Risinājumiem tiek piemērota apvērsuma teorēma. Vieta teorēma kvadrātveida un citiem līmeņiem. Vjeta teorēmas nozīmes

Vieta teorēma (precīzāk, teorēma pārvērsta par Vjeta teorēmu) ļauj paātrināt stundu kvadrātveida rindu risināšanai. Tikai jums tas ir jāizmanto. Kā jūs varat iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus, izmantojot Vjeta teorēmu? Tas ir neērti, ja tikai nedaudz izgaist.

Tagad mēs runājam tikai par Vjeta teorēmas par inducēto kvadrātu izlīdzināšanu risinājumu. kvadrātveida mērs- Ceremonija, kurā a ir koeficients x ² priekšā, cienījama vienība. Ir iespējams arī aprēķināt kvadrātvienādojumu aiz Vjeta teorēmas, taču jau ir vismaz viena no saknēm, nevis vesels skaitlis. To ir vieglāk uzminēt.

Teorēma, kas ietīta Vjeta teorēmā, saka: tā kā skaitļi x1 un x2 ir tādi, ka

tad x1 un x2 ir kvadrāta sakne vienādi

Ja kvadrātvienādojums ir piesaistīts Vjeta teorēmai, ir tikai 4 iespējas. Ja atceraties merkuvana procesu, izrādās, ka visu sakni var ātri iemācīties.

I. Tā kā q ir pozitīvs skaitlis,

Tas nozīmē, ka sakne x1 un x2 ir vienas zīmes skaitļi (biežāk, reizinot skaitļus ar vienādām zīmēm, rodas pozitīvs skaitlis).

I.a. Yakshcho -p ir pozitīvs skaitlis, (acīmredzot, lpp<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Jakščo -p - Es redzu numuru, (acīmredzot, p>0), tad saknes ir negatīvi skaitļi (saskaitījām vienas zīmes skaitļus, atņēmām negatīvo skaitli).

II. Tā kā q ir skaitlis,

Tas nozīmē, ka saknei x1 un x2 ir dažādas zīmes (reizinot skaitļus, skaitlis iznāks mazāk, ja zīmes atšķiras). Šajā gadījumā x1+x2 vairs nav summa, bet gan starpība (pat saskaitot skaitļus ar ar dažādām zīmēm mēs redzam lielāko aiz mazākā moduļa). Tāpēc x1+x2 parāda, cik sakņu x1 un x2 ir sadalītas, tas ir, ar cik viena sakne ir lielāka par otru (katram modulim).

II.a. Yakshcho -p ir pozitīvs skaitlis, (Tobto lpp<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Yakscho -p — negatīvs skaitlis, (p>0), tad lielākā (ārpus moduļa) sakne ir skaitlis.

Apskatīsim kvadrātvienādojumu attiecības aiz Vieta teorēmas par dibeniem.

Kvadrāts ir vienāds ar Vietas teorēmu:

Šeit q=12>0, tāpēc sakne x1 un x2 ir vienas zīmes skaitļi. To summa ir dārgāka par -p=7>0, tāpēc apvainojuma saknes ir pozitīvi skaitļi. Mēs izvēlamies veselu skaitli, kas ir vienāds ar 12. Summa ir 1 un 12, 2 un 6, 3 un 4. Likmei 3 un 4 summa ir vienāda ar 7. Arī 3 un 4 ir vienāda sakne.

Šajā gadījumā q=16>0, tāpēc sakne x1 un x2 ir vienas zīmes skaitļi. Svētais sūds -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Šeit q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, tad vairāk ir pozitīvs. Nu sakne ir 5 un -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Kvadrātiem vienādiem ir zems veiktspējas koeficients. Galvenās atšķirības ir starp sakni un koeficientiem. Tāpat kvadrātvienādojumiem ir vairākas attiecības, kā norādīts Vietas teorēmā.

Šajā tēmā mēs iepazīstināsim ar pašu Vjeta teorēmu un tās pierādījumu kvadrātvienādojumam, teorēmu, kas ietīta Vjeta teorēmā, un apsvērsim vairākus lietojumus problēmu risināšanai. Īpaša uzmanība materiālā tiks pievērsta Vjeta formulu izskatīšanai, kas veido savienojumus starp algebras aktīvajām saknēm. n un tā koeficienti.

Vjeta teorēmas formulējums un pierādījums

Kvadrātsakņu formula a x 2 + b x + c = 0 forma x 1 = - b + D 2 a, x 2 = - b - D 2 a de D = b 2 − 4 a c, nodibina attiecības x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. To apstiprina Vietas teorēma.

1. teorēma

Kvadrāta līmenī a x 2 + b x + c = 0, de x 1і x 2– koeficientu mūsdienu attiecību sakne, sakņu summa bі a, kas tika ņemts no protilegās zīmes, un sakņu piedāvājums ir tāda paša vecuma kā koeficienti cі a, tad. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

1. pierādījums

Mēs piedāvājam jums šādu pierādīšanas veikšanas shēmu: mēs ņemam sakņu formulu, saskaitām summu un kvadrātsakņu saskaitīšanu un pēc tam noņemam izteiksmes, lai tās pārnestu, lai kvadrātsakņu smaka. -baі c a acīmredzot.

Saskaitīsim sakņu summu x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Samazināsim daļskaitli līdz beigu zīmei - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Atvērsim atzarus numurētajā daļā un pievienosim līdzīgus papildinājumus: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Saīsināsim to par: 2 - ba = - ba.

Tādā veidā mēs panācām pirmo Vjeta teorēmas secinājumu, kā nokļūt līdz kvadrātvienādojuma sakņu summai.

Tagad pāriesim pie citām attiecībām.

Šim nolūkam mums jāsaskaita kvadrātveida rindas saknes: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Izdomāsim daļskaitļu reizināšanas noteikumu un atlikušo daļu ierakstīsim nākamajā secībā: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Skaitliskajā aprēķinā veicam priekšgala reizināšanas daļu ar loku vai izmantojot kvadrātu starpības ātruma formulu, lai šo cieto vielu pārvērstu kvadrātā: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Paātrināsim kvadrātsaknes vērtības, lai veiktu nākamo pāreju: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c atbilst kvadrātu izlīdzināšanas diskriminantam, tāpēc tā vietā D var aizstāt b 2–4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Atveram rokas, pievienojam līdzīgus papildinājumus un noņemam tos: 4 · a · c 4 · a 2 . Kā to paātrināt 4 a, tad tu zaudēsi c a . Tādā veidā mēs viens otram nodevām Vjeta teorēmas secinājumu par sakni.

Vieta teorēmas pierādījumu var uzrakstīt ļoti īsā formā, lai izlaistu skaidrojumu:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Ja kvadrāta diskriminants ir vienāds ar nulli, vienāds ir vienāds ar vienu sakni. Lai tik lielā mērā varētu pamatot Vietas teorēmu, varam pieņemt, ka vienādībai zem diskriminanta, kas ir vienāda ar nulli, ir divas saknes. Patiesībā, par D=0 Kvadrātsakne ir vienāda ar: - b 2 a, tad x 1 + x 2 = - b 2 a + - b 2 a = - b + (- b) 2 a = - 2 b 2 a = - b a i x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2, un tā kā D = 0, tad b 2 - 4 · a · c = 0, zvaigznes b 2 = 4 · a · c, tad b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Visbiežāk praksē Vieta teorēma tiek reducēta uz inducēto kvadrātveida formu x 2 + p x + q = 0 kur vecākais koeficients ir vienāds ar 1. Saistībā ar to mēs formulējam Vieta teorēmu šāda veida aprēķiniem. Tas nenodala stiprās puses no tām, kuras, pat ja tās ir vienādas kvadrātā, var aizstāt ar vienādām. Lai to izdarītu, pārkāpuma daļa ir jāsadala ar skaitli a, atņemot no nulles.

Ieviesīsim vēl vienu Vjeta teorēmas formulējumu.

2. teorēma

Sakņu summa pie inducētā kvadrāta rivnyanna x 2 + p x + q = 0 līdzīgs koeficientam pie x, kura laulība ir ar prokumbenta zīmi, sakņu stingrība ir līdzīga stiprajam biedram, tad. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Teorēma, Vjeta teorēmas apvērsums

Tā kā ir svarīgi apbrīnot citu Vjeta teorēmas formulējumu, mēs varam saprast, ka saknei x 1і x 2 inducēta kvadrātveida izlīdzināšana x 2 + p x + q = 0 būs godīgas attiecības x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Šī ir sakarība x 1 + x 2 = − p , x 1 x 2 = q vilips, tātad x 1і x 2– tā ir kvadrāta kvadrāta sakne x 2 + p x + q = 0. Tādā veidā mēs nonākam pie Vjeta teorēmas galīgā secinājuma.

Tagad mēs varam formulēt šo apgalvojumu kā teorēmu un veikt tā pierādījumu.

3. teorēma

Kādi ir cipari? x 1і x 2 nu ko x 1 + x 2 = − pі x 1 x 2 = q, Tas x 1і x 2є līdz inducētā kvadrātveida izlīdzinājuma saknēm x 2 + p x + q = 0.

2. pierādījums

Koeficientu aizstāšana lppі q uz їх viraz cauri x 1і x 2ļauj mainīt izlīdzinājumu x 2 + p x + q = 0 y vienāds ar tevi .

Ievietojiet numuru rindā x 1 zamіst x, tad mēs noraidām greizsirdību x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Tā ir greizsirdība pret citiem x 1і x 2 tiek atjaunots līdz patiesai skaitliskai vienlīdzībai 0 = 0 , tik jaks x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Tse nozīmē to x 1- saknes rivnyanya x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, un kas x 1 arī yomu raven ekvivalenta sakne x 2 + p x + q = 0.

Aizstāšanas izlīdzināšana x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 cipariem x 2 aizstāšana x ļauj radīt greizsirdību x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Šo greizsirdību var uztvert nopietni, x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Nāc ārā tagad x 2 sakņojas greizsirdībā x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, un tāpēc vienādi x 2 + p x + q = 0.

Teorēma, kas pārvērsta par Vieta teorēmu, ir pabeigta.

Vieta teorēmas pielietojums

Tagad pāriesim pie tipiskāko lietojumprogrammu analīzes par šo tēmu. Beigsim ar to uzdevumu analīzi, kuriem nepieciešama teorēmas, Vietas apvērsuma teorēmas stagnācija. Tos var izmantot, lai pārbaudītu skaitļus, kas tiek izmantoti aprēķināšanai, lai dotā kvadrātvienādojuma saknes būtu vienādas. Šim nolūkam ir jāaprēķina to summa un izmaksas, un pēc tam jāpārbauda attiecības godīgums x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = a c .

Abos gadījumos ir skaidrs, ka skaitļi, kas izņemti no aprēķina stundas, ir vienādi ar saknēm. Ja mēs vēlamies, lai cilvēka prāts nemainītos, tad šie skaitļi nevar būt kvadrātvienādojuma saknes, kas dotas dotajiem prātiem.

1. dibens

Tie ir trīs skaitļu pāri: 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 vai 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 vai 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 є kvadrātsakņu pāris 4 x 2 – 16 x + 9 = 0?

Lēmums

Mēs zinām kvadrāta līmeņa koeficientus 4 x 2 — 16 x + 9 = 0. Tas nozīmē a = 4, b = − 16, c = 9. Saskaņā ar Vieta teorēmu kvadrātsakņu summa ir jāpalielina -ba, tad, 16 4 = 4 , un sakņu pievienošana var būt vienāda c a, tad, 9 4 .

Par skaitļu atvasināšanu varam pārliecināties, aprēķinot summu un saskaitot skaitļus no trim uzdevumu pāriem un pielīdzinot tos atņemtajām vērtībām.

Pirmajā vietā x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Šī vērtība ir skaidri norādīta 4. punktā, tāpēc pārbaudi var turpināt. Līdzīgi kā teorēmā, Vietas apvērsuma teorēmā, par tiem uzreiz var izdarīt secinājumu, ka pirmais skaitļu pāris nav dotā kvadrātvienādojuma saknes.

Otram tipam ir x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Mi bachimo, scho persha umova vykonuєtsya. Un otra prāta ass klusē: x 1 x 2 = 1 - 3 3 + 3 = 3 + 3 - 3 3 - 3 = - 2 3. Nozīmes, kas mums ir liegtas, nav redzamas 9 4 . Tas nozīmē, ka otrs skaitļu pāris nav kvadrātsakne.

Apskatīsim trešo likmi. Šeit x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 i x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Apvainoties ar prātu, un tas nozīmē to x 1і x 2 Dotā kvadrāta saknes ir vienādas.

Temats: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Lai izvēlētos kvadrāta kvadrāta saknes, mēs varam izmantot arī teorēmu, kas ietverta Vjeta teorēmā. Vienkāršākā metode ir no veseliem koeficientiem atlasīt veselas kvadrātvienādojumu saknes. Iespējamas arī citas iespējas. Tomēr tas var padarīt aprēķinus vienkāršākus.

Sakņu atlasei ir pareizi, ka divu skaitļu summa ir vienāda ar otru kvadrāta koeficientu, kas vienāds ar mīnusa zīmi, un šo skaitļu saskaitīšana ir vienāda ar pozitīvo vārdu, un skaitļi ir vienādi līdz šī laukuma saknēm Nogo Rivnyanya.

2. dibens

Tāpat kā muca vikorystvo kvadrātveida pasākums x 2 – 5 x + 6 = 0. Skaitļi x 1і x 2Šīs greizsirdības saknes var būt saistītas ar to, ka divi greizsirdīgie sanāk kopā x 1 + x 2 = 5і x 1 x 2 = 6. Izvēlēsimies šos skaitļus. Šie skaitļi ir 2 un 3, fragmenti 2 + 3 = 5 і 2 3 = 6. Izrādās, ka 2 un 3 ir šīs kvadrātveida rindas sakne.

Teorēmu, kas ietverta Vjeta teorēmā, var modificēt, lai atrastu citu sakni, ja pirmā ir pazīstama vai acīmredzama. Kam mēs varam vikoristovyvat attiecības x 1 + x 2 = - a, x 1 · x 2 = a.

3. dibens

Apskatīsim laukumu 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Ir jāzina šīs reliģijas sakne.

Lēmums

Pirmā vienādojuma sakne ir 1, šī kvadrātvienādojuma koeficientu summas atlikusī daļa ir vienāda ar nulli. Nāc ārā tagad x 1 = 1.

Tagad mēs zinām otru sakni. Kam jūs varat izvēlēties attiecības? x 1 x 2 = c a. Nāc ārā tagad 1 x 2 = – 3512, zvaigznes x 2 = - 3512.

Temats: sakne dota par prātu kvadrātveida rivnyanya 1 і - 3 512 .

Tikai vienkāršos gadījumos ir iespējams atlasīt sakni, vikoristu un teorēmu, kas ietīta Vjeta teorēmā. Citos gadījumos kvadrātsakņu formulu labāk meklēt, izmantojot diskriminantu.

Nākamā teorēma, Vieta apvērsuma teorēma, un mēs varam pievienot arī kvadrātus aiz acīmredzamajām saknēm x 1і x 2. Šim nolūkam mums jāaprēķina sakņu summa, kas dod koeficientu x Ar pēdējo inducētā kvadrāta zīmi tas ir saknes produkts, kas dod spēcīgu biedru.

4. dibens

Uzrakstiet kvadrātu, kas vienāds ar jebkura skaitļa saknēm − 11 і 23 .

Lēmums

OK, tātad x 1 = – 11і x 2 = 23. Šo skaitļu summa un papildu summa tiek summētas: x 1 + x 2 = 12і x 1 x 2 = – 253. Tas nozīmē, ka otrs koeficients ir 12, brīvbiedrs − 253.

Saskaitīsim vienādojumu: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Vidpovid: x 2 - 12 x - 253 = 0 .

Mēs varam izmantot Vieta teorēmu, lai atrisinātu uzdevumus, kas saistīti ar kvadrātsakņu zīmēm. Savienojumi starp Vieta teorēmu un savienojumiem ar inducēta kvadrātvienādojuma sakņu zīmēm x 2 + p x + q = 0 Dosimies uz priekšu ar rangu:

• Kā kvadrātam vienādam ir efektīva sakne un spēcīgs loceklis q Ja tas ir pozitīvs skaitlis, tad saknes zīme ir “+” vai “-”;
• Tā kā kvadrāts ir vienāds ar sakni un stipro locekli q ir negatīvs skaitlis, viena sakne būs “+”, bet otra “-”.

Aizvainojumi, grūtības un mantojuma formulas x 1 x 2 = q Tie paši noteikumi pozitīvo un negatīvo skaitļu reizināšanai, kā arī skaitļiem ar dažādām zīmēm.

5. dibens

Chi ir kvadrātveida kvadrāta sakne x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitīvs?

Lēmums

Saskaņā ar Vieta teorēmu šīs greizsirdības sakne nevar būt aizskaroša pozitīvajiem, jo ​​viņiem greizsirdība var beigties x 1 x 2 = – 21. Tas ir neticami pozitīvi x 1і x 2.

Temats: Nē

6. dibens

Jebkurām parametru vērtībām r kvadrātveida mērs x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 Mums ir divas aktīvas saknes ar dažādām zīmēm.

Lēmums

Ir svarīgi, lai mēs zinātu to nozīmi r, tādā gadījumā vīnogulājam būs divas saknes. Mēs zinām diskriminētāju un brīnāmies, kādi prāti r Mēs pieņemam pozitīvas nozīmes. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. Virazu nozīme r2+8 pozitīvi par jebkuru darbību r, tad jebkurai darbībai diskriminants būs lielāks par nulli r. Tas nozīmē, ka iegūtais kvadrāts ir vienāds ar divām saknēm jebkurai aktīvajai parametra vērtībai r.

Tagad mēs brīnīsimies, cik zīmes atšķiras viena no otras. Tas ir iespējams, ja viņu attieksme ir negatīva. Saskaņā ar Vietas teorēmu inducētā kvadrāta sakņu pievienošana ir vienāda ar vienādu terminu. Tas nozīmē, ka pareizajiem lēmumiem būs šīs vērtības r, Ikreiz, kad termins r − 1 ir negatīvs. Atklājas lineārais nelīdzenums r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Temats: pie r< 1 .

Vietas formulas

Ir vairākas formulas, kas ir būtiskas darbam ar ne tikai kvadrātveida, bet arī kubiskā un cita veida plakņu saknēm un koeficientiem. Tās sauc par Vietas formulām.

Līmeņu algebrai n formā a 0 x n + a 1 x n - 1 +. . . + a n - 1 x + a n = 0 n aktīvās saknes x 1 , x 2 , … , x n Starp tiem, no kuriem var izvairīties:
x 1 + x 2 + x 3 +. . . + x n = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Viznachennya 1

Mēs varam izmantot Viet formulas, lai mums palīdzētu:

• teorēma par polinoma paplašināšanu lineāros reizinātājos;
• vienādu polinomu identificēšana, izmantojot to specifisko koeficientu vienādību.

Tādējādi polinoms a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n ir tāda pati sadalīšana lineāros reizinātājos formā a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (X - x n) reģioni.

Tiklīdz mēs atveram rokas pārējā darbā un vienādiem koeficientiem, mēs esam apsēsti ar Vietas formulu. Pieņemot n = 2, mēs varam iegūt Vjeta formulu kvadrātvienādojumam: x 1 + x 2 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .

Vičenija 2

Vietas formula kubiskā līmeņa noteikšanai:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Vietas formulu rakstīšanas kreiso daļu sauc par elementāri simetriskiem bagātajiem locekļiem.

Ja tekstā esat atzīmējis labvēlību, lūdzu, skatiet to un nospiediet Ctrl+Enter

I. Vieta teorēma inducētai kvadrātveida izlīdzināšanai.

Inducētās kvadrātveida rindas sakņu summa x 2 + pikseļi + q=0 ir ekvivalents citam koeficientam, kas ņemts ar protilācijas zīmi, un sakņu pievienošana ir līdzvērtīga brīvajam elementam:

x1+x2=-p; x 1 x 2 =q.

Atrodiet inducētā kvadrāta sakni, izmantojot Vjeta teorēmu.

1) x 2 x 30 = 0. Tas ir taisni izlīdzināts ( x 2 + pikseļi + q=0), cits koeficients p=-1, un bezmaksas dalībnieks q=-30. Vispirms pārrēķināsim, ka sakne ir vienāda ar sakni, un sakne (tā kā tā smird) tiks izteikta veselos skaitļos. Šim nolūkam pietiek ar to, ka diskriminants ir ideāls vesela skaitļa kvadrāts.

Zināms diskriminants D=b 2-4ac=(-1) 2-4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Tagad, saskaņā ar Vieta teorēmu, sakņu summa var būt vienāda ar citu koeficientu, kas ņemts ar protilācijas zīmi, tad. ( -lpp), un tavs ir līdzīgs bezmaksas dalībniekam, tad. ( q). Todi:

x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 = -30. Mums ir jāizvēlas šie divi skaitļi, lai to cietā vērtība būtu vienāda -30 , un summa - vienības. Tse skaitļi -5 і 6 . Tips: -5; 6.

2) x2+6x+8=0. Mēs esam izveidojuši kvadrātveida salīdzinājumu ar citu koeficientu p = 6 un kā bezmaksas dalībnieks q=8. Pārkonfigurēsim, ka tā ir visa sakne. Zināms diskriminants D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminants D1 ir skaitļa pēdējais kvadrāts 1 Nu, šī vienādojuma sakne ir veseli skaitļi. Izvēlēsimies Vjeta teorēmas sakni: sakņu summa ir vienāda -P = -6, un uztura bagātinātāji ir seni q=8. Tse skaitļi -4 і -2 .

Patiess: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Tips: -4; -2.

Muca 3) x 2 + 2x-4 = 0. Kuru kvadrātveida inducētajam kvadrātam ir atšķirīgs koeficients p=2, un bezmaksas dalībnieks q=-4. Zināms diskriminants D 1, Oskolki cits koeficients ir tāds pats skaitlis. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Tāpēc diskriminants nav ideāls skaitļa kvadrāts visnovok: Šo skaitļu saknes nav veseli skaitļi, un tos nevar atrast, izmantojot Vieta teorēmu. Nu, dosimies dedzīgi, kā vienmēr, attiecībā uz formulām (šajā gadījumā par formulām). Ignorējams:

dibens 4). Pievienojiet kvadrātu, kas vienāds ar jūsu saknēm, kā x1=-7, x2=4.

Lēmums.Šukāna greizsirdība parakstīsies ar Viglyad: x 2 + pikseļi + q=0, turklāt, pamatojoties uz Vieta teorēmu -p = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p=3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Tad es redzu greizsirdību nākotnē: x 2 +3x-28 = 0.

dibens 5). Pievienojiet kvadrātu, kas vienāds ar saknēm, šādi:

II. Vieta teorēma pilnīgai kvadrātveida izlīdzināšanai ax 2 +bx+c=0.

Sakņu summa senais mīnuss b, dalīts ar A, bagātinātāji ir sakņojas h, dalīts ar

Lai sāktu, formulēsim pašu teorēmu: Pieņemsim kvadrātu, kas vienāds ar formu x^2+b*x + c = 0. Pieņemsim, ka saknes x1 un x2 ir vienādas viena ar otru. Tāpēc, ievērojot teorēmu, ir pieļaujami šādi apgalvojumi:

1) Sakņu x1 un x2 summa ir ekvivalenta koeficienta b negatīvajai vērtībai.

2) Vissvarīgākais, ko mēs mums dodam, ir koeficients c.

Ale scho tik izraisīja greizsirdību

Norādīsim, kvadrātveida līmeni sauc par kvadrāta līmeni, vecākā līmeņa koeficientu, kas ir sena vienība, tad. Tas ir vienāds ar formu x^2 + b * x + c = 0. (Un a * x ^ 2 + b * x + c = 0 izlīdzināšana nav norādīta). Citiem vārdiem sakot, lai pakāpes atgrieztos normālā stāvoklī, mums augstākā līmeņa (a) pakāpes ir jāsadala koeficientā. Zavdannya pievērš danu rіvnyannya skatu punktam:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5 * x^2 + 7,5 * x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Sadalot ādas līmeni augstākā līmeņa koeficientā, mēs izslēdzam:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Kā jūs varat mācīties no mucas, kā novietot daļskaitļus, var novest pie viedokļa.

Vikoristannija no Vjeta teorēmas

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1 * x2 = 6;

pieder saknei: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1 * x2 = 8;

rezultātā dominē sakne: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = –5; x1 * x2 = 4;

pieder saknei: x1 = −1; x2 = -4.

Vjeta teorēmas nozīmes

Vieta teorēma ļauj noteikt jebkuru kvadrātveida izlīdzinājumu tikai sekundēs. No pirmā acu uzmetiena jūs, iespējams, varēsit izpildīt locīšanas uzdevumus, bet pēc 5-10 gadiem jūs varat iemācīties sūknēt sakņu ūdeni.

Pamatojoties uz pielietojumu un teorēmu, ir skaidrs, ka ir iespējams ievērojami vienkāršot kvadrātvienādojumu atvasināšanu, kā arī Vikorista teorēmu, kas atvieglos labojumu veikšanu, tāpēc ir svarīgi.

Visos gadījumos mēs izmantojām vienu un to pašu noteikumu, apkopojot divus svarīgus pieņēmumus:

Tad sāncensība ir izveidota. vecākajam līmenim koeficients ir viens (šo prātu ir viegli pazaudēt. Var izvēlēties līmeni nerosināt, tad drīkstēs pieņemt apgalvojumu x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a , savādāk būs sarežģītāk:) )

Ja esam vienādi ar divām dažādām saknēm. Mēs pieņemam, ka nevienlīdzība ir patiesa un diskriminants ir stingri lielāks par nulli.

Tāpēc mēs varam apvienot sākotnējo risinājuma algoritmu ar Vieta teorēmu.

Ārējais algoritms risināšanai, izmantojot Vjeta teorēmu

Pievērsīsim vienādojuma kvadrātu līdz skatu punktam, tāpat kā vienādojums mums ir dots no nevirzīta skata. Ja kvadrāta vienādi koeficienti, kurus iepriekš uzrādījām kā norādītus, izrādījās nošauti (nevis desmiti), tad mūsu vienāds tiek noteikts ar diskriminantu.

Nokrišņi tiek novērsti arī tad, kad, pārejot uz vālīšu līmeni, mēs varam strādāt ar “manuāliem” numuriem.

Šajā lekcijā uzzināsim par svarīgām sakarībām starp kvadrātvienādojuma saknēm un tā koeficientiem. Šīs attiecības pirmais atklāja franču matemātiķis Fransuā Viet (1540-1603).

Piemēram, vienādojumam 3x 2 - 8x - 6 = 0, nezinot tā sakni, var, izmantojot Vietas teorēmu, uzreiz teikt, ka sakņu summa ir vienāda un sakņu piedāvājums ir vienāds
i., - 2. Un tiek noteikts līmenis x 2 - 6x + 8 = 0: sakņu daudzums ir vienāds ar 6, sakņu pievienošana ir vienāda ar 8; Cita starpā nav svarīgi uzminēt, kāpēc saknes sakne ir 4 un 2.
Vieta teorēmas pierādījums. Sakne x 1 un x 2 kvadrātveida rinda ax 2 + bx + c = 0 izpildiet formulas

De D = b 2 - 4ac - diskriminējošais līmenis. Satvēris šo sakni,
noņemams

Tagad mēs varam aprēķināt sakņu skaitu x 1 un x 2 Maemo

Vēl viens paziņojums tika nosūtīts uz:
Cieņa. Vieta teorēma ir derīga pat gadījumā, ja vienāds kvadrāts ir ar vienu sakni (tāds pats kā tad, kad D = 0), tādā gadījumā vienkārši ir svarīgi pieņemt, ka vienādumam ir divas saknes, līdz kura ir konsekventāka.
Īpaši vienkārša forma tiek iegūta inducētajam kvadrātvienādojumam x 2 + px + q = 0. Šajā gadījumā mēs varam atņemt:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
tobto. inducētā kvadrāta sakņu summa ir vienāda ar otru koeficientu, kas ņemts no noliektās zīmes, un sakņu skaits ir vienāds ar brīvo locekli.
Izmantojot Vieta teorēmu, var secināt citas attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Pieņemsim, piemēram, x 1 un x 2 ir kvadrāta sakne, kas vienāda ar x 2 + px + q = 0. Tad

Tomēr Vjeta teorēmas galvenā nozīme nav tā, ka tā izsaka attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Vissvarīgākais ir tas, ka, izmantojot Vieta teorēmu, tiek atvasināta kvadrātiskā trinoma faktorēšanas formula, bez kuras mēs neiztiksim.

Pabeigts. Maemo

1. dibens. Reiziniet kvadrātisko trinomu ar 3x 2 – 10x + 3.
Lēmums. Atrisinot vienādojumu Zx 2 – 10x + 3 = 0, mēs zinām kvadrāttrīnoma Zx 2 – 10x + 3 sakni: x 1 = 3, x2 = .
Ātri apsverot 2. teorēmu, mēs noraidām

Tā vietā, lai rakstītu 3x – 1. Tad atlikums ir 3x 2 – 10x + 3 = (x – 3) (3x – 1).
Lūdzu, ņemiet vērā, ka kvadrātisko trinomu var sadalīt reizinātājos, neatjaunojot 2. teorēmu, izmantojot šādu grupēšanas metodi:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Ale, kā redzat, ar šo veiksmes metodi slēpjas tajā, ka mēs varam noskaidrot grupējumus distancē, tāpat kā ar pirmo veiksmes garantiju metodi.
1. dibens. Īss brauciens

Lēmums. Rivnyanya 2x 2 + 5x + 2 = 0 zināms x 1 = - 2,

Rivnyanya x2 - 4x - 12 = 0 zināms x 1 = 6, x 2 = -2. Toms
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Un tagad ātri apkoposim drib uzdevumus:

3. dibens. Izkārtojiet virazis reizinātājus:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rozv'yazannya. a) Ieviešam jaunu izmaiņu y = x 2. Uzdevumus var pārrakstīt maināma kvadrātveida trinoma formā un 2 + b + 6 formā.
Atrodot sakni no 2 + bу + 6 = 0, mēs atrodam kvadrātveida trīsnoma sakni 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Tagad mēs paātrinam 2. teorēmu; noņemams

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Nevarēja uzminēt, ka y = x 2, lai pagrieztos uz doto leņķi. Otje,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Ieviešam jaunu izmaiņu y = . Ir iespējams pārrakstīt uzdevumus kvadrātveida trinoma veidā shodo izmaiņas y, un formā 2у 2 + y - 3. Vienādojuma atšķetināšana
2y 2 + y - 3 = 0, mēs zinām kvadrātveida trīsnoma 2y 2 + y - 3 sakni:
y 1 = 1, y 2 = . Turklāt, vikorista un 2. teorēma, mēs noraidām:

Nevarēja uzminēt, ko y = pagriezt dotajā leņķī. Otje,

Rindkopas beigās ir daži soļi, kas atkal ir saistīti ar Vietas teorēmu vai, precīzāk, ar pretējiem apgalvojumiem:
Tā kā skaitļi x 1, x 2 ir tādi paši kā x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, tad šie skaitļi ir vienādi ar sakni
Ar šī apgalvojuma palīdzību jūs varat viegli izveidot daudz kvadrātveida rindu, neizmantojot apgrūtinošas sakņu formulas, kā arī saskaitīt kvadrātveida rindas no dotajām saknēm. Norādīsim uz to.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Šeit x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Nav nozīmes, ja uzminējat, ka x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Šeit x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Nav nozīmes, ja uzminējat, ka x 1 = -5, x 2 = -6.
Palieliniet cieņu: tā kā greizsirdība ir pozitīvs skaitlis, aizvainojuma saknes ir vai nu pozitīvas, vai negatīvas; Ir svarīgi būt uzmanīgiem, pievienojot sakni.

3) x 2 + x - 12 = 0. Šeit x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Ir viegli uzminēt, ka x1 = 3, x2 = -4.
Atjaunot cieņu: ja vienlīdzības spēcīgais loceklis ir skaitlis, tad pēc zīmes sakne atšķiras; Ir svarīgi būt uzmanīgiem, pievienojot sakni.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Nav svarīgi atzīmēt, ka x = 1 apmierina vienādojumu. x 1 = 1 - sakne ir vienāda. Šķembas x 1 x 2 = - un x 1 = 1, tātad x 2 = -.

5) x 2 — 293x + 2830 = 0. Šeit x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 10 un 293 = 283 + 10, kļūst skaidrs, ka x 1 = 283, x 2 = 10 (un tagad ir skaidrs, kā būtu jāveic aprēķins augstākajam kvadrātvienādojumam, izmantojot standarta formulas).

6) Izveidosim kvadrātvienādojumu tā, lai skaitļi x 1 = 8, x 2 = - 4 kalpotu kā saknes šādās situācijās, izveidojiet kvadrātvienādojumu x 2 + px + q = 0.
Maєmo x 1 + x 2 = -р, tad 8 - 4 = -р, tad р = -4. Dalī, x 1 x 2 = q, tad. 8"(-4) = q, zvaigznes ir noņemtas q = -32. Tātad, p = -4, q = -32, tad kvadrātveida mērs, kā jūs domājat, izskatās x 2 -4x-32 = 0.