Знаходження центру мас системи. Маса системи. Центр мас. Тривимірний випадок: багатогранники

При дослідженні поведінки систем частинок часто зручно використовувати для опису руху таку точку, яка характеризує положення і рух аналізованої системи як єдиного цілого. Такою точкою є центр мас.

Для однорідних тіл, що мають симетрію, центр мас часто збігається з геометричним центром тіла. У однорідному ізотропному тілі однієї виділеної точки знайдеться симетрична їй точка.

Радіус-вектор та координати центру мас

Припустимо, що ми маємо дві частинки з рівними масами, їм відповідають радіус-вектори: $(\overline(r))_1\ і\ (\overline(r))_2$ . І тут центр мас розташований посередині між частинками. Центр мас (точка C) визначений радіус-вектором $(\overline(r))_C$ (рис.1).

З рис.1 видно, що:

\[(\overline(r))_C=\frac((\overline(r))_1+\ (\overline(r))_2)(2)\left(1\right).\]

Очікується, що разом із геометричним центром системи радіус-вектор, якого дорівнює $(\overline(r))_C,$ грає роль точка, положення якої визначає розподіл маси. Її визначають так, щоб внесок кожної частки був пропорційний її масі:

\[(\overline(r))_C=\frac((\overline(r))_1m_1+\ (\overline(r))_2m_2)(m_1+m_2)\left(2\right).\]

Радіус -вектор $(\overline(r))_C$, визначений виразом (2) - середньо зважена величина радіус-векторів частинок $(\overline(r))_1$ і $(\overline(r))_2$. Це стає очевидним, якщо формулу (2) подати у вигляді:

\[(\overline(r))_C=\frac(m_1)(m_1+m_2)(\overline(r))_1+\frac(m_2)(m_1+m_2)(\overline(r))_2\left( 3\right).\]

Вираз (3) показує, що радіус-вектор кожної частинки входить у $(\overline(r))_C$ з вагою, яка пропорційна його масі.

Вираз (3) легко узагальнюється для множини матеріальних точок, які розташовані довільним чином.

Якщо положення N матеріальних точок системи встановлено за допомогою їх радіус-векторів, то радіус - вектор, що визначає положення центру мас знаходимо як:

\[(\overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\left(4\right).\]

Вираз (4) вважають визначенням центру мас системи.

При цьому абсцис центру мас дорівнює:

Ордината ($y_c$) центру мас та його аплікату ($z_c$):

\ \

Формули (4-7) збігаються з формулами, які використовують визначення тяжкості тіла. У тому випадку, якщо розміри тіла малі в порівнянні з відстанню до центру Землі, центр тяжкості вважають таким, що збігається з центром мас тіла. У більшості завдань центр тяжіння збігається із центром мас тіла.

Швидкість центру мас

Вираз для швидкості центру мас ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) запишемо як:

\[(\overline(v))_c=\frac(m_1(\overline(v))_1+m_2(\overline(v))_2+\dots +m_n(\overline(v))_n)(m_1+m_2+ \dots +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\left(8\right),\]

де $ \ overline (P) $ - сумарний імпульс системи частинок; $M$ маса системи. Вираз (8) справедливо при рухах зі швидкостями які значно менші за швидкість світла.

Якщо система частинок є замкненою, то сума імпульсів її частин не змінюється. Отже швидкість центру мас при цьому величина постійна. Говорять, що центр мас замкнутої системи переміщається по інерції, тобто прямолінійно і рівномірно, і цей рух не залежить від руху складових частин системи. У замкнутій системі можуть діяти внутрішні сили, внаслідок їхньої дії частини системи можуть мати прискорення. Але це впливає на рух центру мас. Під впливом внутрішніх сил швидкість центру мас не змінюється.

Приклади завдань визначення центру мас

Приклад 2

Завдання.Система складена з матеріальних точок (рис.2), запишіть координати її центру мас?

Рішення.Розглянемо рис.2. Центр мас системи лежить на площині, отже, має дві координати ($x_c,y_c$). Знайдемо їх, використовуючи формули:

\[\left\( \begin(array)(c) x_c=\frac(\sum\limits_i(\Delta m_ix_i))(m);; \\ y_с=\frac(\sum\limits_i(\Delta m_iy_i)) )(m).\end(array) \right.\]

Обчислимо масу аналізованої системи точок:

Тоді абсцис центру мас $x_(c\ )\ $рівна:

Ордината $y_с$:

Відповідь.$ x_c = 0,5 \ b $; $ y_с = 0,3 \ b $

Приклад 2

Завдання.Космонавт, що має масу $m$, нерухомий щодо корабля маси $M$. Двигун космічного апарату вимкнено. Людина починає підтягуватись до корабля за допомогою легкого троса. Яка відстань пройде космонавт ($s_1$), який корабель ($s_2$) до точки зустрічі? У початковий момент відстань між ними дорівнює $s$.

Рішення.Центр мас корабля та космонавта лежить на прямій, що з'єднує ці об'єкти.

У космосі, де зовнішні сили відсутні, центр мас замкнутої системи (корабель-космонавт) або спочиває, або рухається з постійною швидкістю. В обраній нами (інерціальній) системі відліку він спочиває. При цьому:

\[\frac(s_1)(s_2)=\frac(m_2)(m_1)\left(2.1\right).\]

За умовою:

З рівнянь (2.1) та (2.2) отримуємо:

Відповідь.$s_1=s\frac(m_2)(m_1+m_2);;\ s_2=s\frac(m_1)(m_1+m_2)$

Рух системи, крім діючих сил, залежить також від її сумарної маси та розподілу мас. Маса системи (позначаємо М або ) дорівнює арифметичній сумі мас усіх точок або тіл, що утворюють систему.

розподіл мас у системі визначається значеннями мас її точок та їх взаємними положеннями, тобто їх координатами Проте виявляється, що при вирішенні тих завдань динаміки, які ми розглядатимемо, зокрема динаміки твердого тіла, для обліку розподілу мас достатньо знати не всі величини а деякі, що виражаються через них сумарні характеристики. Ними є: координати центру мас (виражаються через суми творів мас точок системи на їх координати), осьові моменти інерції (виражаються через суми творів мас точок системи на квадрати їх координат) та відцентрові моменти інерції (виражаються через суми творів мас точок системи та двох з їх координат). Ці показники ми у цьому розділі і розглянемо.

Центр мас. В однорідному полі тяжкості, для якого g = const, вага будь-якої частинки тіла пропорційна її масі. Тому про розподіл мас у тілі можна судити за становищем його центру тяжкості. Перетворимо формули (59) з § 32, що визначають координати центру тяжкості тіла, на вигляд, що явно містить масу. Для цього покладемо в названих формулах, після чого, скоротивши на g, знайдемо:

В отримані рівності входять тепер маси матеріальних точок (часток), що утворюють тіло, та координати цих точок. Отже, положення точки дійсно характеризує розподіл мас в тілі або в будь-якій механічній системі, якщо розуміти відповідно маси і координати точок системи.

Геометрична точка, координати якої визначаються формулами (1), називається центром мас або центром інерції механічної системи.

Якщо положення центру мас визначати його радіусом-вектором, то з рівностей (1) для виходить формула

де – радіуси-вектори точок, що утворюють систему.

З отриманих результатів слід, що з твердого тіла, що у однорідному полі тяжкості, положення центру мас і центру тяжкості збігаються. Але на відміну від центру тяжкості поняття про центр мас зберігає свій сенс для тіла, що знаходиться в будь-якому силовому полі (наприклад, у центральному полі тяжіння), і, крім того, як характеристика розподілу мас, має сенс не тільки для твердого тіла, а й для будь-якої механічної системи.

Рух системи, крім діючих сил, залежить також від її сумарної маси та розподілу мас. Маса системидорівнює арифметичній сумі мас усіх точок або тіл, що утворюють систему

В однорідному полі тяжкості, для якого вага будь-якої частинки тіла буде пропорційний її масі. Тому про розподіл мас у тілі можна судити за становищем його центру тяжкості. Перетворимо формули, що визначають координати центру тяжкості:

, , . (1)

В отримані рівності входять лише маси матеріальних точок (часток), що утворюють тіло, та координати цих точок. Отже, положення точки З (x C , y C , z C) дійсно характеризує розподіл мас у тілі або в будь-якій механічній системі, якщо під , розуміти відповідно маси та координати точок цієї системи.

Геометрична точка Зкоординати якої визначаються зазначеними формулами, називається центром масабо центром інерції системи.

Положення центру мас визначається його радіус-вектором

де - радіус-вектори точок, що утворюють систему.

Хоча положення центру мас збігається з положенням центру тяжкості тіла, що знаходиться в однорідному полі тяжкості, ці поняття не є тотожними. Поняття про центр тяжіння, як про точку, якою проходить лінія дії рівнодіючої сил тяжіння, сутнісно має сенс лише твердого тіла, що у однорідному полі тяжкості. Поняття ж про центр мас, як про характеристику розподілу мас у системі, має сенс для будь-якої системи матеріальних точок або тіл, причому, це поняття зберігає свій сенс незалежно від того, перебуває ця система під дією яких-небудь сил чи ні.

Момент інерції тіла щодо осі. Радіус інерції.

Положення центру мас характеризує розподіл мас системи в повному обсязі. Наприклад (рис.32 ), якщо відстані hвід осі Ozкожної з однакових куль Аі Взбільшити на ту саму величину, то положення центру мас системи не зміниться, а розподіл мас стане іншим, і це позначиться на русі системи (обертання навколо осі Ozза інших рівних умов відбуватиметься повільніше).

Рис.32

Тому в механіці вводиться ще одна характеристика розподілу мас – момент інерції. Моментом інерції тіла (системи) щодо даної осі Oz (або осьовим моментом інерції) називається скалярна величина, що дорівнює сумі творів мас усіх точок тіла (системи) на квадрати їх відстаней від цієї осі

З визначення слідує, що момент інерції тіла (або системи) щодо будь-якої осі є величиною позитивною і не дорівнює нулю.

Зауважимо також, що момент інерції тіла – це геометрична характеристика тіла, яка залежить від його руху.

Осьовий момент інерції грає при обертальному русі тіла таку роль, яку маса при поступальному, тобто. що осьовий момент інерції є мірою інертності тіла при обертальному русі.

Відповідно до формули момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції всіх його частин щодо тієї ж осі. Для однієї матеріальної точки, що знаходиться на відстані hвід осі, .

Часто під час розрахунків користуються поняттям радіусу інерції. Радіусом інерціїтіла щодо осі Оzназивається лінійна величина, яка визначається рівністю

де М- маса тіла. З визначення випливає, що радіус інерції геометрично дорівнює відстані від осі Оzтієї точки, в якій треба зосередити масу всього тіла, щоб момент інерції однієї цієї точки дорівнював моменту інерції всього тіла.

У разі суцільного тіла, розбиваючи його на елементарні частини, знайдемо, що межі сума, що стоїть у рівності , звернеться до інтегралу. В результаті, враховуючи, що , де - щільність, а V-обсяг, отримаємо

Інтеграл тут розповсюджується на весь обсяг Vтіла, а щільність та відстань hзалежать від координат точок тіла.

Моменти інерції деяких однорідних тіл:

1.Тонкий однорідний стрижень довжини lта маси М.Обчислимо його момент інерції щодо осі Аz,перпендикулярною до стрижня і проходить через його кінець А(Рис. 33).

Рис.33

Направимо вздовж АВкоординатну вісь Ах.Тоді для будь-якого елементарного відрізка довжини dxвеличина h=x,а маса , де - маса одиниці довжини стрижня. В результаті

Заміняючи його значенням, знайдемо остаточно:

2. Тонке кругле однорідне кільце радіусу Rта маси М.Знайдемо його момент інерції щодо осі Cz,перпендикулярній площині кільця та проходить через його центр (рис.34, а).Оскільки всі точки кільця знаходяться від осі Czна відстані h k =R,то

Отже, для кільця

Очевидно, такий самий результат вийде для моменту інерції тонкої циліндричної оболонки маси Мта радіуса Rщодо її осі.

3. Кругла однорідна пластина або циліндр радіусу Rта маси М.Обчислимо момент інерції круглої пластини щодо осі Сz,перпендикулярної до пластини та проходить через її центр (див. рис.34, а). Для цього виділимо елементарне кільце радіусу rта ширини dr(Рис.34, б).

У цьому параграфі розглянемо докладно окремий випадок системи власне паралельних сил. Саме, будь-яке матеріальне тіло або система матеріальних точок (дискретних частинок), що знаходяться на Землі, схильні до дії земного тяжіння. Тому на кожну частину таких механічних систем діє сила її тяжкості. Строго кажучи, всі ці сили спрямовані на одну точку до центру Землі. Але оскільки розміри земних тіл дуже малі в порівнянні з радіусом Землі (думаємо, що також малі об'єми, в яких укладені дискретні частки), то з великим ступенем точності ці сили можна вважати паралельними. Приведенню цієї системи сил і присвячено параграф.

Питома вага

Виділимо в тілі елементарну частинку обсягом настільки малу, що її положення можна визначити одним радіусом-вектором. Нехай вага цієї частки буде Величина

називається питомою вагою, а величина

Щільністю тіла.

У системі одиниць СІ питома вага має розмірність

а щільність

У випадку питому вагу і щільність є функціями координат точок тіла. Якщо вони для всіх точок однакові, тіло називається однорідним.

Рівнодія всіх елементарних сил тяжкості дорівнює їх сумі і є вагою тіла. Центр цих паралельних сил називається центром тяжкості тіла.

Вочевидь, становище центру тяжкості у тілі залежить від орієнтації тіла у просторі. Це твердження випливає з зробленого раніше зауваження про те, що центр паралельних сил не змінює свого положення при повороті всіх сил на той самий кут навколо їх точок додатка.

Формули, що визначають центри тяжкості тіла та системи дискретних частинок

Для визначення центру тяжкості тіла розіб'ємо його на досить малі частинки об'ємом. До кожної з них прикладемо силу тяжіння рівну

Рівнодія цих паралельних сил дорівнює вазі тіла, який позначимо через

Радіус-вектор центру ваги тіла, який позначимо через , визначиться за формулами попереднього параграфа як центр паралельних сил. Таким чином, матимемо

Якщо визначається центр тяжкості системи дискретних частинок, то буде питома вага частинки, V - її обсяг - радіус-вектор, що визначає положення частинки. Остання формула визначає у разі центр мас системи дискретних частинок.

Якщо механічна система є тілом, утвореним безперервною сукупністю частинок, то в межі суми останніх формул звертаються в інтеграли і радіус-вектор центру тяжкості тіла може бути обчислений за формулою:

де інтеграли поширюються у всьому обсязі тіла.

Якщо тіло однорідне, то остання формула має вигляд:

де V – об'єм всього тіла.

Таким чином, коли тіло однорідне, визначення його центру тяжкості зводиться до чисто геометричного завдання. І тут говорять про центр тяжкості обсягу.

Центр мас тіла

Введене поняття центру тяжкості має сенс лише тіл (малих проти розмірами Землі), що є поблизу Землі. Разом з тим, метод обчислення координат центру тяжкості дозволяє застосувати його для обчислення координат точки, що характеризує розподіл матерії в тілі. Для цього слід розглядати не вагу часток, а їхню масу. Кожна частка тіла об'ємом має масу.

а замінюючи у раніше отриманій формулі на прийдемо до рівності:

яке визначає точку, що має назву центру мас або центру інерції тіла.

Якщо система складається з матеріальних точок, маси яких центр мас системи знаходиться за формулою:

де є масою всієї системи. Радіус-вектор центру мас тіла залежить від вибору початку координат О. Якщо як початок координат вибрати сам центр інерції, то дорівнюватиме нулю:

Поняття центру мас то, можливо запроваджено незалежно від поняття центру тяжкості. Завдяки цьому воно відноситься до будь-яких механічних систем.

Статичні моменти

Вирази називаються відповідно статичними моментами ваги, об'єму і маси тіла щодо точки О. Якщо як крапка (початок координат) вибрати центр мас тіла, то статичні моменти тіла щодо центру мас виявляться рівними нулю, що неодноразово використовуватиметься надалі.

Методи обчислення центру мас

У випадку тіла складної форми визначення координат центру мас за наведеними загальними формулами зазвичай пов'язане з кропіткими обчисленнями. У ряді випадків їх можна спростити, якщо скористатися такими методами.

1) Метод симетрії. Нехай тіло має центр матеріальної симетрії. Це означає, що кожній частинці з масою і радіусом-вектором проведеного з цього центру відповідає частка з такою ж масою і радіусом-вектором . В цьому випадку статичний момент маси тіла звернеться в нуль і

Отже, центр мас збігатиметься у цьому випадку з центром матеріальної симетрії тіла. Для однорідних тіл це означає, що центр мас збігається з геометричним центром об'єму тіла. Якщо тіло має площину матеріальної симетрії, центр мас перебуває у цій площині. Якщо тіло симетрично щодо осі, то центр мас знаходиться на цій осі.

з масами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `...`. Кожну з цих частин можна як матеріальну точку. Положення у просторі `i`-ої матеріальної точки з масою `m_i` визначається радіус - вектором `vecr_i` (рис. 11). Маса тіла є сума мас окремих його частин: `m=sum_im_i`. За визначенням центром мас тіла (системи тіл) називається така точка `C`, радіус-вектор якої `vecr_c` визначається за формулою `vecr_c=1/m sum_im_ivecr_i`.

Можна показати, що положення центру мас щодо тіла не залежить від вибору початку координат `O`, тобто це визначення центру мас однозначно і коректно.

Не вдаючись у методи знаходження центру мас, скажімо, що центр мас однорідних симетричних тіл розташований у їхньому геометричному центрі або на осі симетрії, центр мас у плоского тіла у вигляді довільного трикутника знаходиться на перетині його медіан.

Виявляється, що центр мас тіла (або системи тіл) має низку чудових властивостей. У динаміці показується, що імпульс тіла, що довільно рухається, дорівнює добутку маси тіла на швидкість його центру мас і що центр мас рухається так, якби всі зовнішні сили, що діють на тіло, були прикладені в центрі мас, а маса всього тіла була зосереджена в ньому .

Центром тяжіння тіла, що у полі тяжіння Землі, називають точку докладання рівнодіючої всіх сил тяжкості, діючих попри всі частини тіла. Ця рівнодіюча називається силою тяжіння, що діє тіло. Сила тяжкості, прикладена у центрі тяжкості тіла, робить на тіло таку саму дію, як і всі сили тяжіння, що діють окремі частини тіла.

Цікавий випадок, коли розміри тіла набагато менші за розміри Землі. Тоді вважатимуться, що це частини тіла діють паралельні сили тяжкості, т. е. тіло перебуває у однорідному полі тяжкості. У паралельних та однаково спрямованих сил завжди є рівнодіюча, що можна довести. Але при певному положенні тіла в просторі можна вказати тільки лінію дії рівнодіючої всіх паралельних сил тяжкості, точка її застосування залишиться поки що невизначеною, тому що для твердого тіла будь-яку силу можна переносити вздовж лінії її дії. Як же бути з точкою програми?

Можна показати, що при будь-якому положенні тіла в однорідному полі тяжкості лінія дії рівнодіючої всіх сил тяжіння, що діють на окремі частини тіла, проходять через ту саму точку, нерухому щодо тіла. У цій точці прикладається рівнодіюча, а сама точка буде центром тяжкості тіла.

Положення центру тяжкості щодо тіла залежить тільки від форми тіла та розподілу маси в тілі та не залежить від положення тіла в однорідному полі тяжкості. Центр тяжкості не обов'язково знаходиться у самому тілі. Наприклад, у обруча в однорідному полі тяжкості центр ваги лежить у його геометричному центрі.

Повідомимо без доказу надзвичайно цікавий та важливий факт. Виявляється, в однорідному полі тяжкості центр тяжкості тіла збігається з центром мас.Нагадаємо, що центр мас тіла існує незалежно від наявності поля тяжіння, а про центр тяжіння можна говорити лише за наявності сили тяжіння.

Розташування центру тяжкості тіла, отже, і центру мас, зручно знаходити, враховуючи симетричність тіла, і використовуючи поняття моменту сили.

На легкому стрижні (рис. 12) закріплені кулі масами `m_1=3` кг, `m_2=2` кг, `m_3=6` кг, `m_4=3` кг.Відстань між центрами будь-яких найближчих куль `a=10` див. Знайти положення центру тяжкості та центру мас конструкції.

Положення щодо куль центру тяжкості конструкції залежить від орієнтації стрижня у просторі. Для вирішення задачі зручно розташувати стрижень горизонтально, як показано на малюнку 12. Нехай центр ваги знаходиться на відстані `L` від центру лівої кулі, тобто від т. `A`. У центрі тяжкості прикладена рівнодіюча всіх сил тяжіння, і її момент щодо осі `A` дорівнює сумі моментів сил тяжіння куль.

Маємо: `R=(m_1+m_2+m_3+m_4)g`, `RL=m_2ga+m_3g2a+m_4g3a`.

Звідси `L=(m_2+2m_3+3m_4)/(m_1+m_2+m_3+m_4) a~~16,4` див.

Центр тяжкості збігається з центром мас і знаходиться в точці `C` на відстані `L~~16,4` см від центру лівої кулі.