Існування межі у точці. Межа функції: основні поняття та визначення. Визначення, що число a не є межею
Нехай функція у = ƒ (х) визначена в деякій околиці точки х о, крім, можливо, самої точки х о.
Сформулюємо два, еквівалентні між собою, визначення межі функції в точці.
Визначення 1 (на «мові послідовностей», або за Гейном).
Число А називається межею функції у=ƒ(х) у топці x 0 (або при х® х о), якщо для будь-якої послідовності допустимих значень аргументу x n , n є N (x n ¹ x 0), що сходить до х про послідовність відповідних значень функції ƒ(х n), n є N, сходить до А
У цьому випадку пишуть
або ƒ(х)->А при х→х о. Геометричний сенс межі функції: означає, що для всіх точок х, досить близьких до точки х о, відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А.
Визначення 2 (на мові ε, або по Коші).
Число А називається межею функції в точці х о (або при х→х о), якщо для будь-якого позитивного ε знайдеться таке позитивне число δ, що для всіх х х о, що задовольняють нерівності |х-х про |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Геометричний сенс межі функції:
якщо для будь-якої ε-околиці точки А знайдеться така δ-околиця точки х о, що для всіх х¹ хо з цією δ-околиця відповідні значення функції ƒ(х) лежать у ε-околиці точки А. Іншими словами, точки графіка функції у= ƒ(х) лежать усередині смуги шириною 2ε, обмеженою прямими у=А+ ε , у=А-ε (див. рис. 110). Очевидно, що величина залежить від вибору ε, тому пишуть δ=δ(ε).
<< Пример 16.1
Довести, що
Рішення: Візьмемо довільне ε>0, знайдемо δ=δ(ε)>0 таке, що для всіх х, що задовольняють нерівності | х-3 |< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.
Взявши δ=ε/2, бачимо, що для всіх х, що задовольняють нерівності | х-3 |< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.
<< Пример 16.2
16.2. Односторонні межі
У визначенні межі функції вважається, що х прагне x 0 будь-яким способом: залишаючись меншим, ніж x 0 (ліворуч від х 0), більшим, ніж х о (право від х о), або коливаючись близько точки x 0 .
Бувають випадки, коли спосіб наближення аргументу х к х о істотно впливає на значення межі функції. Тому запроваджують поняття односторонніх меж.
Число А 1 називається межею функції у=ƒ(х) ліворуч у точці хо, якщо для будь-якого число ε>0 існує число δ=δ(ε)> 0 таке, що при х є (х 0 -δ;xo), виконується нерівність | ƒ (х)-А |<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х 0 -0 або коротко: ƒ(х о- 0)=А 1 (позначення Діріхле) (див. рис. 111).
Аналогічно визначається межа функції праворуч, запишемо його за допомогою символів:
Коротко межу праворуч позначають ƒ(х про +0)=А.
Межі функції ліворуч і праворуч називаються односторонніми межами. Очевидно, якщо існує , то існують і обидва односторонні межі, причому А = А1 = А2.
Справедливе і зворотне твердження: якщо є обидві межі ƒ(х 0 -0) і ƒ(х 0 +0) і вони рівні, існує межа і А=ƒ(х 0 -0).
Якщо ж А 1 ¹ А 2 , то цей боковий вівтар не існує.
16.3. Межа функції при х ® ∞
Нехай функція у=ƒ(х) визначена у проміжку (-∞;∞). Число А називається межею функціїƒ(х) прих→ ∞ , якщо для будь-якого позитивного числа існує таке число М=М()>0, що при всіх х, що задовольняють нерівності |х|>М виконується нерівність |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Геометричний сенс цього визначення такий: для ε>0 $ М>0, що при х є(-∞; -М) або х є(М; +∞) відповідні значення функції ƒ(х) потрапляють в ε-околиця точки А , Т. е. точки графіка лежать у смузі шириною 2ε, обмеженою прямими у = А + ε і у = А-ε (див. рис. 112).
16.4. Нескінченно велика функція (б.б.ф.)
Функція у=ƒ(х) називається нескінченно великою при х→х 0 якщо для будь-якого числа М>0 існує число δ=δ(М)>0, що для всіх х, що задовольняють нерівності 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.
Наприклад, функція у=1/(х-2) є б.б.ф. при х->2.
Якщо ƒ(х) прагне нескінченності при х→хо і набуває лише позитивних значень, то пишуть
якщо лише негативні значення, то
Функція у=ƒ(х), задана на всій числовій прямій, називається нескінченно великийпри х→∞, якщо для будь-якого числа М>0 знайдеться таке число N=N(M)>0, що за всіх х, що задовольняють нерівності |х|>N, виконується нерівність |ƒ(х)|>М. Коротко:
Наприклад, у = 2х є б.б.ф. при х→∞.
Зазначимо, що й аргумент х, прагнучи нескінченності, набуває лише натуральні значення, т. е. хєN, то відповідна б.б.ф. стає нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовність v n =n 2 +1, n є N, є нескінченно великою послідовністю. Вочевидь, будь-яка б.б.ф. в околиці точки х є необмеженою в цьому околиці. Зворотне твердження неправильне: необмежена функція може бути б.б.ф. (Наприклад, у = хsinх.)
Однак, якщо limƒ(х)=А при х→x 0 де А - кінцеве число, то функція ƒ(х) обмежена в околиці точки х о.
Справді, визначення межі функції випливає, що при х→ х 0 виконується умова |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.
Доводячи властивості межі функції, ми переконалися, що від проколотих околиць, у яких були визначені наші функції та які виникали у процесі доказів, крім властивостей зазначених у вступі до попереднього пункту 2, дійсно нічого не вимагалося. Ця обставина є виправданням виділення наступного математичного об'єкта.
а. База; визначення та основні приклади
Визначення 11. Сукупність У підмножинах множини X називатимемо базою у множині X, якщо виконані дві умови:
Іншими словами, елементи сукупності У суть непорожні множини і в перетині будь-яких двох з них міститься деякий елемент з тієї ж сукупності.
Вкажемо деякі найбільш уживані в аналізі бази.
Якщо то замість пишуть і кажуть, що їх прагне справа або з боку великих значень (відповідно, зліва або з боку менших значень). При прийнято короткий запис замість
Запис буде вживатись замість Вона означає, що а; прагне безлічі Е к а, залишаючись більше (менше), ніж а.
то замість пишуть і кажуть, що х прагне плюс нескінченності (відповідно, до мінус нескінченності).
Запис вживатиметься замість
При замість ми (якщо це не веде до непорозуміння) будемо, як це заведено в теорії межі послідовності, писати
Зауважимо, що це перелічені бази мають особливістю, що перетин будь-яких двох елементів бази саме є елементом цієї бази, а чи не лише містить певний елемент бази. З іншими базами ми зустрінемося щодо функцій, заданих не так на числової осі.
Зазначимо також, що термін «база», що використовується тут, є коротким позначенням того, що в математиці називається «базисом фільтра», а введена нижче межа за базою є найбільш істотною для аналізу частиною створеного сучасним французьким математиком А. Картаном.
b. Межа функції з бази
Визначення 12. Нехай – функція на множині X; В - база в X. Число називається межею функції по базі, якщо для будь-якої околиці точки А знайдеться елемент бази, образ якого міститься в околиці
Якщо А - межа функції з бази, то пишуть
Повторимо визначення межі за основою в логічній символіці:
Оскільки ми зараз розглядаємо функції з числовими значеннями, корисно мати на увазі і таку форму цього основного визначення:
У цьому формулюванні замість довільного околиці V (А) береться симетрична (щодо точки А) околиця (е-околиця). Еквівалентність цих визначень для речовиннозначних функцій випливає з того, що, як уже говорилося, у будь-якій околиці точки міститься деяка симетрична околиця цієї точки (проведіть доказ повністю!).
Ми дали загальне визначення межі функції на базі. Вище було розглянуто приклади найбільш уживаних в аналізі баз. У конкретній задачі, де з'являється та чи інша з цих баз, необхідно вміти розшифрувати загальне визначення та записати його для конкретної бази.
Розглядаючи приклади баз, ми, зокрема, запровадили поняття околиці нескінченності. Якщо використовувати це поняття, то відповідно до загального визначення межі розумно прийняти такі угоди:
або, що те саме,
Зазвичай під мають на увазі малу величину. У наведених термінах це, очевидно, негаразд. Відповідно до ухвалених угод, наприклад, можемо записати
Для того щоб можна було вважати доведеними і в загальному випадку межі довільної бази всі ті теореми про межі, які ми довели в пункті 2 для спеціальної бази, необхідно дати відповідні визначення: фінально постійної, фінально обмеженої і нескінченно малої при даній базі функцій.
Визначення 13. Функція називається фінально постійною при базі, якщо існують число і такий елемент бази, в будь-якій точці якого
Визначення 14. Функція називається обмеженою при базі або фінально обмеженою при базі, якщо існують число з і такий елемент бази, в будь-якій точці якого
Визначення 15. Функція називається нескінченно малою при базі, якщо
Після цих визначень і основного спостереження у тому, що з підтвердження теорем про межах потрібні лише характеристики бази, вважатимуться, що це властивості межі, встановлені у пункті 2, справедливі меж за будь-якою базе.
Зокрема, ми можемо тепер говорити про межу функції при або при або
Крім того, ми забезпечили можливість застосування теорії меж і в тому випадку, коли функції будуть визначені не на числових множинах; надалі це виявиться особливо цінним. Наприклад, довжина кривої є числова функція, визначена деякому класі кривих. Якщо ми знаємо цю функцію на ламаних, то потім граничним переходом визначаємо її для складніших кривих, наприклад для кола.
На даний момент основна користь від зробленого спостереження та введеного у зв'язку з ним поняття бази полягає в тому, що вони позбавляють нас від перевірок та формальних доказів теорем про межі для кожного конкретного виду граничних переходів або, у нашій нинішній термінології, для кожного конкретного виду баз.
Щоб остаточно освоїтися з поняттям межі довільної базі, докази подальших властивостей межі функції ми проведемо у вигляді.
Визначення 1. Нехай Е- Безліч безліч. Якщо будь-яка околиця містить точки множини Е, відмінні від точки а, то аназивається граничною точкою множини Е.
Визначення 2. (Генріх Гейне (1821-1881)). Нехай функція 
визначена на безлічі Хі 
Аназивається межею
функції 
у точці 
(або при 
якщо для будь-якої послідовності значень аргументу 
, що сходить до 
, відповідна послідовність значень функції сходить до А. Пишуть: 
.
Приклади. 1) Функція 
має межу, рівну з, у будь-якій точці числової прямої.
Справді, для будь-якої точки 
та будь-якої послідовності значень аргументу 
, що сходить до 
і що складається з чисел, відмінних від 
, відповідна послідовність значень функції має вигляд 
, А ми знаємо, що ця послідовність сходиться до з. Тому 
.
2) Для функції 
.
Це очевидно, тому що якщо 
, то й 
.
3) Функція Діріхле 
не має межі в жодній точці.
Справді, нехай 
і 
, причому всі 
- Раціональні числа. Тоді 
для всіх nтому 
. Якщо ж 
і все 
- ірраціональні числа, то 
для всіх nтому 
. Ми бачимо, що умови визначення 2 не виконуються, тому 
не існує.
4)
.
Справді, візьмемо довільну послідовність 
, що сходить до
числу 2. Тоді. Що і потрібно було довести.
Визначення 3. (Коші (1789-1857)). Нехай функція 
визначена на безлічі Хі 
- Гранична точка цієї множини. Число Аназивається межею
функції 
у точці 
(або при 
, якщо для будь-кого 
знайдеться 
, таке, що для всіх значень аргументу х, що задовольняють нерівності
,
справедлива нерівність
.
Пишуть: 
.
Визначення Коші можна дати і за допомогою околиць, якщо помітити, що :
нехай функція 
визначена на безлічі Хі 
- Гранична точка цієї множини. Число Аназивається межею
функції 
у точці 
якщо для будь-якої 
-околиці точки А 
знайдеться проколота 
- околиця точки 
Така, що 
.
Це визначення корисно проілюструвати малюнком.
Приклад 5.
.
Справді, візьмемо 
довільно та знайдемо 
, таке, що для всіх х, що задовольняють нерівності 
виконується нерівність 
. Остання нерівність рівносильна нерівності 
, тому бачимо, що достатньо взяти 
. Твердження доведено.
Справедлива
Теорема 1. Визначення межі функції по Гейні та Коші еквівалентні.
Доказ. 1) Нехай 
по Коші. Доведемо, що це число є межею і за Гейне.
Візьмемо 
довільно. Відповідно до визначення 3 існує 
, таке, що для всіх 
виконується нерівність 
. Нехай 
- довільна послідовність така, що 
при 
. Тоді існує номер Nтакий, що для всіх 
виконується нерівність 
тому 
для всіх 
, тобто. 
по Гейні.
2) Нехай тепер 
по Гейні. Доведемо, що 
та по Коші.
Припустимо неприємне, тобто. що 
по Коші. Тоді існує 
таке, що для будь-кого 
знайдеться 
,
і 
. Розглянемо послідовність 
. Для вказаного 
та будь-якого nіснує 
і 
. Це означає, що 
, хоча 
, тобто. число Ане є межею 
у точці 
по Гейні. Набули суперечності, яка і доводить твердження. Теорему доведено.
Теорема 2 (про єдиність межі). Якщо існує межа функції у точці 
, То він єдиний.
Доказ. Якщо межа визначена за Гейне, його єдиність випливає з єдиності межі послідовності. Якщо межа визначена по Коші, його єдиність випливає з еквівалентності визначень межі по Коші і за Гейне. Теорему доведено.
Аналогічно критерію Коші для послідовностей має місце критерій Коші існування межі функції. Перш ніж його сформулювати, дамо
Визначення 4. Кажуть, що функція 
задовольняє умові Коші у точці 
, якщо для будь-кого 
існує 
, таких, що 
і 
, виконується нерівність 
.
Теорема 3 (критерій Коші існування межі). Для того, щоб функція 
мала в точці 
кінцева межа, необхідно і достатньо, щоб у цій точці функція задовольняла умові Коші.
Доказ.Необхідність. Нехай 
. Потрібно довести, що 
задовольняє у точці 
умові Коші.
Візьмемо 
довільно і покладемо 
. За визначенням межі для 
існує 
, таке, що для будь-яких значень 
, що задовольняють нерівності 
і 
, виконуються нерівності 
і 
. Тоді
Необхідність доведена.
Достатність. Нехай функція 
задовольняє у точці 
умові Коші. Потрібно довести, що вона має в точці 
кінцева межа.
Візьмемо 
довільно. За визначенням 4 знайдеться 
, таке, що з нерівностей 
,
випливає, що 
– це дано.
Покажемо спочатку, що для будь-якої послідовності 
, що сходить до 
, послідовність 
значень функції сходиться. Справді, якщо 
, то, з визначення межі послідовності, для заданого 
знайдеться номер N, такий, що для будь-яких 
і 
. Оскільки 
у точці 
задовольняє умові Коші, маємо 
. Тоді за критерієм Коші для послідовностей послідовність 
сходиться. Покажемо, що всі такі послідовності 
сходяться до однієї й тієї ж межі. Припустимо неприємне, тобто. що є послідовності 
і 
,
,
, такі, що. Розглянемо послідовність. Ясно, що вона сходить до 
тому по доведеному вище послідовність сходиться, що неможливо, тому що підпослідовності 
і 
мають різні межі 
і 
. Отримана суперечність показує, що 
=
. Тому за визначенням Гейне функція має у точці 
кінцева межа. Достатність, отже і теорема, доведено.
Наводяться формулювання основних теорем та властивостей межі функції. Дано визначення кінцевих та нескінченних меж у кінцевих точках та на нескінченності (двосторонніх та односторонніх) по Коші та Гейні. Розглянуто арифметичні властивості; теореми, пов'язані з нерівностями; критерій збіжності Коші; межа складної функції; властивості нескінченно малих, нескінченно великих та монотонних функцій. Дано визначення функції.
ЗмістДруге визначення щодо Коші
Межа функції (по Коші) при її аргументі x , що прагне x 0 - це таке кінцеве число або нескінченно віддалена точка a для якої виконуються наступні умови:1) існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функція f (x)визначено;
2) для будь-якої околиці точки a , що належить , існує така проколота околиця точки x 0 , на якій значення функції належать вибраній околиці точки a:
при .
Тут a і x 0
також можуть бути як кінцевими числами, так і віддаленими точками. За допомогою логічних символів існування та загальності це визначення можна записати так:
.
Якщо як безліч взяти ліву або праву околицю кінцевої точки, то отримаємо визначення межі по Коші ліворуч або праворуч.
Теорема
Визначення межі функції по Коші та Гейні еквівалентні.
Доказ
Околиці точок, що застосовуються
Тоді, фактично, визначення Коші означає наступне.
Для будь-яких позитивних чисел , існують числа , так що для всіх x, що належать проколоті околиці точки : , значення функції належать околиці точки a: ,
де , .
З таким визначенням не зовсім зручно працювати, оскільки околиці визначаються за допомогою чотирьох чисел. Але його можна спростити, якщо ввести околиці з рівновіддаленими кінцями. Тобто можна покласти. Тоді ми отримаємо визначення, яке простіше використовувати за доказом теорем. При цьому воно є еквівалентним визначенню, в якому використовуються довільні околиці. Доказ цього факту наводиться у розділі «Еквівалентність визначень межі функції Коші» .
Тоді можна дати єдине визначення межі функції в кінцевих та нескінченно віддалених точках:
.
Тут для кінцевих точок
;
;
.
Будь-які околиці нескінченно віддалених точок є проколотими:
;
;
.
Кінцеві межі функції у кінцевих точках
Число a називається межею функції f (x)у точці x 0 , якщо1) функція визначена на деякому проколоті околиці кінцевої точки;
2) для будь-якого існує таке , що залежить від , що для всіх x , для яких виконується нерівність
.
За допомогою логічних символів існування та загальності визначення межі функції можна записати так:
.
Односторонні межі.
Ліва межа в точці (лівостороння межа):
.
Права межа в точці (правостороння межа):
.
Межі ліворуч і праворуч часто позначають так:
;
.
Кінцеві межі функції у нескінченно віддалених точках
Аналогічно визначаються межі в нескінченно віддалених точках.
.
.
.
Нескінченні межі функції
Також можна ввести визначення нескінченних меж певних знаків, рівних та :
.
.
Властивості та теореми межі функції
Далі ми вважаємо, що ці функції визначені у відповідній проколоті околиці точки , яка є кінцевим числом або одним із символів: . Також може бути точкою односторонньої межі, тобто мати вигляд або . Околиця є двосторонньою для двосторонньої межі та односторонньою для односторонньої.
Основні властивості
Якщо значення функції f (x)змінити (або зробити невизначеними) у кінцевому числі точок x 1, x 2, x 3, ... x n, то ця зміна ніяк не вплине на існування та величину межі функції у довільній точці x 0 .
Якщо існує кінцева межа, то існує така проколота околиця точки x 0
, на якій функція f (x)обмежена:
.
Нехай функція має у точці x 0
кінцева межа, відмінна від нуля:
.
Тоді, для будь-якого числа c з інтервалу існує така проколота околиця точки x 0
, що для ,
, якщо;
якщо .
Якщо, на деякому проколоті околиці точки , - постійна, то .
Якщо існують кінцеві межі та і на деякому проколоті околиці точки x 0
,
то.
Якщо , і на деякій околиці точки
,
то.
Зокрема, якщо на деякій околиці точки
,
то якщо, то і;
якщо, то і.
Якщо на деякому проколоті околиці точки x 0
:
,
і існують кінцеві (або нескінченні певного знака) рівні межі:
, то
.
Докази основних властивостей наведено на сторінці
"Основні властивості межі функції".
Нехай функції і визначені в деякій проколоті околиці точки. І нехай існують кінцеві межі:
та .
І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .
Якщо то .
Докази арифметичних властивостей наведено на сторінці
"Арифметичні властивості межі функції".
Критерій Коші існування межі функції
Теорема
Для того, щоб функція , визначена на деякій проколоті околиці кінцевої або нескінченно віддаленої точки x 0
, мала в цій точці кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0
існувала така проколота околиця точки x 0
, Що для будь-яких точок і з цієї околиці, виконувалася нерівність:
.
Межа складної функції
Теорема про межу складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки. Нехай функція визначена на цьому околиці і має на ній межу.
Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: . Околиці та відповідні їм межі можуть бути як двосторонні, і односторонні.
Тоді існує межа складної функції і він дорівнює:
.
Теорема про межу складної функції застосовується у тому випадку, коли функція не визначена у точці або має значення, відмінне від граничного . Для застосування цієї теореми, повинна існувати проколота околиця точки , де безліч значень функції не містить точку :
.
Якщо функція безперервна у точці , то знак межі можна застосовувати до аргументу безперервної функції:
.
Далі наводиться теорема, що відповідає цьому випадку.
Теорема про межу безперервної функції від функції
Нехай існує межа функції g (x)при x → x 0
, і він дорівнює t 0
:
.
Тут точка x 0
може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .
І нехай функція f (t)безперервна в точці t 0
.
Тоді існує межа складної функції f (g(x)), і він дорівнює f (t 0):
.
Докази теорем наведено на сторінці
«Межа і безперервність складної функції».
Нескінченно малі та нескінченно великі функції
Нескінченно малі функції
Визначення
Функція називається нескінченно малою при , якщо
.
Сума, різницю та твіркінцевого числа нескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією при .
Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки , на нескінченно малу при є нескінченно малою функцією при .
Для того, щоб функція мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функція при .
"Властивості нескінченно малих функцій".
Нескінченно великі функції
Визначення
Функція називається нескінченно великою при , якщо
.
Сума або різниця обмеженої функції, на деякому проколоті околиці точки , і нескінченно великий функції при є нескінченно великою функцією при .
Якщо функція є нескінченно великою при , а функція - обмежена, на деякому проколоті околиці точки , то
.
Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , задовольняє нерівності:
,
а функція є нескінченно малою при:
, і (на деякому проколоті околиці точки ), то
.
Докази властивостей викладені у розділі
"Властивості нескінченно великих функцій".
Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями
З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.
Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .
Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .
Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
,
.
Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то цей факт можна виразити так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
.
Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями можна доповнити такими співвідношеннями:
,
,
,
.
Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».
Межі монотонних функцій
Визначення
Функція , визначена на деякій множині дійсних чисел X називається строго зростаючоюякщо для всіх таких що виконується нерівність:
.
Відповідно, для суворо спадаючоюфункції виконується нерівність:
.
Для невтратною:
.
Для незростаючою:
.
Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.
Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.
Теорема
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
Якщо вона обмежена зверху числом M:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена зверху, то .
Якщо обмежена знизу числом m:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена знизу, то .
Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
Цю теорему можна сформулювати компактніше.
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
;
.
Аналогічна теорема для функції, що не зростає.
Нехай функція не зростає на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі:
;
.
Доказ теореми викладено на сторінці
"Межі монотонних функцій".
Визначення функції
функцією y = f (x)називається закон (правило), згідно з яким, кожному елементу x множини X ставиться у відповідність один і тільки один елемент y множини Y .
Елемент x ∈ Xназивають аргументом функціїабо незалежної змінної.
Елемент y ∈ Yназивають значенням функціїабо залежною змінною.
Безліч X називається областю визначення функції.
Безліч елементів y ∈ Y, які мають прообрази у множині X , називається областю або безліччю значень функції.
Дійсна функція називається обмеженою зверху (знизу)якщо існує таке число M , що для всіх виконується нерівність:
.
Числова функція називається обмеженоюякщо існує таке число M , що для всіх :
.
Верхньою граннюабо точним верхнім кордономНасправді функції називають найменше з чисел, що обмежує область її значень зверху. Тобто це таке число s, для якого для всіх і для будь-якого, знайдеться такий аргумент, значення функції якого перевищує s′:.
Верхня грань функції може позначатися так:
.
Відповідно нижньою граннюабо точним нижнім кордономНасправді функції називають найбільше з чисел, що обмежує область її значень знизу. Тобто це таке число i , для якого для всіх і для будь - якого , знайдеться такий аргумент , значення функції якого менше ніж i : .
Нижня грань функції може позначатися так:
.
Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.
Наводяться визначення межі функції по Гейні (через послідовності) і Коші (через эпсилон і дельта околиці). Визначення даються в універсальному вигляді, що застосовується як для двосторонніх, так і односторонніх меж у кінцевих та нескінченно віддалених точках. Розглянуто визначення, що точка a не є межею функції. Доказ еквівалентності визначень по Гейні та Коші.
ЗмістДив. також: Околиця точки
Визначення межі функції у кінцевій точці
Визначення межі функції на нескінченності
Перше визначення межі функції (за Гейном)
(x)у точці x 0
:
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0
2) для будь-якої послідовності ( x n ), що сходить до x 0
:
, елементи якої належать околиці ,
послідовність ( f(x n ))сходиться до a:
.
Тут x 0 і можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими точками. Околиця може бути як двосторонньою, так і односторонньою.
.
Друге визначення межі функції (за Кошою)
Число a називається межею функції f (x)у точці x 0
:
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0
, де функція визначена;
2) для будь-якого позитивного числа ε > 0
існує таке число δε > 0
, що залежить від ε , що для всіх x , що належать проколоті δ ε - околиці точки x 0
:
,
значення функції f (x)належать ε - околиці точки a:
.
Крапки x 0 і можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими точками. Околиця також може бути як двосторонньою, так і односторонньою.
Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.
У цьому вся визначенні використовуються околиці з рівновіддаленими кінцями. Можна дати і еквівалентне визначення, використовуючи довільні околиці точок.
Визначення з використанням довільних околиць
Число a називається межею функції f (x)у точці x 0
:
,
якщо
1) існує така проколота околиця точки x 0
, де функція визначена;
2) для будь-якого околиці U (a)точки a існує така проколота околиця точки x 0
, що для всіх x , що належать проколоті околиці точки x 0
:
,
значення функції f (x)належать околиці U (a)точки a:
.
За допомогою логічних символів існування та загальності це визначення можна записати так:
.
Односторонні та двосторонні межі
Наведені вище визначення універсальні тому, що їх можна використовувати будь-яких типів околиць. Якщо, як ми використовуємо ліву проколоту околицю кінцевої точки, то отримаємо визначення лівосторонньої межі . Якщо як околиця використовувати околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі на нескінченності.
Для визначення межі за Гейном це зводиться до того, що на довільну, що сходить до послідовність накладається додаткове обмеження - її елементи повинні належати відповідній проколоті околиці точки.
Для визначення межі по Коші необхідно у кожному разі перетворити висловлювання й у нерівності, використовуючи відповідні визначення околиці точки.
Див. «Навколо точки».
Визначення, що точка a не є межею функції
Часто виникає необхідність використовувати умову, що точка a не є межею функції при . Побудуємо заперечення до викладених вище ухвал. Вони ми припускаємо, що функція f (x)визначена на деякому проколоті околиці точки x 0 . Точки a та x 0 можуть бути як кінцевими числами, так і нескінченно віддаленими. Все сформульоване нижче стосується як двосторонніх, так і односторонніх меж.
По Гейні.
Число a не ємежею функції f (x)у точці x 0
:
,
якщо існує така послідовність ( x n ), що сходить до x 0
:
,
елементи якої належать околиці,
що послідовність ( f(x n ))не сходиться до a:
.
.
По Коші.
Число a не ємежею функції f (x)у точці x 0
:
,
якщо існує така позитивна кількість ε > 0
так для будь-якого позитивного числа δ > 0
існує таке x , що належить проколотій δ - околиці точки x 0
:
,
що значення функції f (x)не належить ε - околиці точки a:
.
.
Зрозуміло, якщо точка a не є межею функції при , то це не означає, що в неї не може бути межі. Можливо, існує межа , але вона не дорівнює a . Також можливий випадок, коли функція визначена в проколоті околиці точки , але не має межі при .
Функція f(x) = sin(1/x)не має межі за x → 0.
Наприклад, функція визначена при , але межі немає. Для доказу візьмемо послідовність. Вона сходиться до точки 0
: . Оскільки, то.
Візьмемо послідовність. Вона також сходиться до точки 0
: . Але оскільки, то.
Тоді межа не може дорівнювати жодному числу a. Дійсно, при , Існує послідовність , З якої . Тому будь-яке відмінне від нуля число не є межею. Але також не є межею, оскільки існує послідовність , з якою .
Еквівалентність визначень межі по Гейні та Коші
Теорема
Визначення межі функції по Гейні та Коші еквівалентні.
Доказ
При доказі ми припускаємо, що функція визначена в деякій проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). Точка a також може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою.
Доказ Гейне ⇒ Коші
Нехай функція має у точці межу a згідно з першим визначенням (за Гейном). Тобто для будь-якої послідовності, що належить проколотому околиці точки і має межу
(1)
,
межа послідовності дорівнює a:
(2)
.
Покажемо, що функція має межу в точці Коші. Тобто для кожного існує, що для всіх.
Допустимо неприємне. Нехай умови (1) та (2) виконані, але функція не має межі по Коші. Тобто існує таке, що для будь-кого існує, так що
.
Візьмемо , де n – натуральне число. Тоді існує , причому
.
Таким чином ми побудували послідовність, що сходить до, але межа послідовності не дорівнює a. Це суперечить умові теореми.
Перша частина – доведена.
Доказ Коші ⇒ Гейне
Нехай функція має у точці межу a згідно з другим визначенням (за Кошою). Тобто для будь-кого існує, що
(3)
для всіх .
Покажемо, що функція має межу a у точці за Гейном.
Візьмемо довільне число. Згідно з визначенням Коші існує число , так що виконується (3).
Візьмемо довільну послідовність, що належить проколотому околиці і сходить до. За визначенням послідовності, що сходить, для будь-якого існує , що
при .
Тоді з (3) випливає, що
при .
Оскільки це виконується для будь-кого, то
.
Теорему доведено.
Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
