Як визначити модуль зміни імпульсу Що таке імпульс. Зміна величини p¯
Вивчивши закони Ньютона, бачимо, що з допомогою можна вирішити основні завдання механіки, якщо відомі всі сили, які діють тіло. Є ситуації, у яких визначити ці величини важко чи взагалі неможливо. Розглянемо кілька таких ситуацій.При зіткненні двох більярдних куль або автомобілів ми можемо стверджувати про чинні сили, що це їхня природа, тут діють сили пружності. Проте ні їхніх модулів, ні їхніх напрямків ми точно встановити не зможемо, тим більше, що ці сили мають дуже малий час дії.Під час руху ракет і реактивних літаків ми також мало що можемо сказати про сили, що призводять вказані тіла до руху.У таких випадках застосовуються методи, що дозволяють уникнути рішення рівнянь руху, а відразу скористатися наслідками цих рівнянь. У цьому вводяться нові фізичні величини. Розглянемо одну з цих величин, яка називається імпульсом тіла
Стріла, що випускається із цибулі. Чим довше продовжується контакт тятиви зі стрілою (∆t), тим більша зміна імпульсу стріли (∆), а отже, тим вища її кінцева швидкість.
Дві стикаються кульки. Поки кульки знаходяться в контакті, вони діють одна на одну з рівними за модулем силами, як вчить нас третій закон Ньютона. Отже, зміни їх імпульсів також мають бути рівними по модулю, навіть якщо маси кульок не рівні.
Проаналізувавши формули, можна зробити два важливі висновки:
1. Однакові сили, що діють протягом однакового проміжку часу, спричиняють однакові зміни імпульсу у різних тіл, незалежно від маси останніх.
2. Одного і того ж зміни імпульсу тіла можна досягти, або діючи невеликою силою протягом тривалого проміжку часу, або діючи короткочасно великою силою на те саме тіло.
Згідно з другим законом Ньютона, можемо записати:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Відношення зміни імпульсу тіла до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася, дорівнює сумі сил, що діють на тіло.
Проаналізувавши це рівняння, бачимо, що другий закон Ньютона дозволяє розширити клас розв'язуваних завдань, і включити завдання, у яких маса тіл змінюється з часом.
Якщо ж спробувати вирішити завдання зі змінною масою тіл за допомогою звичайного формулювання другого закону Ньютона:
то спроба такого рішення призвела до помилки.
Прикладом тому можуть бути вже згадані реактивний літак або космічна ракета, які під час руху спалюють паливо, і продукти цього спалюваного викидають у навколишній простір. Звичайно, маса літака або ракети зменшується в міру витрати палива.
Незважаючи на те, що другий закон Ньютона у вигляді «рівнодіюча сила дорівнює добутку маси тіла на його прискорення» дозволяє вирішити досить широкий клас задач, існують випадки руху тіл, які не можуть бути повністю описані цим рівнянням. У таких випадках необхідно застосовувати інше формулювання другого закону, що пов'язує зміну імпульсу тіла з імпульсом сили, що діє. Крім того, існує ряд завдань, в яких розв'язання рівнянь руху є математично вкрай скрутним або взагалі неможливим. У разі нам корисно використовувати поняття імпульсу.
За допомогою закону збереження імпульсу та взаємозв'язку імпульсу сили та імпульсу тіла ми можемо вивести другий та третій закон Ньютона.
Другий закон Ньютона виводиться із співвідношення імпульсу сили та імпульсу тіла.
Імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла:
Зробивши відповідні переноси, ми отримаємо залежність сили від прискорення, адже прискорення визначається як відношення зміни швидкості до часу, протягом якого ця зміна сталася:
Підставивши значення на нашу формулу, отримаємо формулу другого закону Ньютона:
Для виведення третього закону Ньютона нам знадобиться закон збереження імпульсу.
Вектори підкреслюють векторність швидкості, тобто те, що швидкість може змінюватися у напрямку. Після перетворень отримаємо:
Оскільки проміжок часу в замкнутій системі був величиною постійною для обох тіл, ми можемо записати:
Ми отримали третій закон Ньютона: два тіла взаємодіють один з одним із силами, рівними за величиною та протилежними у напрямку. Вектори цих сил спрямовані назустріч один одному, відповідно, модулі цих сил рівні за своїм значенням.
Список літератури
- Тихомірова С.А., Яворський Б.М. Фізика (базовий рівень) – М.: Мнемозіна, 2012.
- Генденштейн Л.Е., Дік Ю.І. Фізика 10 клас. – М.: Мнемозіна, 2014.
- Кікоін І.К., Кікоін А.К. Фізика - 9, Москва, Освіта, 1990.
Домашнє завдання
- Дати визначення імпульсу тіла, імпульсу сили.
- Як пов'язані імпульси тіла з імпульсом сили?
- Які висновки можна зробити за формулами імпульсу тіла та імпульсу сили?
- Інтернет-портал Questions-physics.ru().
- Інтернет-портал Frutmrut.ru().
- Інтернет-портал Fizmat.by().
У повсякденному житті для того, щоб охарактеризувати людину, яка робить спонтанні вчинки, іноді використовують епітет «імпульсивний». При цьому деякі люди навіть не пам'ятають, а значна частина зовсім не знає, з якою фізичною величиною пов'язане це слово. Що ховається під поняттям «імпульс тіла» і які властивості він має? Відповіді на ці запитання шукали такі великі вчені, як Рене Декарт та Ісаак Ньютон.
Як і будь-яка наука, фізика оперує чітко сформульованими поняттями. На даний момент прийнято таке визначення для величини, що має назву імпульсу тіла: це векторна величина, яка є мірою (кількістю) механічного руху тіла.
Припустимо, що питання розглядається в рамках класичної механіки, тобто вважається, що тіло рухається зі звичайною, а не з релятивістською швидкістю, а значить, вона хоча б на порядок менша за швидкість світла у вакуумі. Тоді модуль імпульсу тіла розраховується за формулою 1 (див. фото нижче).
Таким чином, за визначенням, ця величина дорівнює добутку маси тіла на його швидкість, з якою співспрямований її вектор.
Як одиниця виміру імпульсу в СІ (Міжнародній системі одиниць) приймається 1 кг/м/с.
Звідки з'явився термін «імпульс»
За кілька століть до того, як у фізиці з'явилося поняття кількості механічного руху тіла, вважалося, що причиною будь-якого переміщення у просторі є особлива сила – імпетус.
У 14 столітті це поняття вніс корективи Жан Буридан. Він припустив, що камінь, що летить, має імпетус, прямо пропорційний швидкості, який був би незмінним, якби не було опору повітря. У той же час, на думку цього філософа, тіла з великою вагою мали здатність «вміщувати» більше такої рушійної сили.
Подальший розвиток поняття, пізніше названого імпульсом, дав Рене Декарт, який позначив його словами «кількість руху». Однак він не враховував, що швидкість має спрямування. Саме тому висунута ним теорія у деяких випадках суперечила досвіду та не знайшла визнання.
Про те, що кількість руху має мати ще й напрямок, першим здогадався англійський учений Джон Валліс. Сталося це у 1668 році. Однак знадобилося ще кілька років, щоб він сформулював відомий закон збереження кількості руху. Теоретичний доказ цього факту, встановленого емпіричним шляхом, дав Ісаак Ньютон, який використовував відкриті ним же третій і другий закони класичної механіки, названі його ім'ям.
Імпульс системи матеріальних точок
Розглянемо спочатку випадок, коли йдеться про швидкості, набагато менші, ніж швидкість світла. Тоді, згідно із законами класичної механіки, повний імпульс системи матеріальних точок становить векторну величину. Він дорівнює сумі творів їх мас на швидкості (див. формулу 2 на зображенні вище).
При цьому імпульс однієї матеріальної точки приймають векторну величину (формула 3), яка сонаправлена зі швидкістю частинки.
Якщо йдеться про тіло кінцевого розміру, то спочатку його подумки розбивають на малі частини. Таким чином, знову розглядається система матеріальних точок, однак її імпульс розраховують не звичайним підсумовуванням, а шляхом інтегрування (див. формулу 4).
Як бачимо, тимчасова залежність відсутня, тому імпульс системи, яку не впливають зовнішні сили (або їх вплив взаємно компенсовано), залишається незмінним у часі.
Доказ закону збереження
Продовжимо розглядати тіло кінцевого розміру як систему матеріальних точок. Для кожної з них другий закон Ньютона формулюється згідно з формулою 5.
Звернімо увагу на те, що система замкнута. Тоді, підсумовуючи всі точки і застосовуючи Третій закон Ньютона, отримуємо вираз 6.
Таким чином, імпульс замкнутої системи є постійною величиною.
Закон збереження справедливий і в тих випадках, коли повна сума сил, що діють на систему ззовні, дорівнює нулю. Звідси випливає одне важливе приватне твердження. Воно говорить, що імпульс тіла є постійною величиною, якщо дія ззовні відсутня або вплив кількох сил компенсований. Наприклад, без тертя після удару ключкою шайба повинна зберігати свій імпульс. Така ситуація буде спостерігатися навіть незважаючи на те, що на це тіло діють сила тяжкості та реакції опори (льоду), тому що вони, хоч і рівні по модулю, проте спрямовані у протилежні сторони, тобто компенсують один одного.
Властивості
Імпульс тіла чи матеріальної точки є адитивною величиною. Що це означає? Все просто: імпульс механічної системи матеріальних точок складається з імпульсів всіх, що входять до системи матеріальних точок.
Друга властивість цієї величини полягає в тому, що вона залишається незмінною при взаємодіях, що змінюють лише механічні характеристики системи.
Крім того, імпульс інваріантний по відношенню до будь-якого повороту системи відліку.
Релятивістський випадок
Припустимо, що йдеться про невзаємодіючі матеріальні точки, що мають швидкості близько 10 у 8-му ступені або трохи менше в системі СІ. Тривимірний імпульс розраховується за формулою 7, де під розуміють швидкість світла вакуумі.
У разі, коли вона замкнена, вірний закон збереження кількості руху. У той же час тривимірний імпульс не є релятивістською інваріантною величиною, оскільки є його залежність від системи відліку. Є також чотиривимірний варіант. Для однієї матеріальної точки його визначають за такою формулою 8.
Імпульс та енергія
Ці величини, і навіть маса тісно пов'язані друг з одним. У практичних завданнях зазвичай застосовуються співвідношення (9) та (10).
Визначення через хвилі де Бройля
У 1924 року була висловлена гіпотеза у тому, що корпускулярно-хвильовим дуалізмом мають як фотони, а й будь-які інші частки (протони, електрони, атоми). Її автором став французький вчений Луї де Бройль. Якщо перекласти цю гіпотезу на мову математики, то можна стверджувати, що з будь-якою часткою, що має енергію та імпульс, пов'язана хвиля з частотою та довжиною, що виражаються формулами 11 та 12 відповідно (h – постійна Планка).
З останнього співвідношення отримуємо, що модуль імпульсу і довжина хвилі, що позначається буквою "лямбда", пропорційні один одному (13).
Якщо розглядається частка з порівняно невисокою енергією, що рухається зі швидкістю, несумірною зі швидкістю світла, модуль імпульсу обчислюється так само, як у класичній механіці (див. формулу 1). Отже, довжина хвилі розраховується згідно з виразом 14. Іншими словами, вона обернено пропорційна добутку маси та швидкості частинки, тобто її імпульсу.
Тепер ви знаєте, що імпульс тіла - це міра механічного руху і познайомилися з його властивостями. Серед них у практичному плані особливо важливим є Закон збереження. Навіть люди, далекі від фізики, спостерігають їх у повсякденному житті. Наприклад, усім відомо, що вогнепальна зброя та артилерійські знаряддя дають віддачу під час стрільби. Закон збереження імпульсу наочно демонструє гра в більярд. З його допомогою можна передбачити напрямки розльоту куль після удару.
Закон знайшов застосування при розрахунках, необхідних вивчення наслідків можливих вибухів, у сфері створення реактивних апаратів, під час проектування вогнепальної зброї та у багатьох інших сферах життя.
Змінюються, тому що на кожне з тіл діють сили взаємодії, однак сума імпульсів залишається постійною. Це і називається законом збереження імпульсу.
Другий закон Ньютонавиражається формулою. Її можна записати іншим способом, якщо згадати, що прискорення дорівнює швидкості зміни швидкості тіла. Для рівноприскореного руху формула матиме вигляд:
Якщо підставити цей вираз у формулу, отримаємо:
,
Цю формулу можна переписати у вигляді:
У правій частині цієї рівності записано зміну добутку маси тіла на його швидкість. Твір маси тіла на швидкість є фізичною величиною, що називається імпульсом тілаабо кількістю руху тіла.
Імпульсом тіланазивають добуток маси тіла на його швидкість. Це — векторна величина. Напрямок вектора імпульсу збігається із напрямком вектора швидкості.
Іншими словами, тіло масою m, що рухається зі швидкістю має імпульс . За одиницю імпульсу СІ прийнятий імпульс тіла масою 1 кг , що рухається зі швидкістю 1 м/с (кг·м/с). При взаємодії друг з одним двох тіл якщо перше діє друге тіло силою , то, згідно з третім законом Ньютона , друге діє перше силою . Позначимо маси цих двох тіл через m 1 та m 2 , які швидкості відносно будь-якої системи відліку через і . Через деякий час tв результаті взаємодії тіл їх швидкості зміняться і стануть рівними . Підставивши ці значення формулу, отримаємо:
,
,
Отже,
Змінимо знаки обох частин рівності на протилежні та запишемо у вигляді
У лівій частині рівності - сума початкових імпульсів двох тіл, у правій частині - сума імпульсів тих самих тіл через час t. Суми рівні між собою. Таким чином, незважаючи на те. що імпульс кожного тіла при взаємодії змінюється, повний імпульс (сума імпульсів обох тіл) залишається незмінним.
Дійсно і тоді, коли взаємодіють кілька тіл. Однак, важливо, щоб ці тіла взаємодіяли тільки один з одним і на них не діяли сили з боку інших тіл, що не входять до системи (або щоб зовнішні сили врівноважувалися). Група тіл, що не взаємодіє з іншими тілами, називається замкнутою системоюсправедливий лише для замкнутих систем.
Імпульс (Кількістьруху) - Векторна фізична величина, що є мірою механічного руху тіла. У класичній механіці імпульс тіла дорівнює добутку маси mцього тіла на його швидкість v, напрям імпульсу збігається з напрямом вектора швидкості:
Імпульс системичастинок є векторна сума імпульсів окремих частинок: p=(сум) p i, де p i- Імпульс i-ї частинки.
Теорема про зміну імпульсу системи: повний імпульс системи можна змінити лише дією зовнішніх сил: Fзовніш=dp/dt(1), тобто. похідна імпульсу системи за часом дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на частинки системи. Як і у випадку однієї частинки, з виразу (1) випливає, що збільшення імпульсу системи дорівнює імпульсу результуючої всіх зовнішніх сил за відповідний проміжок часу:
p2-p1 = t & 0 F зовнішній dt.
У класичній механіці повним імпульсомсистеми матеріальних точок називається векторна величина, що дорівнює сумі творів мас матеріальних точок на їх швидкості:
відповідно, величина називається імпульсом однієї матеріальної точки. Це векторна величина, спрямована у той самий бік, як і швидкість частки. Одиницею вимірювання імпульсу у Міжнародній системі одиниць (СІ) є кілограм-метр за секунду(кг·м/с).
Якщо ми маємо справу з тілом кінцевого розміру, що не складається з дискретних матеріальних точок, для визначення його імпульсу необхідно розбити тіло на малі частини, які можна вважати матеріальними точками та підсумувати за ними, в результаті отримаємо:
Імпульс системи, на яку не діють жодні зовнішні сили (або вони компенсовані), зберігаєтьсяв часі:
Збереження імпульсу в цьому випадку випливає з другого та третього закону Ньютона: написавши другий закон Ньютона для кожної з складових систему матеріальних точок і підсумувавши по всіх матеріальних точках, що становлять систему, в силу третього закону Ньютона отримаємо рівність (*).
У релятивістській механіці тривимірним імпульсом системи невзаємодіючих матеріальних точок називається величина
,
де m i- Маса i-ї матеріальної точки.
Для замкнутої системи не взаємодіючих матеріальних точок ця величина зберігається. Проте тривимірний імпульс не є релятивістською інваріантною величиною, оскільки він залежить від системи відліку. Більш осмисленою величиною буде чотиривимірний імпульс, який для однієї матеріальної точки визначається як
Насправді часто застосовуються такі співвідношення між масою, імпульсом і енергією частки:
У принципі, для системи невзаємодіючих матеріальних точок їх чотири імпульси сумуються. Однак для взаємодіючих частинок в релятивістській механіці слід враховувати імпульси не тільки складових частинок, але й імпульс поля взаємодії між ними. Тому набагато осмисленішою величиною в релятивістській механіці є тензор енергії-імпульсу, який повною мірою задовольняє закони збереження.
Властивості імпульсу
· Адитивність.Це властивість означає, що імпульс механічної системи, що складається з матеріальних точок, дорівнює сумі імпульсів всіх матеріальних точок, що входять до системи.
· Інваріантність по відношенню до повороту системи відліку.
· Збереження.Імпульс не змінюється при взаємодіях, що змінюють лише механічні властивості системи. Ця властивість інваріантна по відношенню до перетворення Галілея Властивості збереження кінетичної енергії, збереження імпульсу та другого закону Ньютона достатньо, щоб вивести математичну формулу імпульсу.
Законозбереженняімпульсу (Захищення кількості руху)- Векторна сума імпульсів всіх тіл системи є величина постійна, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.
У класичній механіці закон збереження імпульсу зазвичай виводиться як наслідок законів Ньютона. З законів Ньютона можна показати, що з русі в порожньому просторі імпульс зберігається у часі, а за наявності взаємодії швидкість його зміни визначається сумою доданих сил.
Як і будь-який з фундаментальних законів збереження, закон збереження імпульсу пов'язаний, згідно з теореми Нетер, з однією з фундаментальних симетрій, - однорідністю простору
Зміна імпульсу тіла дорівнює імпульсу рівнодіючої всіх сил, що діють на тіло.Це інше формулювання другого закону Ньютона
Імпульс у фізиці
У перекладі з латинської "імпульс" означає "поштовх". Цю фізичну величину називають також «кількістю руху». Вона була введена в науку приблизно в той же час, коли відкрили закони Ньютона (наприкінці XVII століття).
Розділом фізики, що вивчає рух та взаємодію матеріальних тіл, є механіка. Імпульс у механіці – це векторна величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість: p=mv. Напрямки векторів імпульсу та швидкості завжди збігаються.
У системі СІ за одиницю імпульсу приймають імпульс тіла масою 1 кг, що рухається зі швидкістю 1 м/с. Тому одиниця імпульсу СІ – це 1 кг∙м/с.
У розрахункових задачах розглядають проекції векторів швидкості та імпульсу на якусь вісь і використовують рівняння для цих проекцій: наприклад, якщо обрана вісь x, тоді розглядають проекції v(x) та p(x). За визначенням імпульсу, ці величини пов'язані співвідношенням: p(x)=mv(x).
Залежно від того, яка обрана вісь і куди вона спрямована, проекція вектора імпульсу на неї може бути як позитивною, і негативною величиною.
Закон збереження імпульсу
Імпульси матеріальних тіл за її фізичному взаємодії можуть змінюватися. Наприклад, при зіткненні двох кульок, підвішених на нитках, їх імпульси взаємно змінюються: одна кулька може почати рухатися з нерухомого стану або збільшити свою швидкість, а інша, навпаки, зменшити швидкість або зупинитися. Проте у замкнутої системі, тобто. коли тіла взаємодіють тільки між собою і не піддаються впливу зовнішніх сил, векторна сума імпульсів цих тіл залишається постійною за будь-яких їх взаємодій і рухів. У цьому полягає закон збереження імпульсу. Математично його можна вивести із законів Ньютона.
Закон збереження імпульсу застосовний також до таких систем, де якісь зовнішні сили діють на тіла, але їхня векторна сума дорівнює нулю (наприклад, сила тяжіння врівноважується силою пружності поверхні). Умовно таку систему також можна вважати замкненою.
У математичній формі закон збереження імпульсу записується так: p1+p2+…+p(n)=p1′+p2′+…+p(n)’ (імпульси p – вектори). Для системи з двох тіл це рівняння виглядає як p1+p2=p1'+p2', або m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'. Наприклад, у розглянутому випадку з кульками сумарний імпульс обох куль до взаємодії дорівнюватиме сумарному імпульсу після взаємодії.
