Невизначений м інтеграл поняття та властивості. Найпростіші властивості інтегралів. Вивчаємо поняття «інтеграл»

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

Рішення інтегралів – завдання легке, але лише обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли?

Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати найпростіші та інші інтеграли і чому без цього не можна обійтися в математиці.

Вивчаємо поняття « інтеграл »

Інтегрування було відоме ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася.

Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про , необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первинні елементарні функції, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями.

Повна таблиця інтегралів для студентів

Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл - це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції.

Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції? За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

« Інтеграл »

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішити невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості невизначеного інтегралу, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює суміінтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо невизначений інтеграл та приклади з рішенням. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться в професійний сервіс для студентів, і будь-який потрійний або криволінійний інтегралпо замкнутій поверхні стане вам під силу.

Дані властивості використовуються для здійснення перетворень інтеграла з метою його приведення до одного з елементарних інтегралів та подальшого обчислення.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціалу деякої функції дорівнює сумі цієї функції та довільній постійній:

4. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

Причому a ≠ 0

5. Інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

6. Властивість є комбінацією властивостей 4 та 5:

Причому a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Властивість інваріантності невизначеного інтеграла:

Якщо то

8. Властивість:

Якщо то

Фактично дана властивість є окремим випадком інтегрування за допомогою методу заміни змінної , який більш докладно розглянутий у наступному розділі.

Розглянемо приклад:

Спочатку ми застосували властивість 5, потім властивість 4, скористалися таблицею первісних і отримали результат.

Алгоритм нашого онлайн калькулятора інтегралів підтримує всі перелічені вище властивості і легко знайде докладне рішення для вашого інтеграла.

Ця стаття докладно розповідає про основні властивості певного інтегралу. Вони доводяться з допомогою поняття інтеграла Рімана і Дарбу. Обчислення певного інтеграла проходить завдяки 5 властивостям. Ті, що залишилися, застосовуються для оцінювання різних виразів.

Перед переходом до основних властивостей певного інтеграла необхідно переконатися в тому, що a не перевищує b .

Основні властивості певного інтегралу

Визначення 1

Функція y = f (x) , визначена при х = а, аналогічно до справедливої ​​рівності ∫ a a f (x) d x = 0 .

Доказ 1

Звідси бачимо, що значення інтеграла з збігаються межами дорівнює нулю. Це наслідок інтеграла Рімана, тому що кожна інтегральна сума для будь-якого розбиття на проміжку [ a ; a ] і будь-якого вибору точок ζ i дорівнює нулю, тому як x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. . . , n , отже, отримуємо, що межа інтегральних функцій – нуль.

Визначення 2

Для функції, що інтегрується на відрізку [a; b ] , виконується умова ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x .

Доказ 2

Інакше висловлюючись, якщо змінити верхню і нижню межу інтегрування місцями, то значення інтеграла змінить значення протилежне. Ця властивість взята з інтеграла Рімана. Однак, нумерація розбиття відрізка йде з точки x = b.

Визначення 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x застосовується для інтегрованих функцій типу y = f (x) та y = g (x) , визначених на відрізку [a; b].

Доказ 3

Записати інтегральну суму функції y = f (x) ± g (x) для розбиття на відрізки з даним вибором точок ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

де f і g є інтегральними сумами функцій y = f (x) і y = g (x) для розбиття відрізка. Після переходу до межі при λ = m a x i = 1, 2,. . . , n (x i - x i - 1) → 0 отримуємо, що lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

З визначення Рімана цей вислів є рівносильним.

Визначення 4

Винесення постійного множника за знак певного інтегралу. Інтегрована функція з інтервалу [a; b] з довільним значенням k має справедливу нерівність виду ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Доказ 4

Доказ якості певного інтеграла аналогічно попередньому:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (xi - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (xi - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Визначення 5

Якщо функція виду y = f (x) інтегрована на інтервалі x з a ∈ x , b ∈ x , отримуємо, що ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Доказ 5

Властивість вважається справедливою для c ∈ a; b для c ≤ a і c ≥ b . Доказ проводиться аналогічно до попередніх властивостей.

Визначення 6

Коли функція може бути інтегрованою з відрізка [a; b], тоді це можна здійснити для будь-якого внутрішнього відрізка c; d ∈ a; b.

Доказ 6

Доказ ґрунтується на властивості Дарбу: якщо у наявного розбиття відрізка зробити додавання точок, тоді нижня сума Дарбу не зменшуватиметься, а верхня не збільшуватиметься.

Визначення 7

Коли функція інтегрована на [a; b ] з f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 за будь-якого значення x ∈ a ; b , тоді одержуємо, що ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Властивість може бути доведена за допомогою визначення інтеграла Рімана: будь-яка інтегральна сума для будь-якого вибору точок розбиття відрізка і точок ζ i з умовою, що f(x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 отримуємо невід'ємною.

Доказ 7

Якщо функції y = f(x) і y = g(x) інтегруються на відрізку [a; b], тоді такі нерівності вважаються справедливими:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , якщо f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , якщо f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Завдяки твердженню знаємо, що інтегрування допустиме. Цей слідство буде використано в доказі інших властивостей.

Визначення 8

При інтегрованій функції y = f (x) з відрізка [a; b ] маємо справедливу нерівність виду ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Доказ 8

Маємо, що - f(x) ≤ f(x) ≤ f(x) . З попередньої властивості отримали, що нерівність може бути інтегрована почленно і відповідає нерівність виду - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Ця подвійна нерівність може бути записана в іншій формі: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Визначення 9

Коли функції y = f(x) та y = g(x) інтегруються з відрізка [a; b] при g (x) ≥ 0 при будь-якому x ∈ a; b , одержуємо нерівність виду m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , де m = min x ∈ a ; b f (x) і M = m a x x ∈ a; bf(x).

Доказ 9

Аналогічним чином провадиться доказ. M і m вважаються найбільшим і найменшим значенням функції y = f(x), визначеної з відрізка [a; b], тоді m ≤ f (x) ≤ M . Необхідно помножити подвійну нерівність на функцію y = g(x), що дасть значення подвійної нерівності виду m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Необхідно проінтегрувати його на відрізку [a; b], тоді отримаємо твердження, що доводиться.

Наслідок: При g (x) = 1 нерівність набуває вигляду m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Перша формула середнього значення

Визначення 10

При y = f (x) інтегрована на відрізку [a; b] з m = m i n x ∈ a; b f (x) і M = m a x x ∈ a; b f (x) є число μ ∈ m; M , яке підходить ∫ a b f (x) d x = μ · b - a.

Наслідок: Коли функція y = f(x) безперервна з відрізка [a; b ] , є таке число c ∈ a ; b , яка задовольняє рівності ∫ a b f (x) d x = f (c) · b - a.

Перша формула середнього значення в узагальненій формі

Визначення 11

Коли функції y = f (x) і y = g (x) інтегруються з відрізка [ a ; b] з m = m i n x ∈ a; b f (x) і M = m a x x ∈ a; b f (x) , а g (x) > 0 за будь-якого значення x ∈ a ; b. Звідси маємо, що число μ ∈ m ; M , яка задовольняє рівності ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Друга формула середнього значення

Визначення 12

Коли функція y = f (x) є інтегрованою з відрізка [a; b], а y = g (x) є монотонною, тоді є число, яке c ∈ a; b , де одержуємо справедливу рівність виду ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Нехай функція y = f(x) визначена на відрізку [ a, b ], a < b. Виконаємо такі операції:

1) розіб'ємо [ a, b] точками a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b на nчасткових відрізків [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) у кожному з часткових відрізків [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, виберемо довільну точку та обчислимо значення функції у цій точці: f(z i ) ;

3) знайдемо твори f(z i ) · Δ x i , де - Довжина часткового відрізка [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) складемо інтегральну сумуфункції y = f(x) на відрізку [ a, b ]:

З геометричної точки зору ця сума σ є сумою площ прямокутників, основи яких – часткові відрізки [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], а висоти рівні f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) відповідно (рис. 1). Позначимо через λ довжину найбільшого часткового відрізка:

5) знайдемо межу інтегральної суми, коли λ → 0.

Визначення.Якщо існує кінцева межа інтегральної суми (1) і вона не залежить ні від способу розбиття відрізка [ a, b] на часткові відрізки, ні від вибору точок z iв них, то ця межа називається певним інтеграломвід функції y = f(x) на відрізку [ a, b] і позначається

Таким чином,

У цьому випадку функція f(x) називається інтегрованоїна [ a, b]. Числа aі bназиваються відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування, f(x) - підінтегральною функцією, f(x ) dx- підінтегральним виразом, x– змінної інтегрування; відрізок [ a, b] називається проміжком інтегрування.

Теорема 1.Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b], вона інтегрована у цьому відрізку.

Певний інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

Якщо a > b, то, за визначенням, вважаємо

2. Геометричний зміст певного інтегралу

Нехай на відрізку [ a, b] задана безперервна невід'ємна функція y = f(x ) . Криволінійною трапецієюназивається фігура, обмежена зверху графіком функції y = f(x) , знизу – віссю Ох, зліва та справа – прямими x = aі x = b(Рис. 2).

Певний інтеграл від невід'ємної функції y = f(x) з геометричної точки зору дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції y = f(x) , ліворуч і праворуч – відрізками прямих x = aі x = b, знизу - відрізком осі Ох.

3. Основні властивості певного інтегралу

1. Значення певного інтеграла залежить від позначення змінної інтегрування:

2. Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу:

3. Певний інтеграл від суми алгебри двох функцій дорівнює сумі алгебри певних інтеграліввід цих функцій:

4.Якщо функція y = f(x) інтегрована на [ a, b] та a < b < c, то

5. (теорема про середнє). Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b], то на цьому відрізку існує точка, така, що

4. Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема 2.Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] та F(x) – якась її первісна на цьому відрізку, то справедлива наступна формула:

яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.Різниця F(b) - F(a) прийнято записувати так:

де символ називається знаком подвійної підстановки.

Таким чином, формулу (2) можна записати у вигляді:

приклад 1.Обчислити інтеграл

Рішення. Для підінтегральної функції f(x ) = x 2 довільна первісна має вигляд

Так як у формулі Ньютона-Лейбніца можна використовувати будь-яку первісну, то для обчислення інтеграла візьмемо первісну, що має найпростіший вигляд:

5. Заміна змінної у певному інтегралі

Теорема 3.Нехай функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b]. Якщо:

1) функція x = φ ( t) та її похідна φ "( t) безперервні при ;

2) безліччю значень функції x = φ ( t) при є відрізок [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, то справедлива формула

яка називається формулою заміни змінної у певному інтегралі .

На відміну від невизначеного інтеграла, у разі немає необхідностіповертатися до вихідної змінної інтегрування – достатньо лише знайти нові межі інтегрування α та β (для цього треба вирішити щодо змінної tрівняння φ ( t) = aта φ ( t) = b).

Замість підстановки x = φ ( t) можна використовувати підстановку t = g(x). У цьому випадку знаходження нових меж інтегрування за змінною tспрощується: α = g(a) , β = g(b) .

Приклад 2. Обчислити інтеграл

Рішення. Введемо нову змінну за формулою. Звівши в квадрат обидві частини рівності, отримаємо 1 + x = t 2 , звідки x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Знаходимо нові межі інтегрування. Для цього у формулу підставимо старі межі x = 3 та x = 8. Отримаємо: , звідки t= 2 та α = 2; , звідки t= 3 і β = 3. Отже,

приклад 3.Обчислити

Рішення. Нехай u= ln xтоді , v = x. За формулою (4)