Метод гауса із параметром. Метод гауса чи чомусь діти не розуміють математику. Приклад розв'язання системи рівнянь методом Гаус

Дана система лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) з невідомими. Потрібно вирішити цю систему: визначити, скільки рішень вона має (жоден, один або нескінченно багато), а якщо вона має хоча б одне рішення, то знайти будь-яке з них.

Формальнозавдання ставиться так: розв'язати систему:

де коефіцієнти та відомі, а змінні - Шукані невідомі.

Зручне матричне подання цього завдання:

де - матриця, складена з коефіцієнтів, і - Вектори-стовпці висоти.

СЛАУ може бути не над полем дійсних чисел, а над полем за модулембудь-якого числа , тобто:

— алгоритм Гауса працює і для таких систем теж (але цей випадок буде розглянуто в окремому розділі).

Алгоритм Гауса

Строго кажучи, описаний нижче метод правильно називати методом "Гаусса-Жордана" (Gauss-Jordan elimination), оскільки він є варіацією методу Гауса, описаної геодезистом Вільгельмом Жорданом в 1887 р. (Варто відзначити, що Вільгельм Жордан не є автором ні теореми кривих, ні жорданової алгебри - все це три різних вчених-однофамільця (крім того, мабуть, більш правильною є транскрипція "Йордан", але написання "Жордан" вже закріпилося в російській літературі). Також цікаво помітити, що одночасно з Жорданом (а за деякими даними навіть раніше за нього) цей алгоритм придумав Класен (B.-I. Clasen).

Базова схема

Коротко кажучи, алгоритм полягає в послідовному виключеннізмінних із кожного рівняння до того часу, поки кожному рівнянні залишиться лише з однієї змінної. Якщо , то можна говорити, що алгоритм Гаусса-Жордана прагне привести матрицю системи до одиничної матриці - адже після того, як матриця стала одиничною, рішення системи очевидно - рішення єдине і задається коефіцієнтами.

При цьому алгоритм ґрунтується на двох простих еквівалентних перетвореннях системи: по-перше, можна обмінювати два рівняння, а по-друге, будь-яке рівняння можна замінити лінійною комбінацією цього рядка (з ненульовим коефіцієнтом) та інших рядків (з довільними коефіцієнтами).

На першому кроціалгоритм Гаусса-Жордана поділяє перший рядок на коефіцієнт . Потім алгоритм додає перший рядок до інших рядків з такими коефіцієнтами, щоб їх коефіцієнти в першому стовпці зверталися в нулі - для цього, очевидно, при додаванні першого рядка до якого треба домножувати її на . При кожній операції з матрицею (розподіл на число, додаток до одного рядка іншого) відповідні операції проводяться і з вектором; в певному сенсі, він веде себе, наче він був -им стовпцем матриці.

У результаті, по закінченні першого кроку перший стовпець матриці стане одиничним (тобто міститиме одиницю в першому рядку і нулі в інших).

Аналогічно виробляється другий крок алгоритму, тільки тепер розглядається другий стовпець і другий рядок: спочатку другий рядок ділиться на , а потім віднімається від решти рядків з такими коефіцієнтами, щоб обнуляти другий стовпець матриці .

Пошук опорного елемента (pivoting)

Очевидно, описана вище схема неповна. Вона працює тільки в тому випадку, якщо на кожному етапі елемент відмінний від нуля - інакше ми просто не зможемо домогтися обнулення інших коефіцієнтів в поточному стовпці шляхом додавання до них рядка.

Щоб зробити алгоритм працюючим у таких випадках, якраз і існує процес вибору опорного елемента(Англійською мовою це називається одним словом "pivoting"). Він полягає в тому, що проводиться перестановка рядків та/або стовпців матриці, щоб у потрібному елементі виявилося ненульове число.

Зауважимо, що перестановка рядків значно простіше реалізується на комп'ютері, ніж перестановка стовпців: адже при обміні місцями двох якихось стовпців треба запам'ятати, що ці дві змінні обмінялися місцями, щоб потім при відновленні відповіді правильно відновити, яка відповідь до якої змінної відноситься . При перестановці рядків жодних додаткових дій робити не треба.

На щастя, для коректності методу достатньо лише обмінів рядків (т.зв. "partial pivoting", на відміну від "full pivoting", коли обмінюються і рядки, і стовпці). Але який саме рядок слід обирати для обміну? Чи правда, що пошук опорного елемента треба робити лише тоді, коли поточний елемент нульовий?

Спільної відповіді це питання немає. Є різноманітні евристики, проте найефективнішою з них (за співвідношенням простоти та віддачі) є така евристика: як опорний елемент слід брати найбільший за модулем елемент, причому проводити пошук опорного елемента і обмін з ним треба завжди, Не тільки коли це необхідно (тобто. не тільки тоді, коли ).

Іншими словами, перед виконанням -ой фази алгоритму Гауса-Жордана з евристикою partial pivoting необхідно знайти в -ом стовпці серед елементів з індексами від до максимальний за модулем, і обміняти рядок з цим елементом з -ой рядком.

По-перше, ця евристика дозволить вирішити СЛАУ, навіть якщо по ходу рішення траплятиметься так, що елемент . По-друге, що дуже важливо, ця евристика покращує чисельну стійкістьалгоритму Гауса-Жордана

Без цієї евристики, навіть якщо система така, що на кожній фазі - алгоритм Гаусса-Жордана відпрацює, але в результаті накопичується похибка може виявитися настільки великою, що навіть для матриць розміру під похибка буде перевищувати саму відповідь.

Вироджені випадки

Отже, якщо зупинятися на алгоритмі Гауса-Жордана з partial pivoting, то стверджується, якщо і система невироджена (тобто має ненульовий визначник, що означає, що вона має єдине рішення), то описаний вище алгоритм повністю відпрацює і прийде до одиничної матриці (доказ цього, тобто того, що ненульовий опорний елемент завжди перебуватиме, тут не наводиться).

Розглянемо тепер загальний випадокколи і не обов'язково рівні. Припустимо, що опорний елемент на -ом кроці не знайшовся. Це означає, що в стовпці всі рядки, починаючи з поточної, містять нулі. Стверджується, що в цьому випадку ця змінна не може бути визначена, і є незалежної змінної(може набувати довільного значення). Щоб алгоритм Гаусса-Жордана продовжив свою роботу для всіх наступних змінних, у такій ситуації треба просто пропустити поточний стовпець, не збільшуючи при цьому номер поточного рядка (можна сказати, що ми віртуально видаляємо стовпець матриці).

Отже, деякі змінні у процесі роботи алгоритму можуть бути незалежними. Зрозуміло, що коли кількість змінних більша за кількість рівнянь, то як мінімум змінних виявляться незалежними.

У цілому, якщо виявилася хоча б одна незалежна змінна, то вона може набувати довільного значення, тоді як інші (залежні) змінні будуть виражатися через неї. Це означає, що коли ми працюємо в полі дійсних чисел, система потенційно має нескінченно багато рішень(якщо ми розглядаємо СЛАУ за модулем, то число рішень буде дорівнює цьому модулю у кількості незалежних змінних). Втім, слід бути акуратним: треба пам'ятати про те, що навіть якщо було виявлено незалежні змінні, проте СЛАУ може не мати рішень зовсім. Це відбувається, коли в рівняннях, що залишилися необробленими (тих, до яких алгоритм Гауса-Жордана не дійшов, тобто це рівняння, в яких залишилися тільки незалежні змінні) є хоча б один ненульовий вільний член.

Втім, простіше це перевірити явною підстановкою знайденого рішення: всім незалежним змінним привласнити нульові значення, залежним змінним привласнити знайдені значення, і підставити це рішення в поточну СЛАУ.

Реалізація

Наведемо тут реалізацію алгоритму Гаусса-Жордана з евристикою partial pivoting (вибір опорного елемента як максимуму по стовпцю).

На вхід функції передається сама матриця системи. Останній стовпець матриці - це в наших старих позначеннях стовпець вільних коефіцієнтів (так зроблено для зручності програмування - тому що в самому алгоритмі всі операції з вільними коефіцієнтами повторюють операції з матрицею).

Функція повертає число рішень системи ( або ) (нескінченність позначена в коді спеціальною константою , Якою можна задати будь-яке велике значення). Якщо хоча б одне рішення існує, воно повертається у векторі .

int gauss (vector< vector< double >> a, vector< double >& ans ) ( int n = ( int ) a.size ( ) ; int m = ( int ) a [ 0 ] .size ( ) - 1 ;< int >< m && row< n; ++ col) { int sel = row; for (int i= row; i< n; ++ i) if (abs (a[ i] [ col] ) >abs (a [sel] [col])) sel = i; if (abs (a[sel][col])< EPS) continue ; for (int i= col; i<= m; ++ i) swap (a[ sel] [ i] , a[ row] [ i] ) ; where[ col] = row; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) if (i ! = row) { double c = a[ i] [ col] / a[ row] [ col] ; for (int j= col; j<= m; ++ j) a[ i] [ j] - = a[ row] [ j] * c; } ++ row; } ans.assign (m, 0 ) ; for (int i= 0 ; i< m; ++ i) if (where[ i] ! = - 1 ) ans[ i] = a[ where[ i] ] [ m] / a[ where[ i] ] [ i] ; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) { double sum = 0 ; for (int j= 0 ; j< m; ++ j) sum + = ans[ j] * a[ i] [ j] ; if (abs (sum - a[ i] [ m] ) >EPS) return 0; ) for (int i = 0; i< m; ++ i) if (where[ i] == - 1 ) return INF; return 1 ; }

У функції підтримуються два вказівники – на поточний стовпець та поточний рядок.

Також заводиться вектор , в якому для кожної змінної записано, в якому рядку вона повинна вийти (іншими словами, для кожного стовпця записаний номер рядка, в якому цей стовпець відмінний від нуля). Цей вектор потрібен, оскільки деякі змінні могли не "визначитися" в ході рішення (тобто це незалежні змінні, яким можна надати довільне значення - наприклад, у наведеній реалізації це нулі).

Реалізація використовує техніку partial pivoting, роблячи пошук рядка з максимальним по модулю елементом, і переставляючи потім цей рядок у позицію (хоча явну перестановку рядків можна замінити обміном двох індексів у деякому масиві, на практиці це не дасть реального виграшу, тому що на обміни витрачається операцій).

У реалізації з метою простоти поточний рядок не ділиться на опорний елемент - так що в результаті по закінченні роботи алгоритму матриця стає не одиничною, а діагональної (втім, мабуть, розподіл рядка на провідний елемент дозволяє дещо зменшити похибки, що виникають).

Після знаходження рішення воно підставляється назад у матрицю, щоб перевірити, чи має система хоча б одне рішення чи ні. Якщо перевірка знайденого рішення пройшла успішно, то функція повертає чи — залежно від того, чи є хоча б одна незалежна змінна чи ні.

Асимптотика

Оцінимо асимптотику отриманого алгоритму. Алгоритм складається з фаз, кожної з яких відбувається:

Очевидно, перший пункт має меншу асимптотику, ніж другий. Зауважимо також, що другий пункт виконується не більше разів — стільки, скільки може бути залежних змінних до СЛАУ.

Таким чином, підсумкова асимптотикаалгоритму набуває вигляду.

При цьому оцінка перетворюється на .

Зауважимо, що коли СЛАУ розглядається не в полі дійсних чисел, а в полі за модулем два, то систему можна вирішувати набагато швидше - про це див. нижче в розділі "Рішення СЛАУ за модулем".

Точніша оцінка числа дій

Як ми вже знаємо, час роботи всього алгоритму фактично визначається часом, що витрачається на виключення поточного рівняння з інших.

Це може відбуватися на кожному з кроків, при цьому поточне рівняння додається до всіх інших. При додаванні робота йде лише зі стовпцями, починаючи з поточного. Таким чином, у сумі виходить операцій.

Доповнення

Прискорення алгоритму: поділ його на прямий та зворотний хід

Досягти дворазового прискорення алгоритму можна, розглянувши іншу його версію, класичнішу, коли алгоритм розбивається на фази прямого та зворотного ходу.

В цілому, на відміну від описаного вище алгоритму, можна наводити матрицю не до діагонального вигляду, а до трикутного вигляду— коли всі елементи суворо нижчі від головної діагоналі дорівнюють нулю.

Система з трикутною матрицею вирішується тривіально - спочатку з останнього рівняння відразу знаходиться значення останньої змінної, потім знайдене значення підставляється в передостаннє рівняння і знаходиться значення передостанньої змінної, і так далі. Цей процес і називається зворотним ходомалгоритм Гауса.

Прямий хідалгоритму Гауса - це алгоритм, аналогічний описаному вище алгоритму Гауса-Жордана, за одним винятком: поточна змінна виключається не з усіх рівнянь, а лише рівнянь після поточного. Внаслідок цього дійсно виходить не діагональна, а трикутна матриця.

Різниця в тому, що прямий хід працює швидшеалгоритму Гауса-Жордана - оскільки в середньому він робить вдвічі менше додатків одного рівняння до іншого. Зворотний хід працює за те, що в будь-якому випадку асимптотично швидше прямого ходу.

Таким чином, якщо , то даний алгоритм робитиме вже операцій — що вдвічі менше за алгоритм Гауса-Жордана.

Рішення СЛАУ за модулем

Для вирішення СЛАУ за модулем можна застосовувати описаний вище алгоритм, він зберігає свою коректність.

Зрозуміло, тепер стає непотрібним використовувати якісь хитрі техніки вибору опорного елемента - достатньо знайти будь-який ненульовий елемент у стовпці.

Якщо модуль простий, то ніяких складнощів взагалі не виникає — розподіли, що відбуваються по ходу роботи алгоритму Гауса, не створюють особливих проблем.

Особливо чудовий модуль, рівний двом: для нього всі операції з матрицею можна робити дуже ефективно Наприклад, віднімання одного рядка від іншого за модулем два - це насправді їхня симетрична різниця ("xor"). Таким чином, весь алгоритм можна значно прискорити, стиснувши всю матрицю в бітові маски та оперуючи лише ними. Наведемо нову реалізацію основної частини алгоритму Гаусса-Жордана, використовуючи стандартний контейнер C++ "bitset":

int gauss (vector< bitset< N>> a, int n, int m, bitset< N>& ans) ( vector< int >where (m, - 1); for (int col = 0, row = 0; col< m && row< n; ++ col) { for (int i= row; i< n; ++ i) if (a[ i] [ col] ) { swap (a[ i] , a[ row] ) ; break ; } if (! a[ row] [ col] ) continue ; where[ col] = row; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) if (i ! = row && a[ i] [ col] ) a[ i] ^ = a[ row] ; ++ row; }

Як можна помітити, реалізація стала навіть трохи коротшою, при тому, що вона значно швидше за стару реалізацію — а саме, швидше в рази за рахунок битового стиску. Також слід зазначити, що розв'язання систем за модулем два на практиці працює дуже швидко, оскільки випадки, коли від одного рядка треба забирати інший, відбуваються досить рідко (на розріджених матрицях цей алгоритм може працювати за час скоріше порядку квадрата від розміру, ніж куба).

Якщо модуль довільний(не обов'язково простий), то все стає дещо складнішим. Зрозуміло, що користуючись Китайською теоремою про залишки, ми зводимо завдання з довільним модулем лише до модулів виду "ступінь простого". [ Подальший текст був прихований, т.к. це неперевірена інформація - можливо, неправильний спосіб вирішення

Зрештою, розглянемо питання числа рішень СЛАУ за модулем. Відповідь на нього досить проста: число рішень дорівнює , де модуль, число незалежних змінних.

Трохи про різні способи вибору опорного елемента

Як уже говорилося вище, однозначної відповіді це питання немає.

Евристика "partial pivoting", яка полягала у пошуку максимального елемента у поточному стовпці, працює на практиці дуже непогано. Також виявляється, що вона дає практично той же результат, що і full pivoting - коли опорний елемент шукається серед елементів цілої підматриці - починаючи з поточного рядка і з поточного стовпця.

Але цікаво відзначити, що обидві ці евристики з пошуком максимального елемента фактично дуже залежать від того, наскільки були промасштабовані вихідні рівняння. Наприклад, якщо одне з рівнянь системи помножити на мільйон, це рівняння майже напевно буде обрано в якості ведучого на першому ж кроці. Це здається досить дивним, тому логічний перехід до трохи складнішої евристики — так званого "implicit pivoting".

Евристика implicit pivoting полягає в тому, що елементи різних рядків порівнюються так, як якби обидва рядки були пронормовані таким чином, що максимальний за модулем елемент у них дорівнює одиниці. Для реалізації цієї техніки треба просто підтримувати поточний максимум у кожному рядку (або підтримувати кожен рядок так, щоб максимум у ньому дорівнював одиниці по модулю, але це може призвести до збільшення накопичуваної похибки).

Поліпшення знайденої відповіді

Оскільки, незважаючи на різні евристики, алгоритм Гауса-Жордана все одно може призводити до великих похибок на спеціальних матрицях навіть розмірів порядку.

У зв'язку з цим отриману алгоритмом Гаусса-Жордана відповідь можна поліпшити, застосувавши до нього будь-який простий чисельний метод — наприклад, метод простої ітерації.

Таким чином, рішення перетворюється на двокрокове: спочатку виконується алгоритм Гаусса-Жордана, потім - будь-який чисельний метод, що приймає як початкові дані рішення, отримане на першому кроці.

Такий прийом дозволяє дещо розширити безліч завдань, які вирішуються алгоритмом Гаусса-Жордана з прийнятною похибкою.

Література

• William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
• Anthony Ralston, Philip Rabinowitz. A first course in numerical analysis

Карл Фрідріх Гаус, найбільший математик довгий час вагався, вибираючи між філософією та математикою. Можливо, саме такий склад розуму дозволив йому настільки помітно "наслідити" у світовій науці. Зокрема, створивши "Метод Гауса".

Майже 4 роки статті цього сайту стосувалися шкільної освіти, здебільшого з боку філософії, принципів (не)розуміння, які впроваджуються у свідомість дітей. Настає час великої конкретики, прикладів та методів... Я вірю, що саме такий підхід до звичних, заплутаних і важливимобластям життя дає найкращі результати.

Ми, люди так влаштовані, що скільки не говори про абстрактне мислення, але розуміння завждивідбувається через приклади. Якщо приклади відсутні, то принципи неможливо вловити... Як неможливо опинитися на вершині гори інакше, як пройшовши весь її схил від підніжжя.

Теж і зі школою: поки що живих історійнедостатньо ми інстинктивно продовжуємо вважати її місцем, де дітей вчать розуміти.

Наприклад, навчаючи методу Гауса...

Метод Гауса у 5 класі школи

Зазначу відразу: метод Гауса має набагато ширше застосування, наприклад, при вирішенні систем лінійних рівнянь. Те, про що ми говоритимемо, проходять у 5 класі. Це початку, Уяснивши які, набагато легше розібратися в більш "просунутих варіантах". У цій статті ми говоримо про методі (способі) Гауса при знаходженні суми ряду

Ось приклад, який приніс зі школи мій молодший син, який відвідує 5 клас московської гімназії.

Шкільна демонстрація методу Гауса

Вчитель математики з використанням інтерактивної дошки (сучасні методи навчання) показав дітям презентацію історії "створення методу" маленьким Гаусом.

Шкільний вчитель відшмагав маленького Карла (застарілий метод, нині в школах не застосовується) за те, що той,

замість того, щоб послідовно складати числа від 1 до 100 знайти їх суму помітив, Що пари чисел, рівно віддалені від країв арифметичної прогресії, у сумі дають одне й те саме число. наприклад, 100 і 1, 99 і 2. Порахувавши кількість таких пар, маленький Гаус майже миттєво вирішив запропоноване вчителем завдання. За що і був екзекуції на очах здивованої публіки. Щоб решті думати було не кортіло.

Що зробив маленький Гаус, розвинув почуття числа? Помітивдеяку особливістьчислового ряду з постійним кроком (арифметична прогресія). І саме цезробило його згодом великим ученим, вміючим помічати, що володіє почуттям, інстинктом розуміння.

Цим і цінна математика, що розвиває здатність бачитиспільне у приватному - абстрактне мислення. Тому більшість батьків та роботодавців інстинктивно вважають математику важливою дисципліною ...

"Математику вже потім вчити треба, що вона розум у лад наводить.
М.В.Ломоносов".

Проте, послідовники тих, хто поровав різками майбутніх геніїв, перетворили Метод на щось протилежне. Як 35 років тому говорив мій науковий керівник: "Занавчили питання". Або як сказав учора про метод Гауса мій молодший син: "Може не варто з цього велику науку робити, а?"

Наслідки творчості "вчених" видно за рівнем нинішньої шкільної математики, рівнем її викладання та розуміння "Цариці наук" більшістю.

Проте, продовжимо...

Методи пояснення методу Гауса у 5 класі школи

Вчитель математики московської гімназії, пояснюючи метод Гауса по-Віленкіну, ускладнив завдання.

Що, якщо різницю (крок) арифметичної прогресії буде не одиниця, а інше число? Наприклад, 20.

Завдання, яке він дав п'ятикласникам:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Перш ніж познайомитися з гімназічним методом, зазирнемо в Мережу: як це роблять шкільні вчителі - репетитори з математики?

Метод Гауса: пояснення №1

Відомий репетитор на своєму каналі YOUTUBE наводить такі міркування:

"запишемо числа від 1 до 100 наступним чином:

спочатку ряд чисел від 1 до 50, а строго під ним інший ряд чисел від 50 до 100, але у зворотній послідовності"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Зверніть увагу: сума кожної пари чисел з верхнього та нижнього рядів однакова і дорівнює 101! Порахуємо кількість пар, вона становить 50 і помножимо суму однієї пари на кількість пар! Вуаля: Відповідь готова!".

"Якщо ви не змогли зрозуміти - не засмучуйтесь!", - тричі у процесі пояснення повторив учитель. "Цей метод ви проходитимете в 9 класі!"

Метод Гауса: пояснення №2

Інший репетитор, менш відомий (судячи з кількості переглядів) використовує більш науковий підхід, пропонуючи алгоритм розв'язання з 5 пунктів, які необхідно виконати послідовно.

Для непосвячених: 5 це одне з чисел Фібоначчі, що традиційно вважається магічним. Метод із 5 кроків завжди більш навчений, ніж метод, наприклад, із 6 кроків. ... І це навряд чи випадковість, швидше за все, Автор - прихований прихильник теорії Фібоначчі

Дана арифметична прогресія: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Алгоритм знаходження суми чисел ряду методом Гауса:

Крок 1: переписати задану послідовність чисел навпаки, точнопід першою.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Крок 2: порахувати суми пар чисел, які розташовані у вертикальних рядах: 260.

Крок 3: порахувати, скільки таких пар у числовому ряду. Для цього відняти з максимального числа числового ряду мінімальне та розділити на величину кроку: (256 – 4) / 6 = 42.

При цьому потрібно пам'ятати про правил "Плюс один" : до отриманого приватного необхідно додати одиницю: інакше ми отримаємо результат, менший на одиницю, ніж дійсне число пар: 42 + 1 = 43.

Крок 4: помножити суму однієї пари чисел на кількість пар: 260 х 43 = 11180

Крок5: оскільки ми порахували суму пар чисел, то отриману суму слід розділити на два: 11180/2 = 5590.

Це і є шукана сума арифметичної прогресії від 4 до 256 з різницею 6!

Метод Гауса: пояснення у 5 класі московської гімназії

А ось як потрібно вирішити задачу знаходження суми ряду:

20+40+60+ ... +460+480+500

у 5 класі московської гімназії, підручник Віленкіна (за словами мого сина).

Показавши презентацію, вчителька математики показала кілька прикладів методом Гаусса і дала класу завдання знайти суми чисел поруч із кроком 20.

При цьому потрібно наступне:

Крок 1: обов'язково записати у зошиті всі числа рядувід 20 до 500 (з кроком 20).

Крок 2: записати послідовно доданки - пари чисел:першого з останнім, другого з передостаннім тощо. та порахувати їх суми.

Крок 3: порахувати "суму сум" та знайти суму всього ряду.

Як бачимо, це компактніша і ефективніша методика: число 3 - також член послідовності Фібоначчі

Мої коментарі до шкільної версії методу Гауса

Великий математик безперечно вибрав би філософію, якби передбачав, на що перетворять його "метод" послідовники німецького вчителя, що відшмагав Карла різками. Він побачив би і символізм, і діалектичну спіраль і невмираючу дурість "вчителів", намагаються виміряти алгеброю нерозуміння гармонію живої математичної думки ....

До речі: чи знаєте ви. що наша система освіти сягає корінням у німецьку школу 18 - 19 століть?

Але Гаус вибрав математику.

У чому полягає суть його методу?

В спрощення. В спостереженні та схоплюванніпростих закономірностей чисел. В перетворення сухої шкільної арифметики на цікаве та захоплююче заняття , Що активізує в мозку бажання продовжувати, а не блокує високовитратну розумову діяльність

Хіба можливо однією з наведених "модифікацій методу" Гауса порахувати суму чисел арифметичної прогресії майже миттєво? За " алгоритмами " маленький Карл гарантовано уникнув бої, виховав огиду до математики і придушив кореня свої творчі імпульси.

Чому репетитор так наполегливо радив п'ятикласникам "не боятися нерозуміння" методу, переконуючи, що "такі" завдання вони вирішуватимуть аж у 9 класі? Психологічно безграмотна дія. Вдалим прийомом було відзначити: "Бачите? Ви вже у 5 класі можетевирішувати завдання, які проходитимете лише через 4 роки! Які ви молодці!

Для використання методу Гауса достатньо рівня 3 класуколи нормальні діти вже вміють складати, множити і ділити 2 -3 значні числа. Проблеми виникають через нездатність дорослих вчителів, які "не в'їжджають", як пояснити найпростіші речі нормальною людською мовою, не те що математичною... Не здатних зацікавити математикою і геть-чисто відбивають полювання навіть у "здібних".

Або, як прокоментував мій син: "роблять із цього велику науку".

Як (загалом) дізнатися, якому саме числі слід "розгорнути" запис чисел у методі № 1?

Що робити, якщо кількість членів ряду виявиться непарним?

Навіщо перетворювати на "Правило плюс 1" те, що дитина могла просто засвоїтище в першому класі, якби розвивав "почуття числа", а не запам'ятовував"рахунок за десяток"?

І, нарешті: куди зник НОЛЬ, геніальний винахід, якому понад 2 000 років і яким сучасні вчителі математики уникають користуватися?!

Метод Гауса, мої пояснення

Нашій дитині ми з дружиною пояснювали цей "метод", здається, ще до школи.

Простота замість ускладнення чи гра у запитання - відповіді

""Подивися, ось числа від 1 до 100. Що ти бачиш?"

Справа не в тому, що саме побачить дитину. Фокус у тому, щоб він став дивитись.

"Як можна їх скласти?" Син вловив, що такі питання не задаються "просто так" і потрібно поглянути на питання "якось інакше, інакше, ніж він робить зазвичай"

Не важливо, чи дитина побачить рішення відразу, це малоймовірно. Важливо, щоб він перестав боятися дивитися, або як я говорю: "ворушив завдання". Це початок шляху до розуміння

"Що легше: скласти, наприклад, 5 та 6 або 5 та 95?" Наводить питання ... Але ж будь-яке навчання і зводиться до "наведення" людини на "відповідь" - будь-яким прийнятним для нього способом.

На цьому етапі вже можуть виникнути припущення про те, як "заощадити" на обчисленнях.

Все, що ми зробили - натякнули: "лобовий, лінійний" метод рахунку - не можливий. Якщо дитина це усікла, то згодом вона вигадає ще багато таких методів, адже це цікаво!І він точно уникне "нерозуміння" математики, не відчуватиме до неї огиду. Він здобув перемогу!

Якщо дитина знайшла, Що додавання пар чисел, що дають у сумі сотню, нікчемне заняття, то "арифметична прогресія з різницею 1"- Досить виснажлива і нецікава для дитини річ - раптом для нього знайшло життя . З хаосу виник порядок, а це завжди викликає ентузіазм: так ми влаштовані!

Питання на засипку: навіщо після одержання дитиною осяяння знову заганяти його в рамки сухих алгоритмів, до того ж функціонально марних у цьому випадку?!

Навіщо змушувати тупо листуватичисла послідовності у зошит: щоб навіть у здібних не виникло і єдиного шансу на розуміння? Статистично, звичайно, адже масова освіта заточена на "статистику".

Куди подівся нуль?

І все-таки складати числа, що дають у сумі 100 для розуму набагато прийнятніше, ніж дають 101.

"Шкільний метод Гауса" вимагає саме цього: бездумно складатирівновіддалені від центру прогресії пари чисел, незважаючи ні на що.

А якщо подивитися?

Все-таки нуль - найбільший винахід людства, якому понад 2 000 років. А вчителі математики продовжують його ігнорувати.

Набагато простіше перетворити ряд чисел, що починається з 1, в ряд, що починається з 0. Адже сума не зміниться, чи не так? Потрібно припинити "думати підручниками" і почати дивитися...І побачити, що пари із сумою 101 цілком можна замінити парами із сумою 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Як скасувати "правило плюс 1"?

Якщо чесно, то я про таке правило вперше почув від того ютубовського репетитора...

Як я досі роблю, коли потрібно визначити кількість членів якогось ряду?

Дивлюся на послідовність:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

а коли зовсім втомився, то на простіший ряд:

1, 2, 3, 4, 5

і прикидаю: якщо відняти з 5 одиницю, то вийде 4, але я абсолютно ясно бачу 5 чисел! Отже, треба додати одиницю! Почуття числа, розвинене у початковій школі, підказує: навіть якщо членів ряду буде цілий гугл (10 сотою мірою), закономірність залишиться тією ж.

На фіг правила?

Щоб через пару - трійку років заповнити весь простір між чолом і потилицею і перестати розуміти? А заробляти на хліб із олією як? Адже ми прямими шеренгами рухаємося в епоху цифрової економіки!

Ще про шкільний метод Гауса: "навіщо науку з цього робити?.."

Я не дарма розмістив скріншот із зошита сина.

"Що там було, на уроці?"

"Ну, я порахував відразу, підняв руку, але вона не спитала. Тому, поки інші вважали я став робити ДЗ російською мовою, щоб не витрачати час. Потім, коли інші дописали (???), вона викликала мене до дошки." Я сказав відповідь."

"Правильно покажи, як ти вирішував", - сказала вчителька. Я показав. Вона сказала: "Неправильно, треба рахувати так, як я показала!"

"Добре, що двійку не поставила. І змусила написати в зошит "хід рішення" по-їхньому. Навіщо науку велику з цього робити?.."

Головний злочин вчителя математики

Навряд чи після того випадкуКарл Гаусс відчув високе почуття поваги до шкільного вчителя математики. Але якби він знав, як послідовники того вчителя перекрутять саму суть методу... він заревів би від обурення і через Всесвітню організацію інтелектуальної власності ВОІВ домігся заборони на використання свого чесного імені у шкільних підручниках!

У чому головна помилка шкільного підходу? Або, як я висловився – злочин шкільних вчителів математики проти дітей?

Алгоритм нерозуміння

Що роблять шкільні методисти, абсолютна більшість яких думати не вміє ні фіга?

Створюють методики та алгоритми (див. ). Це захисна реакція, що оберігає вчителів від критики ("Все робиться згідно..."), а дітей - від розуміння. І таким чином – від бажання критикувати вчителів!(Друга похідна чиновницької "мудрості", науковий підхід до проблеми). Людина не вловлюючи сенс швидше нарікатиме на власне нерозуміння, а не на тупість шкільної системи.

Що й відбувається: батьки нарікають на дітей, а вчителі... те ж на дітей, які "не розуміють математику!.."

Кмітаєш?

Що зробив маленький Карл?

Абсолютно нешаблонно підійшов до шаблонного завдання. Це квінтесенція Його підходу. Це головне, чому слід навчати у школі: думати не підручниками, а головою. Звичайно, є й інструментальна складова, яку цілком можна використати... у пошуках більш простих та ефективних методів рахунку.

Метод Гауса по-Віленкіну

У школі вчать, що метод Гауса у тому, щоб

попарнознаходити суми чисел, рівновіддалених від країв числового ряду, неодмінно починаючи з країв!

знаходити число таких пар тощо.

що, якщо число елементів ряду виявиться непарним, як у задачі, яку задали синові?

"Подвох" полягає в тому, що в цьому випадку слід виявити "зайве" число рядута додати його до суми пар. У нашому прикладі це число 260.

Як виявити? Переписуючи всі пари чисел у зошит!(Саме чому вчителька змусила дітей робити цю тупу роботу, намагаючись навчити "творчості" методом Гауса... І саме тому такий "метод" практично не застосовується до великих рядів даних, і саме тому він не є методом Гауса).

Трохи творчості у шкільній рутині...

А син вчинив інакше.

Спочатку він зазначив, що множити легше число 500, а не 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Потім він прикинув: кількість кроків виявилася непарною: 500/20 = 25.

Тоді він на початок ряду додав нуль (хоча можна було і відкинути останній член ряду, що також забезпечило б парність) і склав числа, що дають у сумі 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 кроків це 13 пар "п'ятисоток": 13 х 500 = 6500.

Якщо ми відкинули останній член ряду, то пар буде 12, але до результату обчислень слід не забути додати "відкинуту" п'ятисотку. Тоді: (12 х 500) + 500 = 6500!

Нескладно, правда?

А практично робиться ще легше, що і дозволяє викроїти 2-3 хвилини на ДЗ російською, поки інші "вважають". До того ж, зберігає кількість кроків методики: 5, що не дозволяє критикувати підхід за антинауковість.

Очевидно цей підхід простіше, швидше та універсальніше, у стилі Методу. Але... вчителька не те, що не похвалила, а й змусила переписати "правильним чином" (див. скріншот). Тобто зробила відчайдушну спробу задушити творчий імпульс і здатність розуміти математику на корені! Мабуть, щоб потім зайнятися репетитором... Не на того напала...

Все, що я так довго і нудно описав, можна пояснити нормальній дитині максимум за півгодини. Разом із прикладами.

Причому так, що це ніколи не забуде.

І це буде крок до розуміння... не тільки математики.

Визнайте: скільки разів у житті ви складали методом Гауса? І я жодного разу!

Але інстинкт розуміння, який розвивається (або гаситься) у процесі вивчення математичних методів у школі... О!.. Це справді незамінна річ!

Особливо у вік загальної цифровізації, в який ми непомітно увійшли під чуйним керівництвом Партії та Уряду.

Декілька слів на захист вчителів...

Несправедливо та неправильно всю відповідальність за такий стиль навчання звалюватиме виключно на шкільних вчителів. Діє система.

Деяківчителі розуміють абсурдність того, що відбувається, але що робити? Закон про освіту, ФГОСи, методики, технологічні карти уроків... Все має робитися "відповідно та на підставі" і все має бути задокументовано. Крок убік – став у чергу на звільнення. Не будемо ханжами: зарплата московських вчителів дуже непогана... Звільнять - куди йти?..

Тому сайт цей не про освіту. Він про індивідуальній освіті, єдино можливий спосіб вибратися з натовпу покоління Z ...

Нехай дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гауса- Це метод послідовного виключення невідомих.

Суть методу Гауса полягає в перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею, з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a 11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a 11 перше рівняння. Отримаємо
x 1 +a (1) 12 ·x 2 +...+a (1) 1n ·x n =b (1) 1 (2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом та твором його «проекції» на перший стовпець і перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з них рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему
(3)
Отже, першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим ходом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різницю ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.

Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:

1. Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
2. Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.

Коефіцієнти а 11 22 … називають провідними елементами.
На кожному кроці передбачалося, що провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо це не так, то як ведучий можна використовувати будь-який інший елемент, як би переставивши рівняння системи.

Призначення методу Гауса

Метод Гауса призначений на вирішення систем лінійних рівнянь. Належить до прямих методів рішення.

Види методу Гауса

1. Класичний метод Гауса;
2. Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
3. Метод Жордано-Гаусса;

Відмінність методу Жордано-Гаусса від класичного методу Гаусаполягає у застосуванні правила прямокутника, коли напрямок пошуку рішення відбувається по головній діагоналі (перетворення до одиничної матриці). У методі Гауса напрямок пошуку рішення відбувається по стовпцях (перетворення до системи з трикутною матрицею).
Проілюструємо відмінність методу Жордано-Гауссавід методу Гауса на прикладах.

Приклад рішення методом Гауса
Вирішимо систему:



Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го



З першого рядка виражаємо x 3:
З 2-го рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса.

Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).



НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЭ і РЕ.
Подаємо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Роздільний елемент дорівнює (3).
На місці дозволяє елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Роздільний елемент дорівнює (-4).
На місці дозволяє елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.
Подаємо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Відповідь: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Реалізація методу Гауса

Метод Гауса реалізований багатьма мовами програмування, зокрема: Pascal, C++, php, Delphi , і навіть є реалізація методу Гауса в онлайн режимі .

Використання методу Гауса

Застосування методу Гауса в теорії ігор

Теоретично ігор при знайденні максимальної оптимальної стратегії гравця складається система рівнянь, яка вирішується шляхом Гаусса.

Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь

Для пошуку приватного рішення диференціального рівняння спочатку знаходять похідні відповідного ступеня для записаного приватного рішення (y=f(A,B,C,D)), які підставляють вихідне рівняння. Далі, щоб знайти змінні A,B,C,D складається система рівнянь, що вирішується методом Гаусса.

Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні

У лінійному програмуванні, зокрема в симплекс-методі перетворення симплексной таблиці кожної ітерації використовується правило прямокутника, у якому використовується метод Жордано-Гаусса.

Приклади

Приклад №1. Вирішити систему методом Гауса:
x 1 +2x 2 - 3x 3 + x 4 = -2
x 1 +2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x1+x2+x3+3x4=2

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го





Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:







З першого рядка виражаємо x 4

З 2-го рядка виражаємо x 3

З 3-го рядка виражаємо х 2

З 4-го рядка виражаємо х 1

Приклад №3.

1. Вирішити СЛАУ методом Жордано-Гаусса. Запишемо систему як: Дозволяючий елемент дорівнює (2.2). На місці дозволяє елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі. Решта елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника. x 1 = 1.00, x 2 = 1.00, x 3 = 1.00
2. Систему лінійних рівнянь вирішити методом Гаусса
   Приклад

   Подивіться, як швидко можна визначити, чи є система спільною

   Відеоінструкція

3. Застосовуючи метод Гауса виключення невідомих, вирішити систему лінійних рівнянь. Зробити перевірку знайденого рішення: Рішення
4. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса. Рекомендується перетворення, пов'язані з послідовним винятком невідомих, застосовувати до розширеної матриці даної системи. Зробити перевірку одержаного рішення.
   Рішення: xls
5. Розв'язати систему лінійних рівнянь трьома способами: а) методом Гауса послідовних винятків невідомих; б) за формулою x = A -1 b з обчисленням зворотної матриці A -1; в) за формулами Крамера.
   Рішення: xls
6. Вирішити методом Гауса наступну вироджену систему рівнянь.
   Завантажити рішення doc
7. Розв'яжіть методом Гауса систему лінійних рівнянь, записану в матричній формі:
   7 8 -3 x 92
   2 2 2 y = 30
   -9 -10 5 z -114

Розв'язання системи рівнянь методом додавання

Розв'яжіть 6x+5y=3, 3x+3y=4 систему рівнянь методом складання.
Рішення.
6x+5y=3
3x+3y=4
Помножимо друге рівняння на (-2).
6x+5y=3
-6x-6y=-8
============ (складаємо)
-y=-5
Звідки y = 5
Знаходимо x:
6x+5*5=3 або 6x=-22
Звідки x = -22/6 = -11/3

Приклад №2. Рішення СЛАУ у матричній формі означає, що вихідний запис системи необхідно привести до матричної (так звана розширена матриця). Покажемо на прикладі.
Запишемо систему у вигляді розширеної матриці:

2 4 3 -2 5 4 3 0 1

9 7 4

Додамо 2-ий рядок до 1-го:

0 9 7 -2 5 4 3 0 1

16 7 4

Помножимо 2-й рядок на (3). Помножимо 3-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го:

0 9 7 0 15 14 3 0 1

16 29 4

Помножимо 1-ий рядок на (15). Помножимо 2-й рядок на (-9). Додамо 2-ий рядок до 1-го:

0 0 -21 0 15 14 3 0 1

-21 29 4

Тепер вихідну систему можна записати як:
x 3 = -21/(-21) = 1
x 2 = / 15
x 1 = /3
З 2-го рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад №3. Розв'язати систему методом Гауса: x1+2x2-3x3+x4=-2
x 1 +2x 2 - x 3 + 2x 4 = 1
3x 1 -x 2 + 2x 3 + x 4 = 3
3x1+x2+x3+3x4=2

Рішення:
Запишемо систему у вигляді:
Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го

Помножимо 2-й рядок на (3). Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 4-й рядок на (-1). Додамо 4-й рядок до 3-го

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 1-ий рядок на (0). Додамо 2-ий рядок до 1-го

Помножимо 2-й рядок на (7). Помножимо 3-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 1-ий рядок на (15). Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 2-ий рядок до 1-го

З першого рядка виражаємо x 4

З 2-го рядка виражаємо x 3

З 3-го рядка виражаємо х 2

З 4-го рядка виражаємо х 1

1. Система лінійних рівнянь алгебри

1.1 Поняття системи лінійних рівнянь алгебри

Система рівнянь – це умова, що полягає у одночасному виконанні кількох рівнянь щодо кількох змінних. Системою лінійних рівнянь алгебри (далі – СЛАУ), що містить m рівнянь і n невідомих, називається система виду:

де числа a ij називаються коефіцієнтами системи, числа b i – вільними членами, a ijі b i(i=1,…, m; b=1,…, n) є деякі відомі числа, а x 1 ,…, x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс i позначає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, у якому стоїть цей коефіцієнт. Підлягають знаходженню числа xn. Таку систему зручно записувати у компактній матричній формі: AX=B.Тут А - матриця коефіцієнтів системи, яка називається основною матрицею;

- Вектор-стовпець з невідомих xj.
– вектор-стовпець із вільних членів bi.

Твір матриць А*Х визначено, оскільки у матриці А стовпців стільки ж, скільки рядків у матриці Х (n штук).

Розширеною матрицею системи називається матриця A системи, доповнена стовпцем вільних членів

1.2 Розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел (значень змінних), при підстановці яких замість змінних кожне із рівнянь системи звертається до правильної рівності.

Рішенням системи називається n значень невідомих х1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, при підстановці яких усі рівняння системи звертаються у вірні рівності. Будь-яке рішення системи можна записати у вигляді матриці-стовпця

Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має жодного рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. У разі кожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність всіх приватних рішень називається загальним рішенням.

Вирішити систему – це означає з'ясувати, чи спільна вона, чи несовместная. Якщо система спільна, то знайти її загальне рішення.

Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають те саме загальне рішення. Іншими словами, системи еквівалентні, якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншої, і навпаки.

Перетворення, застосування якого перетворює систему на нову систему, еквівалентну вихідної, називається еквівалентним або рівносильним перетворенням. Прикладами еквівалентних перетворень можуть бути такі перетворення: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами в усіх рівнянь, множення обох частин будь-якого рівняння системи відмінне від нуля число.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю:

Однорідна система завжди спільна, тому що x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 є рішенням системи. Це рішення називається нульовим чи тривіальним.

2. Метод виключення Гауса

2.1 Сутність методу виключення Гауса

Класичним методом вирішення систем лінійних рівнянь алгебри є метод послідовного виключення невідомих – метод Гауса(його ще називають методом гаусових винятків). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, є всі інші змінні.

Процес рішення за методом Гауса складається з двох етапів: прямий та зворотний ходи.

1. Прямий хід.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастої або трикутної форми, або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок з інших рядків, що вийшов після перестановки, домноживши її на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляючи цим стовпець під ним.

Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.

На першому етапі (прямий хід) система наводиться до ступінчастого (зокрема, трикутного) виду.

Наведена нижче система має ступінчастий вигляд:

,

Коефіцієнти aii називаються головними (провідними) елементами системи.

(якщо a11=0, переставимо рядки матриці так, щоб a 11 не дорівнював 0. Це завжди можливо, тому що в іншому випадку матриця містить нульовий стовпець, її визначник дорівнює нулю і система несумісна).

Перетворимо систему, виключивши невідоме х1 у всіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на

і складемо почленно з другим рівнянням системи (або з другого рівняння почленно віднімемо перше, помножене на ). Потім помножимо обидві частини першого рівняння і складемо з третім рівнянням системи (або з третього почленно віднімемо перше, помножене на ). Таким чином, послідовно множимо перший рядок на число і додаємо до i-й рядку, для i= 2, 3, …,n.

Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

– нові значення коефіцієнтів при невідомих та вільні члени в останніх m-1 рівняннях системи, що визначаються формулами:

Отже, першому кроці знищуються все коефіцієнти, що лежать під першим провідним елементом a 11Если у процесі приведення системи до ступінчастого виду з'являться нульові рівняння, тобто. рівності виду 0=0 їх відкидають. Якщо ж з'явиться рівняння виду

то це свідчить про несумісність системи.

У цьому прямий хід методу Гауса закінчується.

2. Зворотний перебіг.

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати фундаментальну систему рішень, або, якщо всі змінні є базисними, то висловити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь.

Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (вона в ньому всього одна) і підставляють попередні попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору.

Кожному рядку відповідає рівно одна базисна змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.

Примітка: практично зручніше працювати не з системою, а з розширеною її матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт a11 дорівнював 1 (рівняння переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на a11).

2.2 Приклади рішення СЛАУ методом Гаусса

У цьому розділі на трьох різних прикладах покажемо, як методом Гауса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

Обнулити коефіцієнти при

У нашому калькуляторі ви безкоштовно знайдете вирішення системи лінійних рівнянь методом Гауса онлайнз докладним рішенням і навіть із комплексними числами. У нас ви можете вирішити як звичайну певну, так і невизначену систему рівнянь, яка має безліч рішень. І тут у відповіді ви отримаєте залежність одних змінних через інші - вільні. Також можна перевірити систему на спільність, використовуючи той самий метод Гауса.

Докладніше про те, як користуватися нашим онлайн калькулятором, ви можете прочитати в інструкції.

Про метод

Під час вирішення системи лінійних рівнянь методом Гауса виконуються такі кроки.

1. Записуємо розширену матрицю.
2. Фактично алгоритм поділяють на прямий та зворотний хід. Прямим ходом називається приведення матриці до ступінчастого вигляду. Зворотним ходом називається приведення матриці до спеціального ступінчастого вигляду. Але на практиці зручніше відразу занулювати те, що знаходиться і зверху і знизу елемента, що розглядається. Наш калькулятор використовує цей підхід.
3. Важливо відзначити, що при вирішенні методом Гауса, наявність у матриці хоча б одного нульового рядка з ненульовою правою частиною (стовпець вільних членів) говорить про несумісність системи. Рішення у разі немає.

Щоб найкраще зрозуміти принцип роботи алгоритму, введіть будь-який приклад, виберіть "дуже докладне рішення" та вивчіть отриману відповідь.