Σημάδια του κινδύνου των μη κρατικών ολοκληρωμάτων με τη μορφή αρνητικών συναρτήσεων.

Vidminno

Εφαρμογές διερεύνησης μη πτητικών ολοκληρωμάτων για απώλεια
.

Πισινό 1

Έτσι, το ολοκλήρωμα συγκλίνει για a>1 και αποκλίνει για το a1. Πισινό 2
.

Ελέγξτε για απώλεια.<1 и расходится при a³1.

Το ολοκλήρωμα πίσω από τις τιμές είναι υπολογίσιμο: Έτσι, το ολοκλήρωμα της Δανίας συγκλίνει στο .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Πισινό 3

Συνέχεια προς πώληση<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>Η σύγκλιση του πρώτου ολοκληρώματος I1 μπορεί να ακολουθηθεί από μια επιπλέον ισοδύναμη συνάρτηση: (αφού n>0), και το ολοκλήρωμα συγκλίνει στο m>-1 (παράδειγμα 2).<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Ομοίως για το ενσωματωμένο I2: Και το ολοκλήρωμα συγκλίνει για m+n

-1 m+n<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

Πισινό 4

Ελέγξτε για απώλεια.

Η ολοκληρωτική συνάρτηση μπορεί να είναι απείρως μεγάλη (όπως m<-1, и расходится в противном случае.

Θραύσματα arctgx »x στο x®0, τότε το ολοκλήρωμα I1 είναι ισοδύναμο με το ολοκλήρωμα, το οποίο συγκλίνει στο m+1>-1 και στο m>-2 (butt1).<-1 одновременно.

Για τη συνάρτηση ολοκλήρωσης στο μη πτητικό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους I2, επιλέγουμε μια ισοδύναμη:θραύσματα arctgx » p/2 σε x® ¥.

Τότε, με διαφορετικό πρόσημο εξισορρόπησης, το ολοκλήρωμα I2 συγκλίνει στο m+n Και το ολοκλήρωμα συγκλίνει για m+n

Η αυξανόμενη επιδεκτικότητα των ολοκληρωμάτων I1 και I2 καθορίζεται από την επάρκεια του ολοκληρώματος εξόδου: m>-2 και m+n<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

Σεβασμός.

Στα άκρα 2-4, υπάρχουν 2 σημάδια ευθυγράμμισης, που εξασφαλίζουν την απαραίτητη και επαρκή συνέπεια, η οποία επιτρέπει, έχοντας εδραιώσει τη συνοχή πίσω από τη νοητική αξία των παραμέτρων, να μην οδηγεί στον διαχωρισμό του ολοκληρώματος όταν καταστρέφονται τα μυαλά της απώλειας.

Πισινό 5< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

Αυτό το ολοκλήρωμα τοποθετεί ένα ειδικό σημείο 0, στο οποίο η ολοκληρωτική συνάρτηση μπορεί να μετατραπεί σε ασυνέπεια στο p

Το ολοκλήρωμα I1 είναι ένα αδύναμο ολοκλήρωμα διαφορετικού είδους, και η ολοκλήρωση είναι ισοδύναμη στο x®0 με τη συνάρτηση xp (e-x®1 σε x®0), έτσι ώστε το I1 να συγκλίνει στο p>-1 (παράδειγμα 1).

Πισινό 6 Και το ολοκλήρωμα συγκλίνει για m+n

Θα αντικαταστήσουμε την αντικατάσταση: t = lnx και μπορεί να αφαιρεθεί

Η κατανομή του ολοκληρώματος με δύο κραδασμούς είναι παρόμοια με το ολοκλήρωμα 5. Το ολοκλήρωμα I1 είναι εντελώς ισοδύναμο με το ολοκλήρωμα I1 από το άκρο 5 και, επομένως, συγκλίνει στο q<1.

Ας ρίξουμε μια ματιά στο ενσωματωμένο I2.<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения Για το μυαλό 1-σελ

і a = (1-p) / 2.).

Otzhe, I2 συγκλίνει για p>1.

Για ένα άτομο του οποίου η διερεύνηση της ακεραιότητας αυτού του ολοκληρώματος δεν έχει ολοκληρωθεί, το υπόλοιπο της γειτνίασης του σημείου της ακεραιότητας δεν παρέχει επαρκή ευφυΐα.<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что Επομένως, είναι απαραίτητο να αυξηθεί η τιμή στο 1-p£0. Ας ρίξουμε μια ματιά στο p=1.- Τότε το ολοκλήρωμα I2 είναι ισοδύναμο, το οποίο συγκλίνει στο q>1 (φυσικά, σε ποια μορφή το ολοκλήρωμα I1 αποκλίνει) και αποκλίνει σε άλλη μορφή.Στη σελ(1- Για 1-p>0, i, λοιπόν, ξεκινώντας από την πράξη A>1 viconano) Ας ρίξουμε μια ματιά στο p=1.Τ

,

Q

μι<1 и p>Π

Πισινό 6 ³ M=const>0.

Τότε το ολοκλήρωμα I2 έχει την ακόλουθη εκτίμηση:

.

Το ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά αποκλίνει, γεγονός που οδηγεί στην απόκλιση του ολοκληρώματος I2.Είναι δυνατόν να συμπεράνουμε ότι το ολοκλήρωμα εξόδου συγκλίνει στο q 1, διαφορετικά το ολοκλήρωμα θα αποκλίνει.<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Ελέγξτε για απόλυτη και ψυχική ακεραιότητα.

Ας πάρουμε το ολοκλήρωμα εξόδου κατά δύο:

.

Zbіzhnіst.

Ολοκληρωμένο I1 ισοδύναμο

, Δηλαδή, συγκλίνουν στο p

Το ολοκλήρωμα I2 συγκλίνει πέρα ​​από το πρόσημο Dirichlet-Abel για p>0 επειδή ο πρώτος sin(x) είναι οριοθετημένος και η συνάρτηση 1/xp μονότονα πηγαίνει στο μηδέν όταν το x πηγαίνει στο άπειρο.Ας δείξουμε ότι πέρα ​​από το p £ 0 το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Είναι γρήγορο για αυτό το κριτήριο Cauchy, ή ακριβέστερα, σύμφωνα με τη λίστα

Ας πάρουμε τις τρέχουσες τιμές ως R1 και R2: R1=2pk και R2=2pk+p/2, τότε

.

σε p>0.

.

Έτσι, το ολοκλήρωμα συγκλίνει στο 0

Απολύτως υπέροχο<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>Η απόλυτη τιμή του ολοκληρώματος I1 έχει ήδη καθοριστεί.

Αξιολογήσιμο ολοκλήρωμα του θηρίου:

, Δηλαδή το ολοκλήρωμα συγκλίνει στο p>1.

Θεώρημα 12.11 (πρόσημο εξίσωσης μη καταστατικών ολοκληρωμάτων).

Αφήστε τις συναρτήσεις f(x) και g(x) να συνεχίσουν χωρίς διακοπή μεταξύ [a, ">) και να ικανοποιήσουν το μυαλό 0 fix) ?(x).

Τα αποτελέσματα του ολοκληρώματος

ίχνος του ολοκληρώματοςΚαι τέλος, από τον διαχωρισμό του ολοκληρώματος (12,64) προέρχεται ο διαχωρισμός του ολοκληρώματος (12,63).

Απόδειξη. Εισαγάγετε την ονομασία:Λειτουργία P(K)

є αξέχαστο? πραγματικά, πραγματικάκαι εγώ 2, λοιπόν

J διορθώνω) dx>0, και ούτω καθεξής Πάρτε την τιμή ακολουθίας (/?„) -> ">;Τότε η ακολουθία της τιμής της συνάρτησης είναι συνεπής (F(Rn))є μονότονο και μη απαιτητικό. Αν το ολοκλήρωμα (12.63) συγκλίνει, τότε η ακολουθία (67 ( R Πάρτε την τιμή ακολουθίας (/?„) -> ">;αυτό)) περιβάλλεται?

Ήδη περικυκλωμένος και σεκάνς

Για τη συνάρτηση ολοκλήρωσης στο μη πτητικό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους I2, επιλέγουμε μια ισοδύναμη:(ΦΑ (/?„)), τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα 7.13, θα συγκλίνει. (Αγαπητέ μου, υπάρχει ένα όριο F(R) στο-+ «>, λοιπόν. ολοκλήρωμα (12,64) συγκλίνει.Τώρα ας πούμε στον φίλο μας μέρος του θεωρήματος.

υψηλό ολοκλήρωμα (12,64) αποκλίνει. Αν υποθέσουμε ότι το ολοκλήρωμα (12.63) συγκλίνει, τότε, όταν ληφθεί περαιτέρω, το ολοκλήρωμα (12.64) μπορεί επίσης να συγκλίνει, για να είναι σαφές.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

?

Ένα παρόμοιο πρόσημο εξισορρόπησης ισχύει επίσης για μη-καταστατικά ολοκληρώματα διαφορετικού είδους.

Ποιες είναι οι συναρτήσεις /(x) i

σολ

X)ασταμάτητα ταυτόχρονα

[α>β)

και για όλα τα σημεία στην ίδια γειτονιά ενός συγκεκριμένου σημείουσι

Wikonani και για όλα τα σημεία στην ίδια γειτονιά ενός συγκεκριμένου σημείου

Umovi 0

(x), τότε η σύγκλιση του ολοκληρώματος Jg(x)dx

X)το μέγεθος του ολοκληρώματος J/(x)dx, και λόγω της διαίρεσης του ολοκληρώματος J/(x)dx -

την τιμή του ολοκληρώματος Jg(x)dx.

Ας ρίξουμε μια ματιά στην εφαρμογή του μετασχηματισμού των μη πτητικών ολοκληρωμάτων.

πισινό 27. Τ.

^-.

X 3 (1 + e L) Απόφαση.

Εξισώνει την ολοκληρωτική συνάρτηση στο ολοκλήρωμά της με τη συνάρτηση Dg.

Είναι προφανές ότι -g-- Χ

g* (1+0 x J grav J-jdx συγκλίνουν?

Επίσης, τα σημάδια της εξίσωσης συγκλίνουν και δίνονται - 1 ny ολοκλήρωμα.Απόθεμα 28. Ι-.

Το ίδιο με την ολοκληρωτική συνάρτηση αυτού του ολοκληρώματος με τη συνάρτηση 1/x, bachimo, ότι (1 + Σε x)/x > 1/x για το διάστημα 1(x) στο διάστημα [a, ">), και η συνάρτηση g(x) κινείται συνεχώς σε αυτό το διάστημα και δεν αυξάνεται και δεν υπερβαίνει το μηδέν ως x -> ©o.

Στη συνέχεια το μη πτητικό ολοκλήρωμα

ίχνος του ολοκληρώματοςσυγκλίνω.

Βιώσιμη ολοκλήρωση από τμήματα του ολοκληρώματος J /(x)g(x)dx για πολύ καιρό R R" z [ΕΝΑ

, ° °). Maemo:Θεώρημα 12.12. Για τη σύγκλιση του μη πτητικού ολοκληρώματος (12,64) είναι απαραίτητο για οποιοδήποτε e > 0 να μπορούμε να βρούμε έναν τέτοιο αριθμόΕΝΑ > 0, οτιδήποτε R"

і /?", μεγαλύτερο, χαμηλότερο ΕΝΑ,Η ανησυχία τελειώνει: Πίσω από το θεώρημα του νου F(x)

περικυκλωμένος, tobto.

|F(x)| Κ. Η συνάρτηση g(x) δεν αυξάνεται και είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ως x -" ">, δηλαδή. g(x) > 0, a g"(x) Abel Nils Henrik (1802-1829) – Νορβηγός μαθηματικός. Με βάση το νοητικό θεώρημα g(x) -» 0 για x -> ©, για επαρκή αριθμό e > 0 μπορείτε να γνωρίζετε τον αριθμό

Α>

και λοιπόν;

R" > L

X)θα υπάρχει πολλή νευρικότητα Πίσω από το θεώρημα του νου g(R") Αντικαθιστώντας την τιμή στην εκτίμηση (12.68), μπορούμε να αφαιρέσουμε:

που ικανοποιεί το κριτήριο Cauchy για τη συνέχεια του ολοκληρώματος (12.66). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

?

Ας δούμε την εφαρμογή των ενδείξεων Dirichlet - Abel για τη δυνατότητα μη πτητικού ολοκληρωμάτων.

X) Butt 29. f^^dx, a>0.

Βάζουμε /(x) = sin x, (/?„)), τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα 7.13, θα συγκλίνει.= l/x"· είναι εύκολο να μετατραπεί ότι όλα τα θεωρήματα Wikonian διασφαλίζουν ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει. Για a > 1, το ολοκλήρωμα ΕΝΑ, = ral να συγκλίνουν απολύτως.Αλήθεια, |

x/xP 1/d L, αναπόσπαστο J(l/x e)dx

συγκλίνουν, λοιπόν.

є μονότονα αυξάνεται από την αλλαγή t abo-d (θραύσματα παίρνουμε d>0, -d από μηδέν μηδέν).

Όταν τα ορίσματα αυξάνονται, οι συναρτήσεις F1(t) και F2(-д) στερούνται τα όριά τους, πράγμα που σημαίνει ότι όλα τα ανεξάρτητα ολοκληρώματα συγκλίνουν.

• Στο οποίο βασίζεται το πρώτο θεώρημα ισοπέδωσης για ολοκληρώματα σε άγνωστες συναρτήσεις.
• Για τη συνάρτηση f(x) και g(x) στο x?a vikonani μυαλό:

1) 0;f(x);g(x);

2) Οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι συνεχείς.

Επομένως, από την απόκλιση του ολοκληρώματος, υπάρχει και η απόκλιση του ολοκληρώματος, και από την απόκλιση του ολοκληρωτικού, το ίχνος της απόκλισης

Τα τμήματα 0?f(x)?g(x) και οι συναρτήσεις είναι συνεχείς, λοιπόν

Πίσω από το μυαλό το ολοκλήρωμα συγκλίνει, λοιπόν.

έχει τερματική τιμή.<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Λοιπόν, το ολοκλήρωμα συγκλίνει με τον ίδιο τρόπο.

Αφήστε το ολοκλήρωμα τώρα να αποκλίνει.

Είναι αποδεκτό ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει, αλλά τότε το ολοκλήρωμα μπορεί να συγκλίνει, ας πούμε έτσι.

Η υπόθεση μας είναι λανθασμένη, το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Το θεώρημα εξισορρόπησης για μη καταστατικά ολοκληρώματα 2ου είδους.

Αφήστε τις συναρτήσεις f(x) και g(x) να αυξηθούν αδιάκοπα όταν x>+0.

Για αυτό, στο x>+0, η ανισότητα είναι αληθής

Το θεώρημα εξισορρόπησης για μη καταστατικά ολοκληρώματα του 1ου είδους.

Έτσι, το ολοκλήρωμα εξόδου είναι ένα παρόμοιο μη πτητικό ολοκλήρωμα διαφορετικού είδους, επιπλέον, είναι ίσο με 2.

Ας δούμε την επιλογή εάν λάβουμε υπόψη ένα άλλο είδος ολοκληρωτικής συνάρτησης στο ανώτερο όριο του διαστήματος ολοκλήρωσης.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να επιστραφεί στο προηγούμενο αντικαθιστώντας τη μεταβλητή $x=-t$ και στη συνέχεια αναδιατάσσοντας τα όρια ολοκλήρωσης.

Ας εξετάσουμε την επιλογή εάν αναπτύξουμε ένα άλλο είδος ολοκληρωτικής συνάρτησης στο μέσο του διαστήματος ολοκλήρωσης, στο σημείο $ c \in (a, \, b) $.

Ποιος τύπος έχει την έξοδο αναπόσπαστο;

\αρχή(εξίσωση) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(εξίσωση)

σερβίρετε στο vyglyadі sumi

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx.

Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x) τέμνονται το $, και οι παρακάτω αριθμοί λαμβάνονται υπόψη στο τέλος.

\]

Viznachennya.

Εάν τα ολοκληρώματα $I_1, \, I_2$ συγκλίνουν, τότε το ανεξάρτητο ολοκλήρωμα (23) ονομάζεται όμοιο και του αποδίδονται τιμές, έτσι ώστε τα αντίστοιχα αθροίσματα των ολοκληρωμάτων $I_1, \, I_2$, η συνάρτηση $ Το f(x)$ ονομάζεται int egrovaya στο διάστημα $\ left [a, \, b \right] $.

Εάν θέλετε ένα από τα ολοκληρώματα $I_1,\, I_2$ να είναι διαιρετό, το μη ελεγχόμενο ολοκλήρωμα (23) ονομάζεται διαιρετό.

Τα συγκλίνοντα ανεξάρτητα ολοκληρώματα του 2ου είδους έχουν όλα τα τυπικά χαρακτηριστικά των ολοκληρωμάτων παραδοσιακού τραγουδιού.

1. Εφόσον τα $f(x)$, τα $g(x)$ είναι ενσωματωμένα στο διάστημα $\left[ a, \,b \right ]$, το άθροισμά τους $f(x)+g(x)$ είναι επίσης ενσωματωμένο σε αυτά τα διαστήματα και \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^(b )g (x)dx.

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon.

\]

για $k = 1$.

Εξετάζοντας τη συμπεριφορά στο $\epsilon \rightarrow +0$, φτάνουμε στο σημείο όπου το ολοκλήρωμα (20) συγκλίνει στο $k

10.2.2 Σημάδια ματαιότητας μη πτητικών ολοκληρωμάτων 2ου είδους

Θεώρημα (το πρώτο πρόσημο του επιπέδου).

Έστω $f(x)$, $g(x)$ - χωρίς διακοπή για $x\in (a,\,b)$ και $0 1. Ως αναπόσπαστο \[ \int _a^(b)g(x Το )dx \] συγκλίνει, τότε το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx συγκλίνει.

\] 2. Αν το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx \] αποκλίνει, τότε το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)g(x)dx αποκλίνει.

\]