Коливання. Рівняння гармонійних коливань. Гармонійні коливання. Характеристики гармонійних коливань 1

Коливанняминазиваються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливання широко поширені в навколишньому світі і можуть мати різну природу. Це можуть бути механічні (маятник), електромагнітні (коливальний контур) та інші види коливань.
Вільними, або власнимиколиваннями, називаються коливання, які відбуваються у системі наданої самої собі, після того, як вона була виведена зовнішнім впливом зі стану рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, підвішеного на нитки.

Особливу рольу коливальних процесах має найпростіший вид коливань - гармонійні коливання.Гармонічні коливання лежать в основі єдиного підходу при вивченні коливань різної природи, оскільки коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто близькі до гармонійних, а періодичні процеси іншої форми можна як накладення гармонійних коливань.

Гармонічними коливаннями називаються такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється від часу за законом синусаабо косинуса.

Рівняння гармонійних коливаньмає вигляд:

де A - амплітуда коливань (величина найбільшого відхилення системи від положення рівноваги); -кругова (циклічна) частота. аргумент косинуса, що періодично змінюється - називається фазою коливань . Фаза коливань визначає зміщення коливається від положення рівноваги в даний момент часу t. Постійна φ є значення фази в момент часу t = 0 і називається початковою фазою коливання . Значення початкової фази визначається вибором початку відліку. Величина x може набувати значень, що лежать в межах від -A до +A.

Проміжок часу T, через який повторюються певні стани коливальної системи, називається періодом коливань . Косинус - періодична функція з періодом 2π, тому за проміжок часу T, через який фаза коливань отримає збільшення дорівнює 2π, стан системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюватиметься. Цей проміжок часу називається періодом гармонійних коливань.

Період гармонійних коливань дорівнює : T = 2π/.

Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν.
Частота гармонійних коливань дорівнює: = 1/T. Одиниця виміру частоти герц(Гц) – одне коливання в секунду.

Кругова частота = 2π/T = 2πν дає кількість коливань за 2π секунд.

Графічно гармонійні коливання можна зображати як залежності x від t (рис.1.1.А), і методом обертової амплітуди (метод векторних діаграм)(рис.1.1.б) .

Метод амплітуди, що обертається, дозволяє наочно представити всі параметри, що входять в рівняння гармонійних коливань. Дійсно, якщо вектор амплітуди Арозташований під кутом φ до осі х (див. малюнок 1.1. Б), то його проекція на вісь х дорівнюватиме: x = Acos(φ). Кут і є початкова фаза. Якщо вектор Апривести у обертання з кутовою швидкістю , що дорівнює круговій частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х і приймати значення, що лежать в межах від -A до +A, причому координата цієї проекції змінюватиметься з часом за законом:
.

Таким чином, довжина вектора дорівнює амплітуді гармонійного коливання, напрям вектора в початковий момент утворює з віссю x кут рівний початковій фазі коливань φ, а зміна кута напрямку від часу дорівнює фазі гармонійних коливань. Час, протягом якого вектор амплітуди робить один повний оборот, дорівнює періоду Т гармонійних коливань. Число обертів вектора за секунду дорівнює частоті коливань ν.

Найпростішим видом коливань є гармонійні коливання- коливання, у яких зміщення точки від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса чи косинуса.

Так, при рівномірному обертанні кульки по колу його проекція (тінь у паралельних променях світла) здійснює на вертикальному екрані (рис. 13.2) гармонійний коливальний рух.

Усунення положення рівноваги при гармонійних коливаннях описується рівнянням (його називають кінематичним законом гармонійного руху) виду:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) або \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

де х- Змішування - величина, що характеризує положення точки, що коливається в момент часу tщодо положення рівноваги та вимірювана відстанню від положення рівноваги до положення точки в заданий момент часу; А- амплітуда коливань - максимальне усунення тіла з положення рівноваги; Т- Період коливань - час здійснення одного повного коливання; тобто. найменший проміжок часу, після якого повторюються значення фізичних величин, що характеризують коливання; \(\varphi_0\) - Початкова фаза; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - фаза коливання в момент часу t. Фаза коливань - це аргумент періодичної функції, який за заданої амплітуді коливань визначає стан коливальної системи (зміщення, швидкість, прискорення) тіла у час.

Якщо у початковий момент часу t 0 = 0точка, що коливається, максимально зміщена від положення рівноваги, то \(\varphi_0 = 0\), а зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Якщо точка, що коливається, при t 0 = 0 знаходиться в положенні стійкої рівноваги, то зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

Величину V, зворотну періоду та рівну числу повних коливань, що здійснюються за 1 с, називають частотою коливань:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(в СІ одиницею частоти є герц, 1Гц = 1с -1).

Якщо за час tтіло робить Nповних коливань, то

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Величину \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) , що показує, скільки коливань здійснює тіло за 2 \(\pi\) з, називають циклічною (круговою) частотою.

Кінематичний закон гармонійного руху можна записати у вигляді:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Графічно залежність зміщення точки, що коливається, від часу зображується косінусоїдою (або синусоїдою).

На малюнку 13.3, а представлений графік залежності від часу зміщення точки, що коливається від положення рівноваги для випадку \(\varphi_0=0\), тобто. \(~x=A\cos \omega t.\)

З'ясуємо, як змінюється швидкість точки, що коливається, з часом. Для цього знайдемо похідну часу від цього виразу:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

де \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\)- амплітуда проекції швидкості на вісь х.

Ця формула показує, що при гармонійних коливаннях проекція швидкості тіла на вісь х змінюється теж за гармонічним законом з тією ж частотою, з іншою амплітудою і випереджає по фазі змішання на \(\frac(\pi)(2)\) (рис. 13.3) , б).

Для з'ясування залежності прискорення a x (t)знайдемо похідну за часом від проекції швидкості:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

де \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) - амплітуда проекції прискорення на вісь х.

При гармонійних коливаннях проекція прискореннявипереджає зміщення по фазі на (рис. 13,3, в).

Аналогічно можна побудувати графіки залежностей \(~x(t), \upsilon_x(t)\) і \(~a_x(t),\) якщо \(~x = A \sin \omega t\) при \(\varphi_0 =0.\)

Враховуючи, що \(A \cos \omega t = x\), формулу для прискорення можна записати

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

тобто. при гармонійних коливаннях проекція прискорення прямо пропорційна усунення і протилежна йому за знаком, тобто. прискорення спрямоване у бік, протилежний зсуву.

Так, проекція прискорення – це друга похідна від усунення а x = х " ", то отримане співвідношення можна записати у вигляді:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) або \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Остання рівність називають рівнянням гармонійних коливань.

Фізичну систему, в якій можуть існувати гармонійні коливання, називають гармонічним осцилятором,а рівняння гармонійних коливань - рівнянням гармонійного осцилятора.

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 368-370.

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

де х - значення величини, що змінюється, t - час, інші параметри - постійні: А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне рішення цього диференціального рівняння - є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Вільні коливання відбуваються під впливом внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху) і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).

Вимушені коливання відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Рівняння гармонійних коливань

дає залежність коливається величини S від часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференційній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) у вигляді

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференційній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення констант A і  , що входять до рівняння (1)); наприклад, положення та швидкість коливальної системи при t = 0.

Математичний маятник - осцилятор, що є механічною системою, що складається з матеріальної точки, що знаходиться на невагомій нерозтяжній нитці або на невагомому стрижні в однорідному полі сил тяжіння. Період малих власних коливань математичного маятника довжини l нерухомо підвішеного в однорідному полі тяжкості із прискоренням вільного падіння g дорівнює

і не залежить від амплітуди та маси маятника.

Фізичний маятник - осцилятор, що представляє собою тверде тіло, що здійснює коливання в полі будь-яких сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної до напряму дії сил і не проходить через центр мас цього тіла.

Механічне гармонійне коливання- це прямолінійний нерівномірний рух, при якому координати тіла, що коливається (матеріальної точки) змінюються за законом косинуса або синуса в залежності від часу.

Відповідно до цього визначення, закон зміни координати в залежності від часу має вигляд:

Де wt – величина під знаком косинуса чи синуса; w- Коефіцієнт, фізичний зміст якого розкриємо нижче; А – амплітуда механічних гармонійних коливань.

Рівняння (4.1) є основними кінематичними рівняннями гармонійних механічних коливань.

Розглянемо наступний приклад. Візьмемо вісь Ох (рис. 64). З точки 0 проведемо коло з радіусом R = А. Нехай точка М з положення 1 починає рухатися коло з постійною швидкістю v(або з постійною кутовою швидкістю w, v = wА). Через деякий час t радіус повернеться на кут ф: ф = wt.

При такому русі по колу точки М її проекція на вісь х М х здійснюватиме рух уздовж осі х, координата якої х дорівнюватиме х = А cos ф = = А cos wt. Таким чином, якщо матеріальна точка рухається по колу радіусом А, центр якого збігається з початком координат, то проекція цієї точки на вісь х (і на вісь у) здійснюватиме гармонійні механічні коливання.

Якщо відома величина wt, що стоїть під знаком косинуса, і амплітуда А, можна визначити їх у рівнянні (4.1).

Величину wt, що стоїть під знаком косинуса (або синуса), однозначно визначальну координату точки, що коливається при заданій амплітуді, називають фазою коливання. Для точки М, що рухається по колу, величина w означає її кутову швидкість. Який фізичний зміст величини w для точки М х, що здійснює механічні гармонійні коливання? Координати точки М х, що коливається, однакові в деякий момент часу t і (Т +1) (з визначення періоду Т), тобто A cos wt = A cos w (t + Т), а це означає, що w(t + Т) - wt = 2 ПІ(З якості періодичності функції косинуса). Звідси випливає, що

Отже, для матеріальної точки, що здійснює гармонічні механічні коливання, величину w можна інтерпретувати як кількість коливань за певний циклчасу, рівний 2л. Тому величину wназвали циклічною(або круговий) частотою.

Якщо точка М починає свій рух не з точки 1 а з точки 2, то рівняння (4,1) набуде вигляду:

Величину ф 0називають початковою фазою.

Швидкість точки М х знайдемо як похідну від координати часу:

Прискорення точки, що вагається за гармонійним законом, визначимо як похідну від швидкості:

З формули (4.4) видно, що швидкість точки, що здійснює гармонійні коливання, змінюється також за законом косинуса. Але швидкість по фазі випереджає координату на ПІ/2. Прискорення при гармонійному коливанні змінюється за законом косинуса, але випереджає координату по фазі п. Рівняння (4.5) можна записати через координату х:

Прискорення при гармонійних коливаннях пропорційно усунення з протилежним знаком. Помножимо праву та ліву частини рівняння (4.5) на масу коливальної матеріальної точки т, отримаємо співвідношення:

Згідно з другим законом Ньютона, фізичний зміст правої частини виразу (4.6) є проекцією сили F x , яка забезпечує гармонійний механічний рух:

Величина F x пропорційна зсуву х і спрямована протилежно йому. Прикладом такої сили є сила пружності, величина якої пропорційна деформації та протилежно їй спрямована (закон Гука).

Закономірність залежності прискорення від зміщення, що випливає з рівняння (4.6), розглянуту нами для механічних гармонійних коливань, можна узагальнити і застосувати при розгляді коливань іншої фізичної природи (наприклад, зміна струму коливального контуру, зміна заряду, напруги, індукції магнітного поля і. д.). Тому рівняння (4.8) називають основним рівнянням динаміки гармонічних коливань.

Розглянемо рух пружинного та математичного маятників.

Нехай до пружини (рис. 63), розташованої горизонтально і закріпленої в точці 0, одним кінцем прикріплено тіло масою т, яке може переміщатися вздовж осі без тертя. Коефіцієнт жорсткості пружини нехай дорівнює k. Виведемо тіло m зовнішньою силою із положення рівноваги та відпустимо. Тоді вздовж осі х на тіло діятиме лише пружна сила, яка згідно із законом Гука, дорівнюватиме: F yпр = -kx.

Рівняння руху цього тіла матиме вигляд:

Порівнюючи рівняння (4.6) і (4.9), робимо два висновки:

З формул (4.2) та (4.10) виводимо формулу для періоду коливань вантажу на пружині:

Математичним маятником називається тіло масою т, підвішене на довгій нерозтяжній нитці дуже малої маси. У положенні рівноваги цього тіла діятимуть сила тяжкості і сила пружності нитки. Ці сили врівноважуватимуть одна одну.

Якщо нитку відхилити на кут авід положення рівноваги, то на тіло діють ті ж сили, але вони вже не врівноважують один одного, і тіло починає рухатися по дузі під дією складової сили тяжіння, спрямованої вздовж дотичної до дуги і mg sin a.

Рівняння руху маятника набуває вигляду:

Знак мінус у правій частині означає, що сила F x = mg sin a спрямована проти усунення. Гармонічне коливання відбуватиметься за малих кутів відхилення, тобто за умови а 2* sin a.

Замінимо sin а врівняння (4.12), отримаємо наступне рівняння.