ \begin(array)(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(array) $$

Останній інтеграл, використовуючи лінійність невизначеного інтегралу, Представимо у вигляді суми двох і в першому з них введемо %%t%% під знак диференціала: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(At + (B - A p/2))(t^ 2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^2) + \left(B - \frac(pA)(2 )\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \int \frac(\mathrm(d)\left (t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Повертаючись до вихідної змінної %%x%%, у результаті для дробу третього типу отримуємо $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ де %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Обчислення інтеграла 4 типу складно, у цьому курсі не розглядається.

Завдання знаходження невизначеного інтеграла дробово-раціональної функції зводиться до інтегрування найпростіших дробів. Тому рекомендуємо спочатку ознайомитися з розділом теорії розкладання дробу на найпростіші.

приклад.

Знайти невизначений інтеграл.

Рішення.

Так як ступінь чисельника підінтегральної функції дорівнює ступеню знаменника, то для початку виділяємо цілу частину, проводячи поділ стовпчиком многочлена на многочлен:

Тому, .

Розкладання отриманого правильного раціонального дробу на найпростіші дроби має вигляд . Отже,

Отриманий інтеграл є інтегралом найпростішого дробу третього типу. Забігаючи трохи вперед, відзначимо, що взяти його можна шляхом підведення під знак диференціала.

Так як , то . Тому

Отже,

Тепер перейдемо до опису методів інтегрування найпростіших дробів кожного із чотирьох типів.

Інтегрування найпростіших дробів першого типу

Для вирішення цього завдання ідеально підходить метод безпосереднього інтегрування:

приклад.

Знайти безліч первісних функцій

Рішення.

Знайдемо невизначений інтеграл, використовуючи властивості первісної, таблицю первісних і правило інтегрування.

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів другого типу

Для вирішення цього завдання також підходить метод безпосереднього інтегрування:

приклад.

Рішення.

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів третього типу

Для початку уявляємо невизначений інтеграл у вигляді суми:

Перший інтеграл беремо методом підведення під знак диференціалу:

Тому,

У отриманого інтегралу перетворимо знаменник:

Отже,

Формула інтегрування найпростіших дробів третього типу набуває вигляду:

приклад.

Знайдіть невизначений інтеграл .

Рішення.

Використовуємо отриману формулу:

Якби в нас не було цієї формули, то як би ми вчинили:

На початок сторінки

Інтегрування найпростіших дробів четвертого типу

Перший крок – підводимо під знак диференціалу:

Другий крок – знаходження інтегралу виду . Інтеграли такого виду знаходяться з використанням рекурентних формул. (Дивіться розділ інтегрування з використанням рекурентних формул). Для нашого випадку підходить наступна рекурентна формула:

приклад.

Знайдіть невизначений інтеграл

Рішення.

Для цього виду підінтегральної функції використовуємо метод підстановки. Введемо нову змінну (дивіться розділ інтегрування ірраціональних функцій):

Після підстановки маємо:

Прийшли до знаходження інтеграла дробу четвертого типу. У нашому випадку маємо коефіцієнти М = 0, р = 0, q = 1, N = 1і n = 3. Застосовуємо рекурентну формулу:

Після зворотної заміни отримуємо результат:

Інтегрування тригонометричних функцій

1.Інтеграли виду обчислюються перетворенням добутку тригонометричних функцій у суму за формулами: Наприклад, 2.Інтеграли виду , де mабо n– непарне позитивне число, що обчислюються підведенням під знак диференціала. Наприклад, , де mі n 3.Інтеграли виду -парні позитивні числа, обчислюються за допомогою формул зниження ступеня: Наприклад, 4.Інтеграли де обчислюються заміною змінної: або Наприклад, 5.Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних дробів за допомогою універсальної тригонометричної підстановки тоді (т.к. = [після розподілу чисельника та знаменника на] = ; Наприклад,

Слід зауважити, що використання універсальної підстановки нерідко призводить до громіздких викладок.

§5. Інтегрування найпростіших ірраціональностей Розглянемо методи інтегрування найпростіших видів ірраціональностей. 2. (Під знаком інтеграла-раціональна функція аргументів). Інтеграли такого виду обчислюються за допомогою заміни. Зокрема, в інтегралах виду позначають . Якщо підінтегральна функція містить коріння різних ступенів: , то позначають , де n– найменше загальне кратне чисел m,k. приклад 1. приклад 2. – – – -Неправильний раціональний дріб, виділимо цілу частину: 3.Інтеграли виду

44

обчислюються за допомогою тригонометричних підстановок:

45 Певний інтегралВизначений інтеграл

- Адитивний монотонний нормований функціонал, заданий на множині пар, перша компонента яких є інтегрована функція або функціонал, а друга - область у множині завдання цієї функції (функціоналу).

Визначення , ,

Нехай визначено на . Розіб'ємо на частини з кількома довільними точками. Тоді кажуть, що зроблено розбиття відрізка Далі виберемо довільну точку

Певним інтегралом від функції на відрізку називається межа інтегральних сум при прагненні рангу розбиття до нуля, якщо існує незалежно від розбиття і вибору точок, тобто

Якщо існує зазначена межа, то функція називається інтегрованою за Ріманом.

Позначення

· - нижня межа.

· - верхня межа.

· - Підінтегральна функція.

· - · - Довжина часткового відрізка.інтегральна сума

· від функції на відповідному розбиття.

- максимальна довжина част.

Властивості

Якщо функція інтегрована по Риману на , вона обмежена у ньому.

Геометричний зміст

Певний інтеграл як площа постаті

Певний інтеграл чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої віссю абсцис, прямими та графіком функції .

Теорема Ньютона - Лейбніца

[ред.]

(перенаправлено з «Формула Ньютона-Лейбніца»)або Формула Ньютона - Лейбніцаосновна теорема аналізу

дає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла та обчисленням первісної.

Доведення

Нехай на відрізку задана інтегрована функція. Почнемо з того, що зазначимо, що

тобто немає ніякого значення, яка літера ( або ) стоїть під знаком у певному інтегралі по відрізку . Задамо довільне значення та визначимо нову функцію

(1)

. Вона визначена для всіх значень , тому що ми знаємо, що якщо існує інтеграл на , то існує також інтеграл від на , де . Нагадаємо, що ми вважаємо за визначенням

Зауважимо, що

Покажемо, що безперервна на відрізку . Справді, нехай; тоді

і якщо , то

На малюнку зображено графік. Площа змінної фігури дорівнює. Її збільшення дорівнює площі фігури , яка з обмеженості , очевидно, прагне нулю при незалежно від цього, чи буде точкою безперервності чи розриву , наприклад точкою .

Нехай тепер функція як інтегрована на , але безперервна у точці . Доведемо, що тоді має у цій точці похідну, рівну

(2)

Справді, для вказаної точки

(1) , (3)

Ми поклали , а так як постійна щодо , . Далі, з безперервності в точці для кожного можна вказати таке, що для .

що доводить, що ліва частина цієї нерівності є про(1) при .

Перехід до межі в (3) показує існування похідної від у точці і справедливість рівності (2). При цьому йдеться відповідно про праву і ліву похідну.

Якщо функція безперервна на , то на підставі доведеного вище відповідна їй функція

(4)

має похідну, рівну. Отже, функція є первісна для .

Цей висновок іноді називається теорема про інтеграл зі змінною верхньою межею або теорема Барроу.

Ми довели, що довільна безперервна на відрізку функція має у цьому відрізку первісну, визначену рівністю (4). Цим доведено існування первісної для будь-якої безперервної на відрізку функції.

Нехай тепер є довільна первісна функція на . Ми знаємо, що де - деяка постійна. Вважаючи у цій рівності і враховуючи, що , отримаємо .

Таким чином, . Але

Невласний інтеграл

Теорема Ньютона - Лейбніца

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

45 Певний інтегралназивається невласним, якщо виконується принаймні одна з наступних умов:

· Межа a або b (або обидві межі) є нескінченними;

· Функція f(x) має одну або кілька точок розриву всередині відрізка.

[ред.] Невласні інтеграли I роду

. Тоді:

1. Якщо та інтеграл називається . В цьому випадку називається схожим.

, або просто розбіжним.

Нехай визначена і безперервна на безлічі від і . Тоді:

1. Якщо , то використовується позначення та інтеграл називається невласним інтегралом Рімана першого роду. В цьому випадку називається схожим.

2. Якщо немає кінцевого ( або ), то інтеграл називається розбіжним до , або просто розбіжним.

Якщо функція визначена і безперервна на всій числовій прямій, то може існувати невласний інтеграл цієї функції з двома нескінченними межами інтегрування, що визначається формулою:

, де с - довільне число.

Теорема Ньютона - Лейбніца Геометричний зміст невласного інтегралу I роду

Невласний інтеграл висловлює площу нескінченно довгої криволінійної трапеції.

Теорема Ньютона - Лейбніца Приклади

[ред.] Невласні інтеграли II роду

Нехай визначена на , терпить нескінченний розрив у точці x=a . Тоді:

1. Якщо , то використовується позначення та інтеграл називається

називається розбіжним до , або просто розбіжним.

Нехай визначена на , терпить нескінченний розрив при x=b . Тоді:

1. Якщо , то використовується позначення та інтеграл називається невласним інтегралом Рімана другого роду. У цьому випадку інтеграл називається схожим.

2. Якщо або , то позначення зберігається, а називається розбіжним до , або просто розбіжним.

Якщо функція зазнає розриву у внутрішній точці відрізка , то невласний інтеграл другого роду визначається формулою:

Теорема Ньютона - Лейбніца Геометричний зміст невласних інтегралівІІ роду

Невласний інтеграл висловлює площу нескінченно високої криволінійної трапеції

Теорема Ньютона - Лейбніца приклад

[ред.] Окремий випадок

Нехай функція визначена по всій числовій осі і має розрив у точках.

Тоді можна знайти невласний інтеграл

[ред.]Критерій Коші

1. Нехай визначено на безлічі від і .

Тоді сходиться

2. Нехай визначено на і .

Тоді сходиться

[ред.] Абсолютна збіжність

Інтеграл називається абсолютно схожим, якщо сходиться.
Якщо інтеграл сходиться абсолютно, він сходиться.

[ред.] Умовна збіжність

Інтеграл називається умовно схожим, якщо сходиться, а розходиться.

48 12. Невласні інтеграли.

При розгляді певних інтегралів ми припускали, що область інтегрування обмежена (конкретніше, є відрізком [ a ,b ]); для існування певного інтеграла необхідна обмеженість підінтегральної функції на [ a ,b ]. Будемо називати певні інтеграли, Для яких виконуються обидві ці умови (обмеженість і області інтегрування, і підінтегральної функції) власними; інтеграли, для яких порушуються ці вимоги (тобто необмежена або підінтегральна функція, або область інтегрування, або і те, й інше разом) невласними. У цьому розділі ми вивчимо невласні інтеграли.

• 12.1. Невласні інтеграли по необмеженому проміжку (невласні інтеграли першого роду).
• 12.1.1. Визначення невласного інтеграла по нескінченному проміжку. приклади.
• 12.1.2. Формула Ньютона-Лейбніца для невласного інтеграла.
• 12.1.3. Ознаки порівняння для невід'ємних функцій.
• 12.1.3.1. Ознака порівняння.
• 12.1.3.2. Ознака порівняння у граничній формі.
• 12.1.4. Абсолютна збіжність невласних інтегралів по безкінечному проміжку.
• 12.1.5. Ознаки збіжності Абеля та Діріхле.
• 12.2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).
• 12.2.1. Визначення невласного інтегралу від необмеженої функції.
• 12.2.1.1. Особливість на лівому кінці проміжку інтегрування.
• 12.2.1.2. Застосування формули Ньютона-Лейбніца.
• 12.2.1.3. Особливість правому кінці проміжку інтегрування.
• 12.2.1.4. Особливість у внутрішній точці проміжку інтегрування.
• 12.2.1.5. Декілька особливостей на проміжку інтегрування.
• 12.2.2. Ознаки порівняння для невід'ємних функцій.
• 12.2.2.1. Ознака порівняння.
• 12.2.2.2. Ознака порівняння у граничній формі.
• 12.2.3. Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів від розривних функцій.
• 12.2.4. Ознаки збіжності Абеля та Діріхле.

12.1. Невласні інтеграли по необмеженому проміжку

(невласні інтеграли першого роду).

12.1.1. Визначення невласного інтеграла по нескінченному проміжку. Нехай функція f (x ) визначена на півосі та інтегрована по будь-якому відрізку [ від, маючи на увазі у кожному з цих випадків існування та кінцівку відповідних меж. Тепер рішення прикладів виглядають більш просто: .

12.1.3. Ознаки порівняння для невід'ємних функцій. У цьому розділі ми припускатимемо, що всі підінтегральні функції невід'ємні по всій області визначення. Досі ми визначали збіжність інтеграла, обчислюючи його: якщо існує кінцева межа первісної при відповідному прагненні ( або ), то інтеграл сходиться, інакше - розходиться. При вирішенні практичних завдань, однак, важливо в першу чергу встановити сам факт збіжності, і тільки потім обчислювати інтеграл (до того ж, першорядна часто не виражається через елементарні функції). Сформулюємо та доведемо ряд теорем, які дозволяють встановлювати збіжність та розбіжність невласних інтегралів від невід'ємних функцій, не обчислюючи їх.
12.1.3.1. Ознака порівняння. Нехай функції f (x ) та g (x ) інтегр

Розглянуто приклади інтегрування раціональних функцій (дробів) із докладними рішеннями.

Зміст

Див. також: Коріння квадратного рівняння

Тут ми наводимо докладні рішення трьох прикладів інтегрування наступних раціональних дробів:
, , .

Приклад 1

Обчислити інтеграл:
.

Тут під знаком інтеграла стоїть раціональна функція, оскільки підінтегральний вираз є дробом із багаточленів. Ступінь багаточлена знаменника ( 3 ) менше ступеня багаточлена чисельника ( 4 ). Тому спочатку необхідно виділити цілу частину дробу.

1. Виділимо цілу частину дробу. Ділимо x 4 на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


та n =
.

2. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно розв'язати кубічне рівняння:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Підставимо x = 1 :
.

1 . 1 :

та n =
.
Ділимо на x - Вирішуємо.
.
квадратне рівняння
Коріння рівняння: , .
.

3. Тоді

.

Розкладемо дріб на найпростіші.
.
Отже, ми знайшли:

Інтегруємо.

Обчислити інтеграл:
.

Тут у чисельнику дробу - багаточлен нульового ступеня ( 1 = x 0). У знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки 0 < 3 , то дріб правильний. Розкладемо її на найпростіші дроби.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 3 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 3, -1, -3 .
Підставимо x = 1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = 1 . Ділимо x 3 + 2 x - 3 1 :

на x -
.

Отже,
Вирішуємо квадратне рівняння: x.
2+x+3=0 Знаходимо дискримінант: D = 1 2 - 4 · 3 = -11< 0 .
.

2.
.
Оскільки D:
(2.1) .
Підставимо x = 1 , то рівняння не має дійсних коренів. Таким чином, ми отримали розкладання знаменника на множники: 1 = 0 ,
.

(x - 1) (x 2 + x + 3) (2.1) . 0 :
Тоді x -;
.

Підставимо в (2.1) x = 2 :
;
1 = 3 A - C;
.

.

3. Отже, ми знайшли:
(2.2) .
Прирівняємо в

;
;
.

коефіцієнти при x 2 .


.
0 = A + B xДля обчислення другого інтеграла, виділимо в чисельнику похідну знаменника і наведемо знаменник до суми квадратів. Обчислюємо IОскільки рівняння x

не має дійсних коренів, то x (2.2) :
.

2 + x + 3 > 0

Обчислити інтеграл:
.

. 3 Тому знак модуля можна опустити. 4 Поставляємо в 3 < 4 Приклад 3

1. Тут під знаком інтеграла стоїть дріб із багаточленів. Тому підінтегральний вираз є раціональною функцією. Ступінь многочлена в чисельнику дорівнює
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = -1 . .:


на x -
.

Ступінь многочлена знаменника дробу дорівнює
.
. 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Оскільки -1 , то дріб правильний. Тому її можна розкладати на найпростіші дроби. Але для цього потрібно розкласти знаменник на множники.
.

Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння четвертого ступеня: 2 + 2 = 0 (-1) = x + 1
.

2. Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має цілий корінь, він є дільником числа Отже, ми знайшли ще один корінь x =:
(3.1) .
Підставимо x = -1 . 1 = 0 ,
.

Можна було б, як і в попередньому випадку, розділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени: (3.1) :

;

.
Підставимо x = -1 Оскільки рівняння x 1 = 0 :
;
; .

(x - 1) (x 2 + x + 3) (3.1) . 0 :
не має дійсних коренів, то ми отримали розкладання знаменника на множники:;
.

Підставимо в (3.1) x = 3 :
;
Розкладемо дріб на найпростіші. Шукаємо розкладання у вигляді:;
.

Звільняємося від знаменника дробу, множимо на
.

3. Отже, ми знайшли:


.

Знаходимо коефіцієнт при .

(x + 1) 2 (x 2 + 2)
.

Продовжуємо займатися інтегруванням дробів. Інтеграли від деяких видів дробів ми вже розглянули на уроці, і цей урок у певному сенсі можна вважати продовженням. Для успішного розуміння матеріалу необхідні базові навички інтегрування, тому якщо Ви тільки приступили до вивчення інтегралів, тобто є чайником, то необхідно почати зі статті Невизначений інтеграл. Приклади рішень.

Як не дивно, зараз ми займатимемося не так знаходженням інтегралів, як… вирішенням систем лінійних рівнянь. В зв'язку з цим наполегливорекомендую відвідати урок А саме – потрібно добре орієнтуватися в методах підстановки («шкільному» методі та методі почленного складання (віднімання) рівнянь системи).

Що таке дрібно-раціональна функція? Простими словами, дробово-раціональна функція – це дріб, у чисельнику і знаменнику якої перебувають багаточлени чи твори многочленов. При цьому дроби є накрученішими, ніж ті, про які йшлося у статті Інтегрування деяких дробів.

Інтегрування правильної дробово-раціональної функції

Відразу приклад і типовий алгоритм розв'язання інтеграла від дрібно-раціональної функції.

Приклад 1

Крок 1.Перше, що ми ЗАВЖДИ робимо при вирішенні інтегралу від дрібно-раціональної функції – це з'ясовуємо наступне питання: чи є дріб правильним?Цей крок виконується усно, і зараз я поясню як:

Спочатку дивимося на чисельник та з'ясовуємо старший ступіньбагаточлена:

Старший ступінь чисельника дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник та з'ясовуємо старший ступіньзнаменника. Напрошуваний шлях - це розкрити дужки і привести подібні доданки, але можна зробити простіше, кожноюдужці знаходимо старший ступінь

і подумки множимо: - таким чином, старший ступінь знаменника дорівнює трьом. Цілком очевидно, що якщо реально розкрити дужки, то ми не отримаємо ступеня більше трьох.

Висновок: Старший ступінь чисельника СТРОГОменше старшого ступеня знаменника, отже, дріб є правильним.

Якби в цьому прикладі в чисельнику знаходився багаточлен 3, 4, 5 і т.д. ступеня, то дріб був би неправильною.

Зараз ми розглядатимемо лише правильні дробово-раціональні функції. Випадок, коли ступінь чисельника більший або дорівнює ступеню знаменника, розберемо наприкінці уроку.

Крок 2Розкладемо знаменник на множники. Дивимося на наш знаменник:

Взагалі кажучи, тут уже добуток множників, але, тим не менш, запитуємо себе: чи не можна щось розкласти ще? Об'єктом тортур, безперечно, виступить квадратний тричлен. Вирішуємо квадратне рівняння:

Дискримінант більший за нуль, отже, тричлен дійсно розкладається на множники:

Загальне правило: ВСЕ, що в знаменнику МОЖНА розкласти на множники - розкладаємо на множники

Починаємо оформляти рішення:

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладаємо підінтегральну функцію на суму простих (елементарних) дробів. Нині буде зрозуміліше.

Дивимося на нашу підінтегральну функцію:

І, знаєте, якось проскакує інтуїтивна думка, що непогано б наш великий дріб перетворити на кілька маленьких. Наприклад, ось так:

Виникає питання, а чи взагалі можна так зробити? Зітхнемо з полегшенням, відповідна теорема математичного аналізу стверджує – МОЖНА. Таке розкладання існує і єдино.

Тільки є одна заковика, коефіцієнти ми Бувайне знаємо, звідси й назва метод невизначених коефіцієнтів.

Як ви здогадалися, наступні рухи тіла так, не реготати! будуть спрямовані на те, щоб якраз їх ДІЗНАТИСЯ – з'ясувати, чому ж рівні.

Будьте уважні, докладно пояснюю один раз!

Отже, починаємо танцювати від:

У лівій частині наводимо вираз до спільного знаменника:

Тепер благополучно позбавляємося від знаменників (бо вони однакові):

У лівій частині розкриваємо дужки, невідомі коефіцієнти при цьому поки не чіпаємо:

Заодно повторюємо шкільне правило множення багаточленів. У свій час учителем, я навчився вимовляти це правило з кам'яним обличчям: Щоб помножити многочлен на многочлен потрібно кожен член одного многочлена помножити кожен член іншого многочлена.

З точки зору зрозумілого пояснення коефіцієнти краще внести в дужки (хоча особисто я ніколи цього не роблю з метою економії часу):

Складаємо систему лінійних рівнянь.
Спочатку розшукуємо старші ступені:

І записуємо відповідні коефіцієнти у перше рівняння системи:

Добре запам'ятайте наступний нюанс. Що було б, якби у правій частині взагалі не було? Скажімо, красувалося б просто без жодного квадрата? І тут у рівнянні системи треба було поставити праворуч нуль: . Чому нуль? А тому що в правій частині завжди можна приписати цей квадрат з нулем: Якщо в правій частині відсутні якісь змінні або (і) вільний член, то в правих частинах відповідних рівнянь системи ставимо нулі .

Записуємо відповідні коефіцієнти до другого рівняння системи:

І, зрештою, мінералка, підбираємо вільні члени.

Ех, ... щось я пожартував. Жарти геть – математика наука серйозна. У нас в інститутській групі ніхто не сміявся, коли доцент сказала, що розкидає члени по числовій прямій і вибере з них найбільші. Налаштовуємось на серйозний лад. Хоча, хто доживе до кінця цього уроку, все одно буде тихо посміхатися.

Система готова:

Вирішуємо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо і підставляємо його у 2-е та 3-е рівняння системи. Насправді можна було висловити (або іншу літеру) з іншого рівняння, але в даному випадку вигідно виразити саме з 1-го рівняння, бо там найменші коефіцієнти.

(2) Наводимо подібні доданки у 2-му та 3-му рівняннях.

(3) Почленно складаємо 2 і 3 рівняння, при цьому, отримуючи рівність , з якого випливає, що

(4) Підставляємо у друге (або третє) рівняння, звідки знаходимо, що

(5) Підставляємо і перше рівняння, отримуючи .

Якщо виникли труднощі з методами вирішення системи, відпрацюйте їх на уроці Як розв'язати систему лінійних рівнянь?

Після вирішення системи завжди корисно зробити перевірку – підставити знайдені значення у кожнерівняння системи, в результаті все має зійтися.

Майже приїхали. Коефіцієнти знайдені, причому:

Чистове оформлення завдання має виглядати приблизно так:

Як бачите, основна проблема завдання полягала в тому, щоб скласти (правильно!) і вирішити (правильно!) систему лінійних рівнянь. А на завершальному етапі все не так складно: використовуємо властивості лінійності невизначеного інтеграла та інтегруємо. Звертаю увагу, що під кожним із трьох інтегралів у нас «халявна» складна функція, про особливості її інтегрування я розповів на уроці Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Перевірка: Диференціюємо відповідь:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдено правильно.
У ході перевірки довелося висловлюватися до спільного знаменника, і це не випадково. Метод невизначених коефіцієнтів та приведення виразу до спільного знаменника – це взаємно зворотні дії.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл.

Повернемося до дробу з першого прикладу: . Неважко помітити, що в знаменнику всі множники РІЗНІ. Виникає питання, а що робити, якщо даний, наприклад, такий дріб: ? Тут у знаменнику у нас ступеня, або, по-математично кратні множники. Крім того, є нерозкладний на множники квадратний тричлен (легко переконатися, що дискримінант рівняння негативний, тому на множники тричленів ніяк не розкласти). Що робити? Розклад у суму елементарних дробів виглядатиме на кшталт з невідомими коефіцієнтами вгорі чи якось інакше?

Приклад 3

Уявити функцію

Крок 1.Перевіряємо, чи правильний у нас дріб
Старший ступінь чисельника: 2
Старший ступінь знаменника: 8
Отже, дріб є правильним.

Крок 2Чи можна щось розкласти у знаменнику на множники? Очевидно, що ні, вже все розкладено. Квадратний тричлен не розкладається у твір із зазначених вище причин. Гуд. Роботи менші.

Крок 3Подаємо дробово-раціональну функцію у вигляді суми елементарних дробів.
В даному випадку, розкладання має такий вигляд:

Дивимося на наш знаменник:
При розкладанні дробово-раціональної функції на суму елементарних дробів можна назвати три важливих момента:

1) Якщо в знаменнику знаходиться «самотній» множник у першому ступені (у нашому випадку), то вгорі ставимо невизначений коефіцієнт (у нашому випадку). Приклади №1,2 складалися лише з таких «одиноких» множників.

2) Якщо у знаменнику є кратниймножник, то розкладати потрібно так:
– тобто послідовно перебрати всі ступені «ікса» від першого до енного ступеня. У нашому прикладі два кратні множники: і ще раз погляньте на наведене мною розкладання і переконайтеся, що вони розкладені саме за цим правилом.

3) Якщо знаменнику знаходиться нерозкладний многочлен другого ступеня (у разі ), то при розкладанні в чисельнику потрібно записати лінійну функцію з невизначеними коефіцієнтами (у разі з невизначеними коефіцієнтами і ).

Насправді є ще 4-й випадок, але про нього я замовчу, оскільки на практиці він зустрічається вкрай рідко.

Приклад 4

Уявити функцію у вигляді суми елементарних дробів із невідомими коефіцієнтами.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Строго дотримуйтесь алгоритму!

Якщо Ви розібралися, за якими принципами потрібно розкладати дробову раціональну функцію в суму, то зможете розгризти практично будь-який інтеграл типу, що розглядається.

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Крок 1.Очевидно, що дріб є правильним:

Крок 2Чи можна щось розкласти у знаменнику на множники? Можна, можливо. Тут сума кубів . Розкладаємо знаменник на множники, використовуючи формулу скороченого множення

Крок 3Методом невизначених коефіцієнтів розкладемо підінтегральну функцію на суму елементарних дробів:

Зверніть увагу, що багаточлен нерозкладний на множники (перевірте, що дискримінант негативний), тому вгорі ми ставимо лінійну функцію з невідомими коефіцієнтами, а не просто одну літеру.

Наводимо дріб до спільного знаменника:

Складемо і вирішимо систему:

(1) З першого рівняння виражаємо і підставляємо на друге рівняння системи (це найбільш раціональний спосіб).

(2) Наводимо подібні доданки у другому рівнянні.

(3) Почленно складаємо друге та третє рівняння системи.

Усі подальші розрахунки, у принципі, усні, оскільки система нескладна.

(1) Записуємо суму дробів відповідно до знайдених коефіцієнтів .

(2) Використовуємо властивості лінійності невизначеного інтегралу. Що сталося у другому інтегралі? З цим методом Ви можете ознайомитись в останньому параграфі уроку Інтегрування деяких дробів.

(3) Ще раз використовуємо властивості лінійності. У третьому інтегралі починаємо виділяти повний квадрат (передостанній параграф уроку Інтегрування деяких дробів).

(4) Беремо другий інтеграл, у третьому – виділяємо повний квадрат.

(5) Беремо третій інтеграл. Готово.